Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука»



страница1/6
Дата26.11.2012
Размер0.59 Mb.
ТипЛекции
  1   2   3   4   5   6




ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 40

С. В. ФОМИН

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

издание пятое

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ .ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1987

ББК 22.131

Ф76 УДК 511.2(021]

Фомин С. В.

Ф76 Системы счисления. — 5-е изд. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 48 с.—(Попул. лекции по мат.)

5 коп. 127 000 экз.

В брошюре рассказывается об истории возникновения, свойствах и применении различных систем счисления: десятичной, двоичной и некоторых других. В связи с двоичной системой счисления да­ются элементарные сведения о вычислительных машинах.

4-е изд. — 1980 г.

Для учащихся старших классов средней школы.

© Издательство «Наука». Главная редакция-физико-математической литературы. 1980

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 4

§ 1. О круглых и некруглых числах 5

§ 2. Происхождение десятичной системы счисления 7

§ 3. Другие системы счисления и их происхождение .... 8

§ 4. Позиционные и непозиционные системы 11

§ 5. Арифметические действия в различных системах счисления 12

§ 6. Перевод чисел из одной системы в другую 15

§ 7. О признаках делимости 19

§ 8. Двоичная система 21

§ 9. Игра «ним» (игра в три кучки спичек) 25

§ 10. Двоичный код в телеграфии 27

§ 11. Двоичная система — хранительница тайн 29

§ 12. Несколько слов о вычислительных машинах 32

§ 13. Почему электронная машина «предпочитает» двоичную систему счисления 34

§ 14. Об одном замечательном свойстве троичной системы ... 37

§ 15. О бесконечных дробях . 40

ПРЕДИСЛОВИЕ

Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всем земном шаре, алфавитом служат десять цифр, от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не вез­де люди пользовались десятичной системой. С точки зре­ния чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.

В последнее время с десятичной системой серьезно конкурируют двоичная и отчасти троичная система, ко­торыми «предпочитают пользоваться» современные вы­числительные машины.

О свойствах, истории возникновения и применении различных систем счисления будет рассказано в этой книжке. Ее чтение не требует математических познаний, выходящих за пределы школьной программы.


Во втором издании добавлены два новых параграфа (§§ 9 и 11) и сделаны некоторые мелкие исправления. Пятое издание печатается без изменений.

§ 1. О КРУГЛЫХ И НЕКРУГЛЫХ ЧИСЛАХ

«Из подъезда вышел человек лет около 49; пройдя по улице метров 196, он зашел в магазин, купил там две семерки яиц и пошел дальше...». Не правда ли, такое описание звучит несколько странно? Когда мы оцениваем какую-то величину — возраст человека, расстояние и т. п. — приблизительно, то мы всегда пользуемся круглыми числами и говорим обычно «метров 200», «человек лет 50» и т. п. С круглыми числами проще оперировать, чем с некруглыми, их легче запомнить, с ними удобней производить арифметические действия. Например, ни для кого не составит труда умножить в уме 100 на 200, если же нужно перемножить два некруглых трехзначных чис­ла, скажем 147 и 343, то далеко не всякий сделает это без карандаша и бумаги.

Говоря о круглых числах, мы обычно не отдаем себе отчета в том, что деление чисел на круглые и некруглые, по существу, условно и что одно и то же число может быть круглым или некруглым в зависимости от того, какой системой записи чисел или, как обычно говорят, какой системой счисления мы пользуемся. Чтобы разобраться в этом вопросе, посмотрим прежде всего, что представляет собой наша обычная десятичная система счисления, которой мы все пользуемся. В этой системе каждое целое положительное число представляется 9 виде суммы единиц, десятков, сотен и т. д., т. е. в виде суммы различных степеней числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать значения от 0 до 9 включительно. Например, запись

•2548

означает, что рассматриваемое число содержит 8 единиц, 4 десятка, 5 сотен и 2 тысячи, т. в. 2548—это сокращенное

обозначение выражения

2- 103+5- Ю2 + 4-10 + 8- 10°.

Однако можно было бы с таким же успехом предста­вить каждое число в виде комбинации степеней не числа 10, а какого-либо другого целого числа (кроме 1), на­пример числа 7. В этой системе, называемой «семерич­ной системой счисления» или «системой счисления с основанием 7», мы вели бы счет от 0 до 6 обычным обра­зом, а число 7 приняли бы за единицу следующего раз­ряда. Его естественно обозначить в нашей новой семеричной системе символом

10

(единица второго разряда). Чтобы не путать это обозна­чение с десятичным числом 10, припишем к нему зна­чок 7, т. е. окончательно вместо 7 будем писать

(Ю)7.

Единицами следующих разрядов должны служить числа 72, 73 и т. д. Их естественно обозначить

(100)7, (ЮООЬ и т. д.

Любое целое число можно скомбинировать из степе­ней числа 7, т. е. представить в виде

где каждый из коэффициентов ао,а\, ..., ak может при­нимать любое целое значение от 0 до 6. Как и в случае десятичной системы, естественно опускать при записи чисел в системе с основанием 7 сами степени этого осно­вания и писать это число в виде

отметив опять-таки значком ? тот факт, что в основу системы счисления, которой мы пользуемся, положено именно число 7.

Рассмотрим пример. Десятичное число 2548 можно представить в виде

Г- 74 + 0 • 73 + 3 • 72 + 0 • 7 + О, т. е., в принятых нами обозначениях, в виде

(10300)7.

Таким образом,

(2548)10 = (10300)7.

Обратим внимание на то, что при пользовании этой но­вой «семеричной» системой записи круглыми будут со­всем не те числа, которые были круглыми в десятичной системе. Например,

(147)ш = (300)7) (343)ш = (1000)7

(так как 147 = 3-72 и 343 = 73); в то же время (100)10 = (202)7) (500),„ = (1313)г

и т. д. Поэтому в семеричной системе умножить в уме (147)10 на (343) ю проще, чем (100)ю на (200) ю-Если бы мы пользовались семеричной системой, то, несомненно, возраст 49 лет (а не 50) воспринимался бы как «круглая дата» и отмечался бы как юбилей, мы говорили бы «метров 98» или «метров 196», прикидывая расстояние на глаз (поскольку (98)ю = (200)7 и (196)10 = (400)7 — круглые числа в семеричной системе), считали бы пред­меты семерками, а не десятками и т. д. Короче говоря, если бы семеричная система была общепринятой, то та фраза, с которой мы начали изложение, никого бы не удивила.

Однако на самом деле семеричная система не имеет сколько-нибудь широкого распространения и никак не может конкурировать с повсеместно распространенной десятичной системой. В чем же причина этого?

§ 2. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Почему именно числу 10 отведена такая привилеги­рованная роль? Человек, далекий от этих вопросов, от­ветил бы, вероятно, не задумываясь, так: дело просто в том, что число 10—круглое, на него удобно умножат^ любое число, поэтому удобно считать десятками, сотнями и т. д. Мы, однако, уже выяснили, что дело обстоит как раз наоборот: число 10 потому и круглое, что оно при­нято за основание системы счисления. При переходе к

1

какой-либо иной системе счисления, скажем семеричной (где оно записывается в виде (13);), его «круглость» немедленно исчезнет.

Причины, по которым именно десятичная система оказалась общепринятой, совсем не математического ха­рактера. Десять пальцев рук — вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался, начи­ная с доисторических времен. По пальцам удобно счи­тать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т. е. ис­пользовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда). Десять десятков составляют единицу третьего разряда и т. д. Таким образом, именно счет по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам сейчас чем-то само собой разумеющимся.

§ 3. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ИХ ПРОИСХОЖДЕНИЕ

Десятичная система счисления далеко не сразу за­няла то господствующее положение, которое она имеет сейчас. В разные исторические перио-АЫ многие народы пользовались систе-мами счисления, отличными от деся­тичной.

Так, например, довольно широкое
распространение имела двенадцате-
ричная система. Ее происхождение
связано, несомненно, тоже со счетом
.... у г -, , на пальцах, а именно, так как четыре
V/', ( I пальца руки (кроме большого) имеют
\ /в совокупности 12 фаланг (рис. 1), то

^ по этим фалангам, перебирая их по

Рис. 1

очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принима­ется за единицу следующего разря­да и т. д. В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того чтобы сказать «двенадцать»,, мы часто говорим «дюжина». Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. п.) очень часто считают именно дюжинами, а не десятками. (Вспомните, напри-

8

мер, что сервиз бывает, как правило, на 12 или на 6 че­ловек и значительно реже на 10 или на 5.) Сейчас уже крайне редко встречается слово «гросс», означающее «дюжину дюжин» (т. е. единицу третьего разряда в две-надцатеричной системе), но еще несколько десятков лет тому назад оно было довольно широко распространено, особенно в торговом мире. Дюжина гроссов называлась «масса», однако сейчас такое значение слова «масса» мало кому известно*).

Несомненные остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан — в системе мер (напри* мер, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шил­линг = 12 пенсам).

Заметим, что с математической точки зрения двенад-цатеричная система имела бы, пожалуй, некоторые пре­имущества перед десятичной, поскольку число 12 делится на 2, 3, 4 и 6, а число 10 только на 2 и 5, а боль­ший запас делителей, у числа, служащего основанием си­стемы счисления, создает известные удобства в ее ис­пользовании. К этому вопросу мы еще вернемся в § 7, в связи с признаками делимости.

В древнем Вавилоне, культура которого, в том числе и математическая, была довольно высока, существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Мнения ис­ториков по поводу того, как именно возникла такая си­стема, расходятся. Одна из гипотез, впрочем не особенно достоверная, состоит в том, что произошло смешение двух племен, одно из которых пользовалось шестерич­ной системой, а другое — десятичной. Шестидесятерич­ная система возникла как компромисс между этими двумя системами. Другая гипотеза состоит в том, что ва­вилоняне считали продолжительность года равной 360 сут­кам, что, естественно, связывалось с числом 60. Однако это предположение тоже нельзя считать достаточно об­основанным: астрономические познания древних вавило­нян были довольно значительны, поэтому следует думать, что погрешность, с которой они определяли продол­жительность года, была значительно меньше, чем 5 су­ток. Несмотря на то, что происхождение шестидесяте-ричной системы остается неясным, самый факт ее

*) Хотя, возможно, именно в нем лежит корень таких употреби­тельных выражений, как «масса дел», «масса людей» и т. п. (ср. с выражениями «тысяча дел» и т. д.).

2 Зак. 336 9

существования и широкого распространения в Вавилон­ском государстве достаточно хорошо установлен. Эта си­стема, как и двенадцатеричная, в какой-то степени сохра­нилась и до наших дней (например, в делении часа на 60 минут, а минуты — на 60 секунд и в аналогичной си­стеме измерения углов: градус = 60 минутам, 1 мину­та = 60 секундам). В целом, однако, эта система, тре­бующая шестидесяти различных «цифр», довольно гро­моздка и менее удобна, чем десятичная.

По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племен была распростра­нена пятеричная система счисления. Связь этой си­стемы со строением человеческой руки — первоначаль­ной «счетной машины» — достаточно очевидна.

У ацтеков и майя — народов, населявших в течение многих столетий обширные области американского кон­тинента и создавших там высокую культуру, почти пол­ностью уничтоженную испанскими завоевателями в 16—• 17 вв., — была принята двадцатеричная система. Та же двадцатеричная система была принята и у кельтов, на­селявших Западную Европу, начиная со второго тысяче­летия до нашей эры. Некоторые следы двадцатеричной системы кельтов сохранились в современном француз­ском языке: например, «восемьдесят» по-французски бу­дет quatre-vingts, т. е. буквально «четырежды двадцать». Число 20 встречается и во французской денежной систе­ме: основная денежная единица — франк —делится на 20 су.

Из четырех перечисленных выше систем счисления (двенадцатеричной, пятеричной, шестидесятеричной и двадцатеричной), сыгравших наряду с десятичной замет­ную роль в развитии человеческой культуры, все, кроме шестидесятеричной, источники которой неясны, связаны с тем или иным способом счета по пальцам рук (или и рук, и ног), т. е. имеют, подобно десятичной системе, не­сомненное «анатомическое» происхождение.

Как показывают приведенные выше примеры (их число можно было бы значительно увеличить), много­численные следы этих систем счисления сохранились до наших дней и в языках многих народов, и в принятых денежных системах, и в системах мер. Однако для за­писи чисел и для выполнения тех или иных вычислений мы всегда пользуемся десятичной системой.

10

§ 4. ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

Все те системы счисления, о которых мы говорили выше, строятся по одному общему принципу. Выбирает­ся некоторое число р — основание системы счисления, и каждое число N представляется в виде комбинации его степеней с коэффициентами, принимающими значения от О до р— 1, т. е. в виде

ak-P* + ak-fPk-l+ ••- + at-P + au. Далее такое число сокращенно записывается в виде

В этой записи значение каждой цифры зависит от того места, которое эта цифра занимает. Например, в числе 222 двойка участвует три раза. Но самая правая из них означает две единицы, вторая справа — два десятка,т.е. двадцать, а третья — две сотни. (Здесь мы имеем в виду десятичную систему. Если бы мы пользовались какой-либо другой системой счисления, скажем с основанием р, то эти три двойки означали бы соответственно величины 2, и 2р2.) Системы счисления, построенные, таким об­разом, называются позиционными.

Существуют и другие — непозиционные систе­мы счисления, построенные на иных принципах. Обще­известный пример такой системы — так называемые рим-1 ские цифры. В этой системе имеется некоторый набор основных символов, а именно единица I, пять V, десять X. пятьдесят L, сто С и т. д., и каждое число представ­ляется как комбинация этих символов. Например, число 88 в этой системе запишется так:

LXXXVIII.

В этой системе смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Так, в приведенной выше записи числа 88 цифра X, участвуя три раза, каждый раз означает одну и ту же величину — десять единиц.

2* 11

Римские цифры мы часто встречаем и сейчас, напри­мер на циферблатах часов, однако в математической практике они не применяются. Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие чис­ла с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем — это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах. (Попробуйте для сравнения, например, перемножить два трехзначных числа, записав их римскими цифрами.)

Дальше мы будем говорить только о позиционных системах счисления.

  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconФайловая оболочка far. Работа с файлами и каталогами
Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Смешанные системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления...
Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconУрок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления
Ввести понятия: система счисления, позиционные непозиционные системы счисления, алфавит, основание, базис системы счисления. Указать...
Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconКонспект урока перевод чисел из одной системы счисления в другую. Фио (полностью) Горбунова Татьяна Ивановна
Цель урока: Обобщить и систематизировать понятия по теме: «Системы счисления». Сформировать способность учащихся переводить числа...
Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconСамостоятельная работа по сс№1 Вариант №1 С/Р 8 кл Что такое Система Счисления? Что называется алфавитом системы счисления. Какие системы счисления существуют?
Какая система счисления называется позиционной? Сформулируйте правило этой системы счисления
Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconСистемы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления
Цель: познакомить с историей возникновения и развития систем счисления, указать на основные недостатки и преимущества непозиционных...
Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconОткрытое общество и его враги. Том I. Чары Платона
Первое издание — 1945. Второе издание (переработанное) — 1952. Третье издание (переработанное) — 1957. Четвертое издание (переработанное)...
Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconСистемы счисления
Цель: Познакомить учащихся с понятием систем счисления, развитием систем счисления от буквенных до позиционных, дать понятие основания...
Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconУрок в 10 классе Тема урока: Системы счисления
Цель урока: закрепление, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Системы счисления» правил перевода чисел в различные...
Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconКодирование чисел. Системы счисления
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием n оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления...
Лекции по математике выпуск 40 С. В. Фомин системы счисления издание пятое москва «наука» iconУрок по теме «Арифметические основы эвм»
Познакомить учащихся с понятием системы счисления, развитием систем счисления от буквенных до позиционных, дать понятие алфавита...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org