Секция математика неевклидова геометрия



Скачать 304.85 Kb.
страница1/3
Дата26.11.2012
Размер304.85 Kb.
ТипНаучная работа
  1   2   3


Министерство образования Ставропольского края

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя


общеобразовательная школа №5 имени А.Н.Дубинного с углубленным

изучением отдельных предметов


Секция математика

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Научная работа
Выполнила: Исаева Аиша

ученицы 9 класса А

Руководитель:

Кравченко Анна Николаевна учитель высшей категории

г. Пятигорск 2007 год




Оглавление

Введение………………………………………….

  1. Основные понятия в геометрии Евклида и

в современной геометрии………………………….

  1. Биография Н.И.Лобачевского……………………

  2. Из истории неевклидовой геометрии…………..

  3. Геометрия кривых поверхностей………………..

Заключение………………………………………..

Список использованной литературы…………….

Введение

Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

Кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существуют другие геометрии. В своей работе я хочу рассказать о геометрии Лобачевского.

Данное исследование состоит из 4 основных глав. В них подробно рассказывается о биографии Лобачевского и его научной деятельности в области геометрии. В введении и заключении обосновывается цель и структура работы и выводятся основные итоги по выбранной теме. Завершает работу список использованной литературы.

1. Основные понятия в геометрии Евклида и в

современной геометрии

О жизни замечательного древнегреческого учёного Евклида известно немного. Однако оставленный им труд «Начала» бесспорно, является величественным памятником его деятельности.
Евклид собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он творчески переработал собран­ное, внёс много своего, нового, оригинально­го. И создал труд настолько замечательный, что, как своего рода математическая «Илиада» или «Одиссея», его «Начала» прошли через ты­сячелетия. В ряде стран Европы вплоть до XX в геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы начала переведённые и литературно обработанные.1

Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков, Конечно, великолепной была его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество простых предложений (аксиом), из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Но предложенный Евклидом список аксиом сразу же подвергся критике. Например, одна из них, утверждавшая, что «все прямые углы равны между собой», оказалась просто ненужной. Её удалось доказать как теорему с помощью ос­тальных евклидовых аксиом.

Но одна из них, так называемый пятый по­стулат Евклида, вызывала особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как пока­зало историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой гео­метрии.

Вот о чём говорится в пятом постулате:

Если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой внут­ренние односторонние углы А и В, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т. е. меньше 180°), то эти две прямые обязатель­но пересекаются, причём именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы А и В (составляющие вместе менее 180°).2

Данное утверждение заметно сложнее осталь­ных аксиом. Потому-то в современных учеб­никах его обычно заменяют на равносильную аксиому параллельности: к данной прямой через данную вне её точку можно провести не более одной параллельной прямой. Но дело не только в сложности формулировки. Очень не­легко убедить критически настроенного чело­века в том, что это утверждение достаточно обосновано.

Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми начинается первая книга «Начал».

  1. Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по- видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).

  2. Линия есть длина без ширины.

  3. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

  4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

  5. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

  6. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в

этих определениях употребляются такие понятия, как часть, длина, ширина, граница и т.д., которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-третьих, некоторые его определения туманны и непонятны. Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.

При дедуктивном построении геометрии, как и любой другой науки, следует исходить не только из основных неопределенных понятий, но также из некоторых немногих и простых утверждений, то есть недоказуемых предложений, называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же аксиомами (аксиома – греческое слово, означающее «бесспорное положение», а также «почитаемое»), с тем, чтобы, основываясь на них, можно было строго логически обосновать, то есть доказать все другие предложения, называемые уже теоремами (Этот термин был введен Аристотелем, его употреблял не Евклид, а его комментаторы. Первоначальный смысл этого греческого слова был «рассматриваемое»).

У Евклида постулаты и аксиомы, которые он не отождествлял (у него постулаты носят чисто геометрический характер) следуют за выше названными определениями. Вот они:

Постулаты.

  1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

  2. И, чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

  3. И, чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

  4. И, чтобы все прямые углы были равны.

  5. И, чтобы если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов оказалась меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном их продолжении пересекались бы и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы.

  1. Равные порознь третьему равны между собой.

  2. И если к равным прибавить равные, то получим равные.

  3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

  4. И если к неравным прибавим равные, то получим не равные.

  5. И если удвоим равные, то получим равные.

  6. И половины равных, равны между собой.

  7. И совмещающиеся равны.

  8. И целое больше части.

  9. И две прямые не могут заключить пространства.

Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем невозможно.

Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в 19 столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.

2. Биография Н.И.Лобачевского

Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде в бедной семье. Отец его — кол­лежский регистратор Иван Мак­симович Лобачевский — был уездным землемером, мать — Прасковья Александровна — происходила из нижегородских мещан. В семье Лобачевских было три сына — Александр, Николай и Алексей. Семья рано лишилась кормильца. Когда мальчику было девять лет, семья переехала в Казань. Здесь Николая определили в гимназию «на казённый счёт». Курс был четырехлетним. Кроме первоначальных и общих предмет здесь преподавались языки — латинский, французский, немец­кий и татарский; из философских наук — логика и практически философия; из физико-математических наук — геометрия, три­гонометрия, механика, гидравлика, физика, химия, натуральна)! история (геология), землеведение и гражданская архитектура; из юридических — практическое законоискусство; из военных - артиллерия, фортификация, тактика; и, наконец, искусства рисование, музыка, фехтование и танцы. Усвоение этой програм­мы требовало очень большого напряжения, редко кому удава­лось с ней справиться. Большинство учащихся оставались в одном классе по два, иногда по три года.

Несмотря на трудную программу, учился Николай Лобачев­ский очень легко и хорошо. В гимназических ведомостях он аттестован «весьма прилежным и благонравным, занимающимся с особым прилежанием математикой и латинским языком».

В январе 1807 года Николай Лобачевский окончил гимназию» поступил в Казанский университет, основанный в ноябре 1804 года высочайшим повелением императора Александра I. Устав вновь открытого университета не отличался от типового устава российских университетов того времени. Он был построен на основах широкой автономии: все должностные лица университета, начиная с преподавателя и кончая ректором, должны были избираться советом университета, университет имел свой суд и даже свою полицию; он не только пользовался правом бесцензур­ного печатания своих изданий, но его редакционный комитет служил органом, разрешавшим к печати все научные произведе­ния, публиковавшиеся в Казани, кем бы они ни были написаны. Первоначально университету было предоставлено здание, отстроенное для губернаторского дома, и один из корпусов гимназии. В первые три года занятия в университете велись силами преподавателей гимназии, а затем на работу в универси­тет были приглашены профессора из-за границы. Разумеется, эти профессора не знали ни слова по-русски, так что преподава­ние велось на немецком и французском языках

В 1808 году для преподавания математических наук в Казан­ский университет прибыл профессор Бартельс (Мартин Федоро­вич, как его звали в России), сыгравший важную роль в математическом образовании Лобачевского. В свое время Бар­тельс был помощником учителя в школе, где учился великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Затем Бартельс учился и преподавал в Геттингенском университете, где вновь встретился с Гауссом и не прерывал с ним связи до конца жизни. По-видимому, Гаусс рекомендовал Бартельса секретарю Петер­бургской Академии наук Фуссу, который занимался подбором профессоров для вновь созданного университета. Бартельс был хорошо образованным ученым, прекрасным педагогом и чрезвы­чайно добросовестным человеком. Он был одним из немногих иностранных профессоров, вложивших в работу всю свою энер­гию, все внимание и всю любовь к делу. В Казани он пробыл двенадцать лет и положил начало казанской математической школе. Крупным математиком он не был, однако писал хорошие учебники и умел привить молодым людям тягу к научному творчеству.

Студенты университета изучали в то время следующие дис­циплины: философию, историю, географию, всеобщую и россий­скую статистику, греческий и латинский языки, российскую словесность, высшую арифметику, алгебру, геометрию, коничес­кие сечения, дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления, аналитическую геометрию, механику, аэростатику, гидростатику, гидравлику, физику, химию, естественную исто­рию, технологию, право. Во всех дисциплинах Лобачевский показывал отличные успехи. Но особенно углубленно он зани­мался математикой. В своем отчете попечителю Казанского учебного округа профессор Бартельс писал: «Студенты Симонов и Лобачевский, особливо же последний, оказали столько успе­хов, что они даже во всяком европейском университете были бы отличными, и я льщусь надеждой, что если они продолжать будут упражняться в усовершенствовании своем, то займут значащие места в математическом кругу».

3 августа 1811 года Лобачевский окончил университет и был утвержден в звании магистра. По уставу университета магистры должны были, с одной стороны, готовиться к научной и профес­сорской деятельности, а с другой — быть помощниками профес­соров. Одновременно с Лобачевским звания магистра был удос­тоен и его однокурсник И. М. Симонов. Это был человек, обладав­ший большими дарованиями, преимущественно занимавшийся астрономией. С этого времени они в течение свыше 35 лет вели в университете без видимых разногласий совместную работу, сменяя друг друга на кафедрах и административных должнос­тях.

Математике оба молодых магистра учились у Бартельса. В качестве основных сочинений, над которыми должен был рабо­тать Лобачевский, Бартельс выбрал пятитомную «Небесную механику» Лагранжа и «Арифметические исследования» Гаусса. В 1813 году Лобачевский выполняет свою первую самостоятель­ную научную работу: находит разложение многочлена деления круг на неприводимые множители для некоторых значений показате­ля п.

26 марта 1814 года распоряжением министра народного просвещения Лобачевский был возведен в звание адъюнкта физико-математических наук (по современной терминологии - кандидата); таким образом, в возрасте 21 года Лобачевский официально становится преподавателем университета.1 Он ведет активнейшую преподавательскую работу, читает многочислен­ные курсы, поражающие широтой диапазона: элементарная математика, все без исключения разделы высшей математики, механика, опытная и теоретическая физика, теоретическая и наблюдательная астрономия. К началу двадцатых годов им написаны два учебника «Алгебра. Исчисление конечных» и «Геометрия» (опубликованные значительно позже), в рукопис­ном виде распространявшиеся среди студентов. И все эти годы Лобачевский углубленно занимается теорией параллельных.

В возрасте 23 лет, его выбрали экстраординарным профессором (со­ответствует должности доцента). В 1822 г. Ло­бачевский стал ординарным профессором.

Как видим, молодой профессор читал лекции не только по различным областям математики, но и по физике и астрономии. Он был очень прилеж­ным лектором.

Однажды в Казанский университет пришла инструкция, утверждённая императором Алек­сандром I: «Профессор теоретической и опыт­ной физики обязан во всё протяжение курса своего указывать на премудрость Божию и огра­ниченность наших чувств и орудий для позна­ния непрестанно окружающих нас чудес». Вряд ли Лобачевский, который читал в то время курс «Теоретическая и практическая физика», следо­вал этому предписанию.

К тому времени он уже три года, начиная с 1817-го, работал над одной из труднейших про­блем — доказательством пятого постулата Ев­клида о параллельных прямых. На лекциях он расска­зывал студентам о попытках доказать, что через точку вне прямой можно провести единствен­ную прямую, параллельную ей. Многие извест­ные математики исследовали проблему пятого постулата, но во все времена немало было и амбициозных невежд, которые хватались за эту задачу только потому, что её формулировка была доступна каждому. Лобачевский придавал ей особое значение. Он писал, что задача о па­раллельных представляет собой «трудность, до сих пор непобедимую, но между тем заключа­ющую в себе истины ощутительные, вне всяко­го сомнения, и столь важные для целей науки, что никак не могут быть обойдены».

Вначале Лобачевский поступал, как и боль­шинство других математиков, т. е. искал дока­зательство от противного. Таким путём он вывел множество утверждений, некоторые из них выглядели, мягко говоря, странно, но ис­комого противоречия так и не получилось. В 1823 г. он пришёл к мысли о недоказуемос­ти пятого постулата и о возможности новой геометрии. Более того, Лобачевский понял, что эта «воображаемая» геометрия, несмотря на непривычность её содержания, в принципе не может быть опровергнута нашим опытом.

В феврале 1826 г., когда Лобачевский напи­сал первую работу об открытии новой гео­метрии и передал её нескольким профессорам университета, ответа от коллег не последова­ло. А сама работа вскоре была утеряна.

В 1829 г. журнал «Казанский вестник» опуб­ликовал сочинение Лобачевского о неевклидо­вой геометрии. В отзыве на него известный ма­тематик академик М. В. Остроградский писал: «Автор, по-видимому, задался целью писать та­ким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг своей цели: большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел её».

Гений всегда опережает своё время. Через 30—40 лет появятся работы, в которых будет доказано, что геометрия Лобачевского столь же правомерна, как и геометрия Евклида, и её открытие — важный шаг на пути к пониманию окружающего нас мира. Но в конце 20-х гг. XIX в. Лобачевский оказался в очень сложном положении. Его не понимали и даже осуждали лучшие математики того времени, коллеги давали насмешливые, а порой оскорбительные отзывы о его работе. Это было настоящее ис­пытание характера учёного. Лобачевский с честью его выдержал. За первой большой статьёй последовали новые работы на ту же тему. В этом он решительно отличался от дру­гого первооткрывателя неевклидовой гео­метрии — Гаусса.

Уже в 25—30-летнем возрасте Лобачевский заведовал обсерваторией, был деканом мате­матического факультета. Многие годы он воз­главлял университетскую библиотеку. По­нимая, какую важную роль в образовании играет библиотека, Лобачевский ездил в Пе­тербург, чтобы лично отбирать и закупать кни­ги, Как председатель строительного комитета университета, он руководил строительством новых учебных корпусов.1 В 1827 г. Лобачевского избрали ректором Казанского университета. Впоследствии он пе­реизбирался на эту должность шесть раз и оставался ректором в течение 20 лет. На этом посту Лобачевский энергично и компетентно занимался буквально всем: учебной и научной работой, финансами, строительством. Особенно трудно пришлось во время холерной эпи­демии 1835 г. и упомянутого пожара 1842 г.

В 1828 г. по случаю первой годовщины своего ректорства Лобачевский произнёс ставшую потом знаменитой речь «О важнейших пред­метах воспитания». В ней он, в частности, ска­зал: «Примеры научают лучше, нежели толко­вания и книги». Жизнь Николая Ивановича Лобачевского сама является замечательным примером служения отечеству и науке. Его идеи были настолько непривычны, глубоки и новы, он настолько обогнал свою эпоху, что современники не смогли понять его и правильно оценить. Встретив непонимание и даже издевательство, Лобачевский не прекратил своих исследований. После работы 1829-1830 гг. "О началах геометрии" Лобачевский печатает в "Ученых записках" (в 1835 г.) "Воображаемую геометрию", в 1836 г. "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам". С 1835 по 1838 гг. он публикует свою наиболее обширную работу "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных". Наконец, в 1840г. выходят на немецком языке "Геометрические исследования по теории параллельных", где содержится предельно ясное и лаконичное изложение его основных идей. Ни одного положительного отклика не получает Лобачевский, кроме единственного высказывания профессора механики Казанского университета П. И. Котельникова, который в актовой речи в 1842 г. отметил, что изумительный труд Лобачевского, построение новой геометрии на предположении, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, рано или поздно найдет своих ценителей. Многолетние плодотворные труды Лобачевского не могли получить положительной оценки у правительства Николая I.

В 1840 году Лобачевский пишет на немецком языке небольшую книгу, содержащую короткое, возможно, наиболее доступное изложение своей геометрии «Geometrische Untersuchurgen zur Theorie der Parallellinien» (Геометрические исследования по теории параллельных ли­ний).1 Она также получила неблагоприятный отзыв, но именно эта книга обратила на себя внимание Гаусса. Судя по всему, он был первым человеком, до конца осознавшим значение работ Лобачевского. Известно, что после прочтения «Исследований» шестидесятитрехлетний Гаусс два года изучал русский язык и освоил его в такой мере, что смог свободно прочесть остальные труды Лобачевского. Более того, по предложению Гаусса 23 ноября 1842 года Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского королевского научного общества, уже тогда имевшего значение академии наук. Это было единственным научным признанием, которое Лобачевский получил при своей жизни. Однако в печати Гаусс о своем отношении к работам Лобачевского никогда не высказывался, так что диплом Геттингенского общества оставался лишь формальным знаком внимания

В письмах к своему другу Шумахеру Гаусс говорил о великом значении геометрии Лобачевского, но эта переписка издана лишь в 60-х годах, после смерти Лобачевского, и только тогда на его работы обратили внимание математики Западной Европы.

Вместе со своим учеником М.В. Ляпуновым участвовал в экспедиции в Пензу для наблюдения полного солнечного затмения 8 июля 1842. Подробно описал свои наблюдения и размышления по поводу загадочных в то время явлений протуберанцев и солнечной короны. Занимался также усовершенствованием методов обработки астрономических наблюдений.

В 1846 г. власти уволили Лобачевского с должности ректора.

В январе 1852 г. умер его старший сын. Материальное положение семьи серьёзно ухудшилось. Незадолго до смерти Ни­колай Иванович потерял зрение. Последнюю работу «Пангеометрия» (греческая приставка «пан-» означает «всё», «всеобщий»), приурочен­ную к 50-летию Казанского университета, он продиктовал своим студентам будучи уже со­всем слепым.

24 (12) февраля 1856 г. кончилась жизнь великого ученого, целиком отданная русской науке и Казанскому университету.

К высоким умственным качествам Лобачевского присоединялись не менее высокие качества души: доброе сердце, отзывчивость на все честные стремления, горячая любовь и отеческое отношение к университетскому юношеству и ко всем талантливым молодым людям. О чем говорит учреждение международной премии им. Н. И. Лобачевского за выдающиеся работы по геометрии, преимущественно – неевклидовой.
  1   2   3

Похожие:

Секция математика неевклидова геометрия iconУчастница: Абрамова Анастасия, Гимназия №261
Объект и предмет исследования: Неевклидова геометрия и ее подраздел – геометрия Лобачевского
Секция математика неевклидова геометрия iconУроку математики ● "Вся элементарная математика"
Вся элементарная математика Средняя математическая Интернет-школа. Темы: Арифметика, Алгебра, Геометрия, Тригонометрия, Функции и...
Секция математика неевклидова геометрия icon«Неевклидова геометрия»
Данный материал можно использовать для создания необходимой атмосферы. Победители конкурсов в течение вечера будут награждены. Герои...
Секция математика неевклидова геометрия iconРеферат неевклидова геометрия Работу выполнил учитель математики Рунгинской среднй общеобразовательной
Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки
Секция математика неевклидова геометрия iconВ. И. Котарева Тематика исследовательских работ участников ноу «Эврика» на 2010-2011 учебный год. Секция: естественные науки
Секция: естественные науки (математика, информатика, география, биология, химия, физика)
Секция математика неевклидова геометрия iconЗанятие по теме: "Евклидова и неевклидова геометрия"
Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству...
Секция математика неевклидова геометрия iconМатематика егэ математика
Тестов неограниченно. Конспекты по математике: Теория чисел, алгебраические преобразования, степень, логарифм, арифметический корень,...
Секция математика неевклидова геометрия iconОтклики со школьного Фестиваля науки-2011 «Познание и творчество» Секция «Математика» Давыдова Ольга (8 в класс)
Отклики со школьного Фестиваля науки-2011 «Познание и творчество» Секция «Математика»
Секция математика неевклидова геометрия iconПрограмма красноярск 2010 Содержание
Секция "Теория вероятностей, математическая статистика и финансово-актуарная математика. Экономическая и финансово-актуарная математика"...
Секция математика неевклидова геометрия iconСекция «алгебра и геометрия»
Зенин В. С. (Мм-401). Обратимые элементы целочисленного группового кольца циклической группы порядка 16
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org