Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения



Дата09.10.2012
Размер90.8 Kb.
ТипЛекция

Лекция 2



Резюме 1-ой лекции

Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения :

Это распределение называется микроканоническим. А функция распределения малой, но макроскопической части большой системы (функция распределения подсистемы) равна



Дискретность энергии – основной результат физики ХХ века
Итак, теперь нам предстоит установить, как связана функция распределения с термодинамическими характеристиками системы. Это и будет оправданием всех наших предыдущих усилий. Для установления этой связи нам потребуются некоторые представления из квантовой механики. Не надо пугаться. Речь идет о самых общих представлениях, которые известны практически всем, кто хоть что-нибудь слышал про физику. Итак, основной переворот, который произвела квантовая механика в нашей картине мира, связан с представлением о том, что энергия любой системы (не зависимо от того, идет речь о микро- или макроскопических явлениях) меняется не непрерывным, а дискретным образом. В микроскопических системах расстояния между этими дискретными уровнями оказываются довольно значительными. Факт дискретности, поэтому целиком определяет свойства микроскопических систем. В макроскопических системах уровни энергии располагаются чрезвычайно густо, поэтому влияние дискретности на свойства макроскопических тел проявляется лишь в совершенно специальных случаях. Тем не менее, для наших целей представление о дискретных уровнях оказывается довольно-таки удобным.

Функция распределения по энергиям



Итак, вопрос: какова вероятность того, что некоторая небольшая, но макроскопическая часть нашей системы находится в состоянии с энергией . Сразу же признаюсь, что в такой формулировке этот вопрос не совсем корректен. Более правильно этот вопрос должен звучать следующим образом. Какова вероятность того, что рассматриваемая подсистема находится в интервале энергией от до ? Без указания такого интервала вопрос бессмысленен.

Обозначим такую вероятность так же, как и в первой лекции, через . В первой лекции мы писали, что
(1)
Теперь немного уточним это выражение. Во-первых, мы уже поняли, что зависимость функции gif" name="object9" align=absmiddle width=55 height=27> от своих переменных связана только с зависимостью от этих переменных энергии :

.

Во-вторых, исправим небольшую неточность, которая присутствует в формуле (1). Собственно именно ради этого мы и вспомнили о квантовой механике. Раз уж мы согласились с тем, что уровни энергии системы дискретны, то ясно, что вероятность должна быть пропорциональна не элементу фазового объема , а числу состояний , которые имеет система в интервале энергий от до . Ведь вполне может оказаться и так, что в этом интервале энергий вообще ни одного состояния нет. Тогда и вероятность системе находиться в этом интервале энергий равна нулю. Все зависит от того, в каком месте энергетического спектра системы мы выбрали интересующее нас значение . Т.е. число состояний само является функцией энергии : . Таким образом, вместо формулы (1) получим

Последний шаг: запишем величину в виде


Здесь введена важнейшая в статистической физике величина . Она имеет смысл плотности числа состояний при данном значении энергии , и будет постоянно появляться в наших дальнейших вычислениях.

Таким образом, мы получаем

Введем новую функцию

и назовем ее функцией распределения по энергиям
Несмотря на кажущуюся невинность того, что мы только что сделали, эта последняя формула является колоссальным продвижением вперед. По существу мы перешли от функции распределения, зависящей от гигантского числа переменных (пусть через энергию, но энергия-то все равно зависит от координат и импульсов всех частиц, составляющих систему) к функции распределения, в которой энергия может рассматриваться как единственная независимая переменная. И теперь нет необходимости выписывать явную зависимость энергии от других степеней свободы.

Конечно, то что мы сделали, выглядит довольно формально. Хотя явная зависимость нам известна (помните, в первой лекции: ), функцию мы реально не знаем. Найти ее для конкретной задачи – очень большая проблема. Соответственно, мы не знаем и производную от этой функции по энергии. Но, тем не менее, во-первых, легко установить некоторое основное свойство функции и, во-вторых, представить себе из общих физических соображений, как эта функция должна выглядеть. Т.е. попросту нарисовать ее на листе бумаги. (А попробовали бы вы нарисовать функцию хотя бы трех переменных, не говоря уж о функции, в которой переменных).

Что касается общих свойств. Главное из них – это то, что интеграл от этой функции по энергиям равен единице:

Ведь этот интеграл определяет вероятность того, что наша подсистема имеет хоть какую-нибудь энергию. Это, так называемое, условие нормировки.

Кроме того, очевидно, что в равновесии наша подсистема наверняка обладает какой-то средней энергией , и функция должна иметь резкий максимум при , быстро спадая по мере удаления от этого значения в ту или иную сторону. Т.е. имеет вид колокола с резким максимумом при . При этом условие нормировки означает, что площадь под этой кривой в точности равна единице.

Теперь осталось совсем немного усилий, для того, чтобы ввести ту величину, ради которой все это затеяно. Давайте, заменим колокообразную функцию простым прямоугольником, но так, чтобы условие нормировки осталось справедливым. Т.е. выберем такой интервал энергий , чтобы выполнялось условие
.
Очевидно, что подавляющее время система будет проводить в состояниях с энергиями в этом интервале . Вероятность подсистеме попасть в состояния с энергиями вне этого интервала пренебрежимо мала.
Эффективное число состояний равновесной системы. Энтропия
Наконец, пусть в интервале энергий наша подсистема имеет некоторое определенное число состояний .

Вот именно ради этой величины мы и затеяли всю предыдущую историю с разговорами про квантовую механику, функцию распределения по энергиям и т.п. Итак, в равновесии эффективное число состояний, в которых может находиться подсистема, равно . Если мы возьмем систему, состоящую из двух подсистем, то эффективное число состояний, в которых может находиться такая составная система равно

Число состояний обладает свойством мультипликативности. Так сложилось, что человечеству гораздо приятнее иметь дело с аддитивными, а не мультипликативными величинами. Перейдем поэтому от величины к величине . Вот эта аддитивная величина и есть то, к чему мы так стремились. Она называется энтропией. Итак, энтропия по определению равна

Впервые эта формула была получена Людвигом Больцманом. По замечанию известного советского физика Я. Смородинского, эта чрезвычайно простая формула, относится к тем великим формулам физики, в которых она, физика, наиболее близко подошла к описанию самых первичных свойств мира. В одном ряду с ней стоят такие простейшие и наполненные глубочайшим смыслом формулы, как формула Ньютона, устанавливающая связь массы и поля тяготения , или формула Эйнштейна .

Именно энтропия в огромной степени управляет картиной мира. Если во вселенной есть борьба между силами жизни и силами смерти, то энтропия, несомненно, представляет собой главное орудие смерти. Может быть, вы слышали про книжку, сыгравшую выдающуюся роль в развитии биофизики, «Что такое жизнь с точки зрения физика». Написал ее человек, фамилия которого Шредингер. Так же как и упоминавшийся в начале этой лекции П. Дирак, Э. Шредингер был одним из главных авторов квантовой теории. Но раз уж правомерен вопрос о том, что такое жизнь с точки зрения физика, то столь же правомерен и вопрос о том, что такое смерть с точки зрения физики. Так вот, вы увидите, что ответ на этот вопрос почти столь же сложен и кроется он в понятии энтропии. И для того, чтобы найти его, потребовались немалые усилия целого поколения выдающихся исследователей, и, замечу, не малые жертвы. Вовлеченность в столь мрачную проблему никогда не проходит даром. Больцман, размышляя над свойствами энтропии, пришел к выводу о неизбежном разложении высокоорганизованной жизни на простейшие, составляющие ее, элементы. Этот неизбежный конец он назвал тепловой смертью вселенной. Всю свою оставшуюся жизнь он посвятил поиску других возможных путей эволюции вселенной, не найдя их, заболел тяжелым нервным расстройством и покончил жизнь самоубийством в 1906 году.

Но вернемся к выражению для энтропии. По самому смыслу величины ,



Отсюда получаем другое выражение для энтропии, которое и является основным в статистической физике.

Физический смысл энтропии
Нам осталось лишь выяснить физический смысл энтропии, и почему с этой величиной связаны столь далеко идущие последствия.

Прежде, чем перейти к решению этой задачи остановимся на важном различии между замкнутыми системами и системами, находящимися в равновесии со своим окружением.
Замкнутые системы и подсистемы (каноническое и микроканоническое распределения)
В выписанном выше выражении функция определяет вероятность того, что некоторая небольшая, но макроскопическая часть большой системы, находится в состоянии с энергией . В отличии от замкнутой системы, энергию такой небольшой подсистемы () мы можем назначать по собственному усмотрению. В замкнутой системе ситуация не такая. После того как такая система создана, энергия ее строго фиксирована и что бы там, внутри этой системы ни происходило, измениться не может. Обозначим это фиксированное значение энергии . В силу закона сохранения энергии теперь система может двигаться только по таким фазовым траекториям, на которых ее общая энергия равна . Т.е. вероятность состояний замкнутой системы с другими значениями энергии равна нулю. Зато в соответствии с теоремой Лиувилля вероятность всех состояний, в которых энергия системы равна , одинакова. Ведь вдоль фазовых траекторий ! Эти условия можно записать в виде.



Но здесь есть одна проблема. Функция распределения должна удовлетворять условию нормировки, т.е. интеграл от нее по всему фазовому пространству должен быть равен единице. И проблема эта состоит в том, что интеграл от функции, которая отлична от нуля в одной единственной точке (), а в этой самой точке равна просто константе, строго равен нулю. Для того, чтобы совместить условие нормировки с этим фактом, функцию надо записать в виде:


Здесь введена, так называемая, - функция. Это одна из самых знаменитых и употребительных в физике функций. Кажется, впервые ее ввел в физику один из создателей квантовой теории Поль Дирак. Во всяком случае, ее официальное название - функция Дирака. Она обладает всеми нужными нам свойствами. За одним исключением: при она равна не просто константе, а бесконечности:


(Более подробно о свойствах - функции см. приложение к этой лекции).

Итак, функция распределения замкнутой системы равна
.

Это распределение называется каноническим. Каноническим распределением мы будем пользоваться на протяжении всего этого курса. Микроканоническое распределение будет встречаться не так часто, но, в данном случае оно нам необходимо.
Итак, рассмотрим большую замкнутую систему и предположим, что она разбита на какое-то количество взаимодействующих друг с другом подсистем. Вот тут-то нам и необходимо микроканоническое распределение. Вероятность найти систему в таком состоянии равна


Здесь и т.д. статистические веса подсистем, составляющих нашу замкнутую систему. - функция в этом выражении обеспечивает равенство суммы энергий всех подсистем полной энергии нашей замкнутой системы.

Перепишем величину в виде:

Полагая, что для формула, определяющая связь этой величины с энтропией i-ой подсистемы, остается справедливой, получим, что . В то же самое время величину в этом выражении с очень большой точностью можно считать постоянной (в одном и том же интервале энергий число состояний подсистемы при ее приближении к равновесному состоянию лавинообразно нарастает). Тогда выражение для можно переписать в виде

Здесь - полная энтропия замкнутой системы. Вот теперь становится понятным, что состояния замкнутой системы, тем более вероятно, чем выше энтропия этого состояния. Или, другими словами, при переходе системы от неравновесного, т.е. менее вероятного состояния, к равновесному, т.е. к состоянию более вероятному, энтропия этой системы растет.

Похожие:

Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconЦентральная предельная теорема
Утверждается, что, где функция распределения ст нормального распределения (Это сходимость по распределению, т к слева стоит, а это...
Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconАнализ распределения плотности паренхимы молочной железы по возрастным группам в условиях гуз сокод
Целью исследования является изучение распределения рентгеновской плотности паренхимы молочных желез у женщин, прошедших маммографическое...
Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconФункции работы со случайными числами Функции плотности вероятности dbeta(x,s1,s2)
На рис. 47 представлены графики плотности и функции бета-распределения с различными параметрами формы
Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconЗадача анализа данных в современной физике частиц. Проблемы "классического подхода" к статистическим выводам
Функция распределения случайных величин. Плотность распределения. Моменты функции распределения: математическое ожидание, дисперсия,...
Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconНепрерывные случайные величины. Закон Гаусса. Правило 3-х сигм
Закон Гаусса. Пусть х – значение непрерывной случайной величины, dx- малый интервал, то вероятность dP того, что х находится в интервале...
Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconКинетическое уравнение для функции распределения заряженных частиц в среде
Функция распределения статистической механической бесстолкновительной системы определяется уравнением
Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconВсе мировые и Российские даты и события, о которых стоит знать
...
Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconФормирование выборки случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения
Цель: освоение методов генерации последовательности значений случайных величин и построения графиков функций распределения и плотности...
Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconВопросы по теории вероятностей и математической статистике «на четверку» 1 часть. Вероятность случайного события
Функция распределения. Плотность распределения вероятностей. Основные свойства. Примеры
Лекции Мы потратили довольно много усилий, в конце которых была получена функция плотности распределения iconВ., Кукуш А. Г., Харченко В. П. Оценка вероятности правильного распознавания по правилу Байеса при неточно известной плотности распределения
Оценка вероятности правильного распознавания по правилу Байеса при неточно известной плотности распределения
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org