Секция математика неевклидова геометрия



Скачать 304.85 Kb.
страница2/3
Дата26.11.2012
Размер304.85 Kb.
ТипНаучная работа
1   2   3

3. Из истории неевклидовой геометрии

23 февраля 1826 года на заседании физико-математического отделения Императорского Казанского университета был про­читан доклад под названием «Сжатое изложение начал геомет­рии со строгим доказательством теоремы о параллельных ли­ниях». Эта дата рассматривается как день рождения неевкли­довой геометрии и является гранью двух эпох. Предшествую­щие двадцать пять веков были эпохой создания классической геометрии. Принципы, лежащие в ее основе, и вместе с ними и вся геометрия считались незыблемыми, не допускающими ни­каких изменений. Но в этот февральский день родилась новая геометрия, неизмеримо расширившая человеческие представле­ния о пространстве и форме, радикально изменившая устояв­шиеся взгляды на всю математику и окружающий мир. Творцу этой новой геометрии было тог­да 33 года. Его звали Николай Иванович Лобачевский.

Лобачевский занялся исследованием той совокупности теорем, которая может быть выведена из системы аксиом, получаемой, если заменить аксиому параллельных евклидовой геометрии противоположным утверждением:

в плоскости через точку А, не принадлежащую прямой l, можно провести более одной прямой, не пересекающейся с l.

Созданная таким образом геометрическая система носит теперь имя неевклидовой геометрии или геометрии Лобачевского.

Независимо от Лобачевского существование такой системы установили Карл Фридрих Гаусс и венгерский математик Янош Бойяи. Однако Гаусс, боясь быть непонятым, не пошел дальше первых шагов в этой геометрии и не опубликовал ни одной строчки о своем открытии. Бойяи опубликовал результаты своих исследований в 1832 году в виде приложения к обширному геометрическому трактату своего отца. Эта работа по достоинству считается одним из замечательных произведений мировой математической литературы, однако и в ней развиты первые понятия новой геометрии. Стоит отметить, что к открытию неевклидовой геометрии был близок немецкий ученый Адольф Тауринус. В 1826 году он даже опубликовал в Кельне небольшую брошюру, содержащую несколько теорем новой геометрии. К сожалению, изложены они были очень сжато маловразумительно. Не встретив ни малейшего признания своих идей Тауринус, по словам одного из своих современников, «впал в меланхолию»: в припадке болезни он сжег оставшиеся у него экземпляры брошюры и никогда более не возвращался к этому предмету.

Лобачевский впервые выступил с публичным изложением своей геометрии 23 февраля 1826 года. В этот день перед учеными физико-математического факультета стоял не просто уважаемый молодой профессор, а творец новой науки. Этот доклад был первым из серии докладов, сделанных им в том же 1826 году и опубликованных в первых номерах только что организованного научного журнала «Казанский вестник» в 1829 году под общим названием «О началах геометрии». В этом сочинении содержа­лось не только полное изложение новой геометрии, но и много­численные применения ее в математическом анализе.


Созданную им новую геометрию Лобачевский назвал «воображаемой», говоря, что если она не существует в природе, то во всяком случае существует в математическом анализе. Почти в полном объеме она была представлена на суд ученых в обширной работе «О началах геометрии». Первая реакция на это сочинение появилась в 1834 году. В журнале «Сын отечества» №47, издававшемся Н.Гречем и Ф.Булгариным, появился отзыв, подписанный литерами С.С. Доподлинно неизвестно, кто скрывался за этими литерами (по мнению крупнейшего знатока жизни и творчества Лобачевского профес­сора В.Ф.Кагака, это были петербургские математики С.Бурачек и С.Зеленый). И по существу, и по форме это был не отзыв, а грубый пасквиль, проникнутый неприкрытым издеватель­ством. Это была не единственная отрицательная реакция. Даже такой крупный математик, как М.В.Остроградский, не скрывал насмешки, отзываясь о воображаемой геометрии.

Лобачевскому было суждено до дна испить горькую чашу непонимания и невежественной критики. Гениальное открытие Лобачевского было настолько революционным, что научная мысль была совершенно не подготовлена к его восприятию. Тяжелы были переживания ученого, на которого обрушилась столь несправедливая критика, но неизмеримо сильнее было его убеждение в правильности своих идей. Твердость духа и уверен­ность в грядущем торжестве его открытия составляли, пожалуй, наиболее характерную черту Ло­бачевского.

В тридцатые годы Лобачевс­кий значительно развивает осно­вы новой геометрии, изложен­ные в его первой работе. Появля­ются новые обширные труды «Воображаемая геометрия» (1835), «Новые начала геомет­рии с полной теорией параллель­ных» (1835—1838). Однако, насколько можно судить, никто этих сочинений в то время не прочитал.

Первое время Лобачевский шёл тем же путём, что и его пред­шественники, т. е. пытался рассуждать от про­тивного. Допустив, что пятый постулат Евкли­да неверен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придём к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан.

Итак, допустим, что пятый постулат неверен через точку А, не принадлежащую прямой b (рис. 1, а), можно провести более чем одну пря­мую, которая не пересекается с b.

Рис.1 а)

Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. При их расположении, как на рисунке, будем поворачивать прямую а' по часовой стрелке. Тогда найдётся прямая с', которая «в последний раз» не пере­секается с b. Значит, прямые, получающиеся из с' при повороте по часовой стрелке (на сколь угодно малый угол), будут пересекать прямую b, а прямые, получающиеся из с при малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать b. Иначе говоря, среди всех прямых проходящих через точку А, прямая с' отделяет пересекающие b прямые от не пересекающих её. Сама прямая с' не пересекает b. Такая же картина наблюдается и для прямой с", симметричной с' относительно перпендикуляра AP опущенного на b. Она отделяет пересекающие b прямые от не пересекающих.

Лобачевский называет прямые с' и с" параллельными прямой b, причём с' параллельна вправо, а с" параллельна b влево. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b (такие, как а' и а" ), именуются расходящимися с прямой b.

Далее, обозначим длину отрезка АР через х, а острый угол, образуемый прямой с' или с" с прямой AP , — через П(х) (рис.1, б).

Рис.1 б)



Лобачев­ский вводит эти определения и обозначения, стремясь, со свойственной ему настойчи­востью, узнать, что может получиться из его предположения о неверности пятого посту­лата, и быстрее обнаружить желанное проти­воречие. На наших чертежах линии изогнуты. Но понять, Лобачевский рассуждает именно о прямых линиях. Если отрезок АР мал, то острый угол П(х) близок к 90°. Когда отрезок АР совсем мал, то, посмотрев «в микроскоп» на точку Р (рис. 2), мы увидим, что прямые с' и с" практически сливаются, поскольку угол П(х) очень близок к 90°. В целом же, в силу предположения о неверности пятого постулата, приходится изображать линии изогнутыми.

Лобачевский доказывает (всё в том же предположении о неверности пятого постулата), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга (рис.3,а). А две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис.3,б). Но здесь пока ещё нет никакого противоречия.


Рис.2


Рис.3, а, б

Рис.4
Затем Лобачевский рассматривает две па­раллельные прямые b и с берёт на прямой b движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону, обратную параллельности (рис. 4). В каждом положении точки М он восставляет перпенди­куляр p к прямой b до его пересечения с пря­мой с. Длина перпендикуляра непрерывно воз­растает при движении точки М, и, когда она попадает в некоторое положение Q, длина пер­пендикуляра становится бесконечной. Точ­нее говоря, перпендикуляр р, восставленный к прямой b в точке Q, параллелен прямой с (рис.5,а).




Рис.5 а)
Построив прямую с1 симметричную с относительно перпендикуляра р, получим три прямые — b, с и с1 которые попарно па­раллельны друг другу (рис.5,б).




Рис.5 б)

Возникает своеобразный «бесконечный треугольник»: у него каждые две стороны параллельны друг другу, а вершин совсем нет (они как бы нахо­дятся в бесконечности) (рис.6).

Это уже ни­как не согласуется с привычными представле­ниями о расположении прямых линий! Но противоречия и здесь нет.

Тогда Лобачевский предпринимает по­пытку использовать могущество формул. При­меняя введённую им функцию П(х), он полу­чает зависимости, позволяющие по сторонам треугольника вычислять его углы. И оказыва­ется, что в любом треугольнике сумма углов меньше 180°. Значит, в четырёхугольнике Саккери (если его разбить диагональю на два тре­угольника; рис. 7) сумма углов меньше 360°.



Рис.7

Рис.8

Это означает, что мы находимся в условиях гипотезы острого угла — когда в четырёхуголь­нике Саккери четвёртый угол φ < 90°.



Как будто ничего нового нет: Саккери и его последова­тели долго ломали голову над гипотезой остро­го угла, но противоречия так и не нашли.

Однако Лобачевский оказался теперь на­много богаче: он имел формулы, выражающие зависимости между сторонами и углами любо­го треугольника. Пользуясь своими формулами, Лобачевский доказал: если известны углы тре­угольника, можно однозначно вычислить его стороны. Совсем странно! Ведь существуют подобные треугольники, в которых углы соот­ветственно равны, а стороны неодинаковы, так что углы треугольника не позволяют вычислить длины всех его сторон (рис. 8).

Что это — желанное противоречие? Увы, опять нет! Наличие подобных, но неравных треугольников доказывается с помощью акси­омы о параллельных прямых. А потому сам факт, что такие треугольники существуют, мо­жет рассматриваться как ещё одна новая акси­ома, эквивалентная пятому постулату.

И Лобачевского осенила гениальная догад­ка: противоречия никогда не будет! Иначе говоря, если мы добавляем ко всем прочим аксиомам ещё и пятый постулат, то получается непротиворечивая геометрическая система — та евклидова геометрия, к которой мы так при­выкли. Если же ко всем прочим аксиомам вместо пятого постулата мы добавим отрицание аксиомы параллельности, т. е. аксиому о том, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной, то получим другую геометрическую систему (Лобачевский назвал её «воображаемой» гео­метрией), которая, однако, тоже непротиворечива.

Лобачевский рассмотрел пучок прямых, параллельных друг другу в одном направлении, и его ортогональные траектории, т. е. линии, которые пересекают под прямым углом все прямые данного пучка.

В евклидовой геомет­рии тоже можно рассматривать ортогональ­ные траектории. Например, для пучка концен­трических окружностей это лучи, исходящие из центра, а для пучка параллельных прямых — перпендикулярные им прямые (рис.9).


Рис.9

Но в геометрии Лобачевского помимо прямых и окружностей в качестве ортогональных траек­торий для пучков этих линий появляются но­вые линии — орициклы (или предельные линии; рис.10).



Рис.10


Дальнейшие события были весьма драма­тичны. Лобачевский рассмотрел в пространстве пучок параллельных прямых и поверхности, ортогональные прямым пучка. Такие поверхности — орисферы — обладают замечательными свойствами. Через каждые две точки орисферы проходит орицикл, целиком лежащий на этой поверхности. А потому можно рассматривать треугольники, образованные тремя орициклами на орисфере (рис. 11).1

Рис.11



Оказалось, что в геометрии на орисфере сумма углов любого треугольника равна 180°.

То есть для орициклов на орисфере справед­лив пятый постулат — господствует геометрия Евклида. Другими словами, из материала своей «воображаемой» геометрии Лобачевский сумел построить модель геометрии Евклида. Какая злая ирония судьбы! Если бы всё было наобо­рот! Гениальный учёный понимал: создай он из материала евклидовой геометрии (в непро­тиворечивости которой никто не сомневался) модель собственной «воображаемой» геомет­рии — и законность его геометрической си­стемы установлена. Это сделали математики уже следующего поколения.

Лобачевский выступил с докладом об от­крытии неевклидовой геометрии в 1824 г., но поддержки не нашёл. Он опубликовал о ней ряд статей и книг, причём с её помощью су­мел вычислить несколько интегралов, ранее неизвестных. Но математики его времени ещё не были подготовлены к мысли о возможнос­ти существования иной, неевклидовой геомет­рии. Учёный умер, так и не добившись при­знания своих идей.

Математики следующего поколения (Клейн, Кэли, Пуанкаре и др.) сумели построить модель геометрии Лобачевского из материала геомет­рии Евклида, тем самым установив непротиво­речивость и законность новой геометрии. И математики поняли, что могут быть разные геометрии и разные пространства.

А между тем одну из неевклидовых геометрий ко времени открытия Лобачевского давно знали и хорошо изучили. Речь идёт о сферической геометрии, в которой рассматриваются фигу­ры на сфере и соотношения между ними.

Согласно античной модели мироздания, звёзды и планеты располагаются на нескольких сферах с общим центром, в котором находится Земля. При этом звёзды неподвижны, как бы «прибиты» к своей сфере и вращаются вместе с ней вокруг Земли, а планеты на собственных сферах выписывают замысловатые фигуры — ведь само слово «планета» в переводе с гре­ческого означает «блуждающая». С помощью такой геоцентрической модели древние научи­лись достаточно точно описывать и предсказывать движения планет. Это было необходимо, например, в мореплавании, да и во всех областях «земной» деятельности человека, где надо учи­тывать, что под ногами у нас шар, а не плоский блин на трёх китах. При изучении закономер­ностей вращения небесных светил возникли разнообразные математические задачи, связан­ные со свойствами сферы и фигур, которые об­разуют на ней большие окружности.

Поскольку сфера находится в обычном трёхмерном евклидовом пространстве, тео­ремы сферической геометрии можно пони­мать как обыкновенные стереометрические. Поэтому в сферической геометрии не видели «другую планиметрию», и она не привела к ни­спровержению устоявшихся взглядов подобно геометрии Лобачевского.
1   2   3

Похожие:

Секция математика неевклидова геометрия iconУчастница: Абрамова Анастасия, Гимназия №261
Объект и предмет исследования: Неевклидова геометрия и ее подраздел – геометрия Лобачевского
Секция математика неевклидова геометрия iconУроку математики ● "Вся элементарная математика"
Вся элементарная математика Средняя математическая Интернет-школа. Темы: Арифметика, Алгебра, Геометрия, Тригонометрия, Функции и...
Секция математика неевклидова геометрия icon«Неевклидова геометрия»
Данный материал можно использовать для создания необходимой атмосферы. Победители конкурсов в течение вечера будут награждены. Герои...
Секция математика неевклидова геометрия iconРеферат неевклидова геометрия Работу выполнил учитель математики Рунгинской среднй общеобразовательной
Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки
Секция математика неевклидова геометрия iconВ. И. Котарева Тематика исследовательских работ участников ноу «Эврика» на 2010-2011 учебный год. Секция: естественные науки
Секция: естественные науки (математика, информатика, география, биология, химия, физика)
Секция математика неевклидова геометрия iconЗанятие по теме: "Евклидова и неевклидова геометрия"
Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству...
Секция математика неевклидова геометрия iconМатематика егэ математика
Тестов неограниченно. Конспекты по математике: Теория чисел, алгебраические преобразования, степень, логарифм, арифметический корень,...
Секция математика неевклидова геометрия iconОтклики со школьного Фестиваля науки-2011 «Познание и творчество» Секция «Математика» Давыдова Ольга (8 в класс)
Отклики со школьного Фестиваля науки-2011 «Познание и творчество» Секция «Математика»
Секция математика неевклидова геометрия iconПрограмма красноярск 2010 Содержание
Секция "Теория вероятностей, математическая статистика и финансово-актуарная математика. Экономическая и финансово-актуарная математика"...
Секция математика неевклидова геометрия iconСекция «алгебра и геометрия»
Зенин В. С. (Мм-401). Обратимые элементы целочисленного группового кольца циклической группы порядка 16
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org