Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы



Скачать 57.62 Kb.
Дата26.11.2012
Размер57.62 Kb.
ТипДокументы
VII. ДИНАМИКА ЧАСТНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
48. Одномерные КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ системы.

I ОДНОМЕРНАЯ СИСТЕМА материальных точек - такая система, в которой закон движения (ЗД) всех материальных точек в силу их связи-взаимодействия выражается через одну обобщенную координату q(t). Определение закона движения по известному лагранжиану L, функции

Релея Ф и закону непотенциальных сил эквивалентно определению интегралов движения из уравнения движения, в частности, кинетической энергии. УДЛ



При стационарных связях

,



и уравнение движения принимает вид





Уравнение движения равнозначно двум уравнениям первого порядка






дает или уравнение кривой в пространстве - на плоскости (q,p)

СОСТОЯНИЕ (фаза) -механической системы есть задание значений всех ее

физических величин или независимых из них. Так как закон движения однозначно определяется как



функция начальных значений координат и импульсов, а начальный момент произволен, то состояние системы однозначно определяется координатой и

импульсом gif" name="object16" align=absmiddle width=49 height=19>

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ, Фазовая плоскость )ФП(q,p) - плоскость состояния ЛО - абстрактное пространство ( плоскость) обобщенных координат и импульсов , которые называются фазовыми координатами и в котором вдоль осей координат системы отсчета СО S(V=0, =0) с началом отсчета в положении равновесия, отложены значения q координаты и импульса p линейного осциллятора - фазовой координаты ЛО.

Фазовая точка (ФТ) - точка фазового пространства с фазовыми координатами x(t), p(t) которая в данный момент t соответствует состоянию ЛО.

Вектор состояния - радиус вектор фазовой точки состояния


Фаза состояния  - полярный угол (t) вектора состояния в полярных координатах фазовой точки ФП(X) на фазовой плоскости.

tg (t)=p`(t)/q(t) при t=t0=0; tg0=p(0)`/q(0)=

Фазовая траектория ФТР(ЛО) - непрерывная последовательность бесконечно малых перемещений фазовой точки dX(t) как линия , которую описывает ФТ. Фазовая точка вследствие движения системы.

Угловая скорость- циклическая частота,.



- скорость изменения его фазы вследствие движения

Уравнение движения



эквивалентно двум уравнениям первого порядка и полной системе интегралов

движения

,



в частности в потенциальном поле.



Любая система мгновенно консервативна



Существуют точки остановки



Продолжение движения за них привело бы к невозможному закону движения

в квадратурах . Если смещение от равновесия обозначено x = q - qo



или



зависит только от e и t0, т.е. является 2-м скалярным интегралом движения.

Если U(x)<0, о =T+U(x), так что при -U(x)<0

или -мнимое время.

но -U(x)= MV2/2>0, так что мнимое решение УДдаст неосуществимое движение системы, противоречащее закону сохранения . Поэтому во время движения должен выполняться закон :

-U(x)>0

Значит, в точках x1,x2 , где -U(x)=0 скорость системы должна менять знак на обратный.

Точки поворота x1,x2 ... - точки , в которых система меняет знак на противоположный. Они определяются из уравнения точек поворота -U(x)=0 когда потенциальная энергия равна полной и кинетическая обращается в поле, т.е. система останавливается. Точки поворота есть точки останова.


Координаты точек поворота x1(x2 ( зависят только от полной энергии,

Запрещенные области - в которых закон движения получается мнимым, а

кинетическая энергия - отрицательной. - (x1,x2), (x3,) - области координат, в которых решения уравнения движения мнимые, т.е. не выполняется закон сохранения энергии. U(x), движение невозможно.

Разрешенные области - в которых закон движения действительный .

РАВНОВЕСИЕ - средняя точка между точками поворота U(x), где

потенциальная энергия достигает минимума , устойчиво



Потенциальная яма - разрешенная область между ближайшими конечными точками поворота (x1,x2).

Потенциальный барьер - запрещенная область между ближайшими конечными точками поворота (x2,x3).

Финитное движение - в потенциальной яме, где x<

Инфинитное - между бесконечно удаленными точками поворота.

Колебательное движение - периодическое финитное движение, в котором периодически повторяются координаты и импульсы x, в обоих порядках следования.



В потенциальной яме, если точки поворота определены как корни уравнения -U(x)=0 то выражение



разлагается в трехчлен, в котором (x-x1)>0, (x2-x)>0, x)>0

(x) не имеет корней. Замена

x=(t)

дает



где от времени t зависит лишь t)), а x-xi - независимые переменные. Поэтому



Эквивалентно двум уравнениям



Симметризующая замена переменных через координаты точек поворота.


дает


Закон финитного движения в потенциальной яме - колебательный.

Время перехода между точками поворота x1,x2 , равное t-t0 =T/2, есть половина периода колебания, равно времени обратного движения.



- второй скалярный интеграл движения.

Период колебания



второй скалярный интеграл движения.

В точках поворота



Частота колебаний финитной системы зависит от амплитуды-максимального смещения от равновесия



Движение системы около точки остановки x1, x0-x1<< x1, и x-x1<< x1 где потенциальная энергия равна U(x1) = Е0 , представляется первыми слагаемыми разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x1,



Подстановка в формулу для закона движения в квадратурах вблизи, но не в самой точке остановки, дает



отсюда, находится

Очевидно, знак + в правой части нужно поставить, если x0>0, а знак -, если x0 <0. Пусть x0=x, т.е. частица в начальный момент времени t0 находится в точке остановки.

Тогда закон движения вблизи x1 имеет вид:



т.е. частица движется с постоянным ускорением, что и должно быть, т.к. движение происходит под действием постоянной силы. Если отрезок пути S примыкает к точке остановки, то для его прохождения необходимо затратить конечный отрезок времени несмтря на расходимость интеграла

т.е. Малый отрезок пути S вдали от точки остановки частица проходит за время ts? так как в системе подобран ЛГО в вблизи точки остановки частица затрачивает большее время на прохождение малого отрезка пути S, чем вдали от нее , так как скорость частицы вблизи точки остановки стремится к нулю. Вблизи максимума потенциального барьера, где U`(x)=0,(неустойчивое равновесие)

Разложение U(x) в окрестности x1 так как U`| x=x1=0.



Поскольку в точке x1 U(x) имеет максимум, то U``(x1)<0.

где

Отсюда следует закон движения частицы в виде



Знак в показателе экспоненты определяется направлением скорости частицы в начальный момент времени t0 в точке x0. В окрестности точки x1 при приближении к ней



если выбран знак (-) и закон движения принимает вид



при удалении от x1

По достижении x(t) = x1

для прохождения участка пути до точки остановки x1, находящейся в максимуме потенциального барьера, частице необходимо бесконечно большой отрезок времени, т.е. частица может приблизится к x1 лишь асимптотически.

Похожие:

Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconГ. А. Маковкин динамика механических систем учебное пособие
Динамика механических систем: Учебное пособие. – Н. Новгород, Нижегород гос архитект строит ун-т, 2011г. – 147 с
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconКолебания систем с несколькими степенями свободы 12. 1 Колебательные системы с несколькими степенями свободы
Рассмотрим системы с несколькими степенями свободы, которые могут совершать колебательные движения вблизи устойчивых положений равновесия....
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы icon5Б1(1): Собственные и вынужденные одномерные колебания
Б9(1): Движение механических систем при наложенных связях. Голономные связи. Принцип виртуальных перемещений. Принцип Даламбера
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconГармонические колебания механических систем с одной степенью свободы
Считаем, что система имеет состояние устойчивого равновесия, в котором потенциальная энергия системы принимает минимальное значение....
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconОцеки потери дальности механических систем на неупругих рикошетах
Грушевский А. В. Оценки потери дальности механических систем на неупругих рикошетах
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconПрограмма дисциплины Региональная политика России для направления 030200. 68 Политология, специальность прикладная политология, подготовка магистра Автор д г. н., проф. Скопин А. Ю
Определение региона. Макро-, мезо- и микрорегионы. Регион как система. Вертикальная и горизонтальная структура региональной системы....
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconВопросы вступительного экзамена по специальной дисциплине 08. 00. 13 Инструментальные методы экономики
Основные положения теории систем. Определение системы. Свойства системы. Классификация систем. Модели экономических систем
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconМеханический гармонический осциллятор
...
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы iconПрограмма Государственного экзамена по подготовке магистра по направлению «Радиофизика» (510419)
Консервативные и диссипативные колебательные системы и их фазовые портреты. Метод фазовой плоскости
Vii динамика частных механических систем. 48. Одномерные колебательные системы icon05. 13. 12 «Системы автоматизации проектирования» по физико-математическим и техническим наукам
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: автоматизация проектирования систем; системное программное обеспечение;...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org