§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности



Скачать 47.49 Kb.
Дата27.11.2012
Размер47.49 Kb.
ТипДокументы
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности.

Пусть дана гладкая поверхность




Рассмотрим гладкую кривую на поверхности . При перемещении точки М вдоль кривой ее касательный вектор раскладывается по базисным векторам касательной плоскости в точке М : . Продифференцируем это тождество.

. (*)

Как мы доказали в §9, , тогда - единичный вектор нормали к поверхности .

Так как , то . Умножим (*) скалярно на :

. Тогда . Аналогично, , . Итак, - квадратичная форма на касательном векторном пространстве . Она называется второй квадратичной формой поверхности.

Если поверхность лежит на плоскости, то вторая квадратичная форма тождественно равна нулю, так как .
Пусть - гладкая линия на поверхности gif" name="object23" align=absmiddle width=95 height=27>, заданная параметрическими уравнениями в локальных координатах относительно натурального параметра. Тогда и касательный вектор кривой . По формуле Френе , где - единичный вектор нормали к кривой в точке М. С другой стороны, . Умножим скалярно на .

.

Число называется нормальной кривизной кривой на поверхности .




, где - угол между нормалью к поверхности и главной нормалью к кривой. Итак, мы доказали

Теорему (Менье). Пусть - гладкая кривая на поверхности , - угол между нормалью к поверхности и главной нормалью к кривой. Тогда . (**) †
Выясним геометрический смысл нормальной кривизны. Если точка фиксирована, то коэффициенты первой и второй квадратичных форм имеют вполне определенное значение, так что их можно считать постоянными, следовательно правая часть зависит только от отношения дифференциалов (если разделить числитель и знаменатель на ). Отношение определяет направление касательной в точке М к линии , так как . Следовательно, правая часть выражения (**) зависит от направления касательной к кривой и имеет одно и то же значение для всех кривых , имеющих в данной точке общую касательную.

Пусть касательная к кривой задана. Тогда правая часть выражения (**) вполне определяется. Рассмотрим случай . Соприкасающаяся плоскость остается еще при этом неопределенной . Точнее разные кривые с общей касательной могут обладать различными соприкасающимися плоскостями, образующими пучок плоскостей с общей прямой . Если соприкасающаяся плоскость в точке М указана, то однозначна определится вектор определится угол . Тогда определится кривизна кривой . Таким образом, задание касательной и соприкасающейся плоскости кривой в точке М вполне определяет ее кривизну .

Теорема (геометрический смысл формулы (**)). Для всевозможных кривых на поверхности эта формула устанавливает определенную зависимость между направлением касательной, положением соприкасающейся плоскости и кривизной в точке М. 
Следствие. Все кривые на поверхности, имеющие в данной точке общую касательную и общую соприкасающуюся плоскость (), имеют одну и ту же кривизну . 
Пусть гладкая кривая. Фиксируем на ней точку М. Рассмотрим в данной точке плоскость, проходящую через нормаль к поверхности в точке М, Таких плоскостей бесконечно много. Каждая из них при пересечении с поверхностью дает кривую, которая называется нормальным сечением поверхности в точке М. Таким образом, в каждой точке поверхности бесконечно много нормальных сечений. Но если фиксировать в точке М касательную в точке М к кривой , то нормальное сечение определяется однозначно (нормальная плоскость задается точкой М и векторами ). Обозначим это нормальное сечение . Его касательная должна лежать в касательной плоскости и в плоскости . Это есть касательная . Итак, кривые и в точке М имеют общую касательную. Обозначим кривизну кривой через и найдем связь между нормальной кривизной кривой и кривизной : (для нормального сечения единичный вектор главной нормали , где - единичный вектор нормали к поверхности ). Кроме того, если - кривизна кривой , то . Итак, доказана

Теорема. Кривизна кривой в точке М равна кривизне нормального сечения , имеющему общую касательную с , деленную на косинус угла между соприкасающейся плоскостью и плоскостью нормального сечения. †
Пусть . Найдем зависимость между нормальной кривизной и направлением касательной в точке М.

  1. Если в точке М , то по теореме Менье .

  2. Пусть в точке М хотя бы один коэффициент второй квадратичной формы отличен от нуля. В точке М рассмотрим касательную плоскость и пучок прямых в плоскости с центром в точке М. Для каждой такой прямой определяется значение нормальной кривизны . На каждой такой прямой в обе стороны от точки М отложим отрезки равные .

Линия, образованная концами отложенных отрезков, называется индикатрисой кривизны поверхности (или индикатрисой Дюпена) в точке М.
В касательной плоскости введем аффинную систему координат и найдем уравнение индикатрисы . Пусть , - единичный вектор, параллельный вектору . Параметрические уравнения кривой , для которой - касательный вектор в точке М. Тогда . В силу линейной независимости получим . Так как , то . Это уравнение линии второго порядка. Так как нас интересуют только вещественные кривые, возможны следующие случаи:

1) . Индикатриса является эллипсом. Точка М называется эллиптической. В частности, если эллипс является окружностью, то точка называется омбилической.

2) . Индикатриса является парой сопряженных гипербол. Точка М называется гиперболической.

3). Индикатриса является парой параллельных прямых. Точка М называется параболической.




Примеры. 1. Эллипсоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид состоят из эллиптических точек. Все точки сферы омбилические.

  1. Однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид состоят из гиперболических точек.

  2. Цилиндры, конусы состоят из параболических точек.

Похожие:

§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности iconПервая квадратичная форма поверхности
Так как, полученная квадратичная форма положительно определенная. Эта квадратичная форма задает евклидову структуру в касательном...
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности iconФакультет: Естественных наук
Кривые и параметризация кривых. Касательная прямая к кривой. Соприкасающая плоскость. Кривизна и кручение. Простые и регулярные поверхности....
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности iconРешение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид
Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги. Угол между кривыми на поверхности
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности iconПрограмма по дифференциальной геометрии
Первая фундаментальная форма. Длина кривой вдоль поверхности. Угол между кривыми вдоль поверхности
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности iconПрограмма по дифференциальной геометрии
Первая фундаментальная форма. Длина кривой вдоль поверхности. Угол между кривыми вдоль поверхности
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности icon§16. Изометрические поверхности. Изгибание поверхности
Биекция переведет ее в линию на поверхности. Будем называть эту линию линией поверхности. Аналогично вводится понятие линии поверхности....
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности iconСолнце как космический объект
Ускорение свободного падения на поверхности Солнца составляет 273,98 м/се Вторая космическая скорость на поверхности Солнца равна...
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности icon5 Поверхности
Большинство команд, генерирующих поверхности, автоматически строят необходимые линии и ключевые точки; подобным же образом появляется...
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности iconСеминар Найти полную кривизну поверхности вращения плоской кривой. Как она связана с кривизной ?
Найти полную кривизну поверхности вращения плоской кривой. Как она связана с кривизной ?
§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности iconЛабораторная работа №6 определение радиуса кривизны вогнутой поверхности
Цель работы: изучить законы движения катающегося по сферической вогнутой поверхности шарика, рассмотреть условия его гармонических...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org