Касательная плоскость и нормаль



Скачать 28.04 Kb.
Дата27.11.2012
Размер28.04 Kb.
ТипДокументы
§8. Касательная плоскость и нормаль.

Пусть - гладкая поверхность. Зададим функции . Потребуем, чтобы функции были гладкими и производные и не обращались в нуль одновременно на промежутке . Подставим их в векторное уравнение поверхности: . Это гладкая линия на поверхности . Верно и обратное, любая линия на поверхности может быть задана уравнениями .

Рассмотрим произвольную регулярную точку , то есть в этой точке . Будем обозначать плоскость, проходящую через точку параллельно векторам через .

Теорема. Пусть . Тогда множество касательных в точке ко всем гладким кривым которые лежат на поверхности , и проходят через эту точку, образуют пучок прямых плоскости с центром в точке .

† 1) Пусть - гладкая линия на поверхности, проходящая через точку . Ее уравнения . Пусть gif" name="object25" align=absmiddle width=15 height=24> - параметр, соответствующий точке , ее криволинейные координаты обозначим . Найдем касательный вектор к в точке: , где вычислены в точке , в точке . Следовательно, касательная к линии лежит в плоскости .

2) Докажем обратное, что любая прямая плоскости является касательной к некоторой гладкой линии лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Пусть - прямая в плоскости . Тогда , . Рассмотрим кривую . Очевидно, эта кривая лежит на поверхности . Векторное уравнение этой линии в пространстве имеет вид . Найдем ее касательный вектор в точке : , то есть ее касательная в точке совпадает с прямой . †
Определение. Плоскость, в которой лежат все касательные к кривым поверхности , проходящим через точку , называется касательной плоскостью поверхности в точке . Обозначение .

Двумерное векторное пространство называется касательным векторным пространством поверхности в точке и обозначается . Пара векторов образует его базис.
Определение. Нормалью к гладкой поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной плоскости.

Заметим, что является направляющим вектором нормали. Будем обозначать нормаль .

Замечание. Семейство прямых пространства ,зависящее от двух параметров, называется конгруэнцией. Семейство нормалей зависит от параметров , следовательно, является конгруэнцией.
Как написать уравнения касательной плоскости и нормали, если поверхность задана различными способами?

1. Поверхность задана векторным уравнением . Тогда нужно найти , и по этим данным написать уравнения.

2. Пусть поверхность задана в неявном виде: .

Лемма. Если гладкая поверхность задана в неявном виде уравнением , то вектор и является перпендикулярным вектором к касательной плоскости к поверхности в данной точке .

†Так как поверхность гладкая, . Докажем, что перпендикулярен касательной плоскости. Для этого достаточно доказать, что если любая кривая поверхности проходит через точку М, то ее касательный вектор перпендикулярен вектору . Пусть лежит на поверхности . Тогда - тождество. Продифференцируем его по : . Это скалярное произведение вектора и касательного вектора кривой . †

Чтобы написать уравнения касательной плоскости и нормали, нужно найти вектор , затем написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно вектору .

Похожие:

Касательная плоскость и нормаль iconФакультет: Естественных наук
Кривые и параметризация кривых. Касательная прямая к кривой. Соприкасающая плоскость. Кривизна и кручение. Простые и регулярные поверхности....
Касательная плоскость и нормаль iconПеречень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы
Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной параметрическими уравнениями
Касательная плоскость и нормаль iconКасательная плоскость и нормаль к поверхности экстремум функции двух независимых переменных
Определение Пусть даны 2 непустых множества и. Если каждой паре действительных чисел, принадлежащих множеству, по определенному правилу...
Касательная плоскость и нормаль iconКасательная плоскость шара, цилиндра и конуса
Плоскость q называется касательной плоскостью в точке A. Возможно, что в некоторой точке поверхности не существует касательной плоскости....
Касательная плоскость и нормаль iconВопросы к экзамену по курсу векторный и тензорный анализ для а3-п семестра кратные интегралы
Особые точки поверхности, касательная плоскость и ее уравнение в векторной форме
Касательная плоскость и нормаль iconУрок 10. Касательная плоскость к сфере
Цель урока: рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме
Касательная плоскость и нормаль iconРешение. 1 Поверхность. Найдем вектор нормали в произвольной фиксированной точке : Тогда касательная плоскость имеет уравнение
А] №1038. Показать, что функция, является параметрическим представлением эллиптического параболоида. Найти его координатную сеть
Касательная плоскость и нормаль iconПредложение. Кривая геодезическая тогда и только тогда, когда в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности. Пример
Пусть гладкая поверхность, кривая называется геодезической, если в каждой ее точке геодезическая кривизна
Касательная плоскость и нормаль iconРабочая плоскость Содержание Рабочая плоскость
Можно представлять себе пересечение курсора и рабочей плоскости как некоторую точку, которая перемещается по рабочей плоскости. Таким...
Касательная плоскость и нормаль icon1. Гpуппы Ли. Подгpуппы Ли. Многообpазие смежных классов и фактоpгpуппа Ли
Касательная алгебpа Ли гpуппы Ли. Касательная алгебpа линейной гpуппы Ли. Диффеpенциал гомомоpфизма гpупп Ли. Пpисоединенное пpедставление...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org