Высшая математика



Скачать 335.68 Kb.
Дата09.10.2012
Размер335.68 Kb.
ТипМетодические рекомендации


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра математических методов и информатики в экономике

Н. Ю. Богачкова, Н. А. Черкунова

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации и контрольные задания

для студентов экономических специальностей
заочной формы обучения на базе
среднего специального и высшего образования


Волгоград 2008
Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доцент ВФ МУПК Р.С. Акопян;

канд. экон. наук, доцент ВолГУ Ю.В. Зайцева

Богачкова, Н. Ю., Черкунова Н. А.

Высшая математика [Текст] : метод. рек. и контрол. задания для студ. экон. спец. заоч. формы обучения на базе сред. спец. и высшего образования / Н. Ю. Богачкова, Н. А. Черкунова. Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2008. – 48 с.

Настоящие методические рекомендации состоят из двух разделов: «Математический анализ» и «Линейная алгебра». Каждый раздел содержит по две контрольные работы.

Предназначены для студентов заочной формы обучения на экономических специальностях.


© Н. Ю. Богачкова, Н. А. Черкунова, 2008

© Оформление. Издательство

Волгоградского государственного

университета, 2008



МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
При выполнении и оформлении контрольных работ следует руководствоваться следующими указаниями:


  1. Необходимо изучить теоретический материал, систематизируя полученные знания по разделам.

  2. При изучении и повторении теоретического материала могут быть использованы следующие учебники и пособия по высшей математике:

Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М., 2002.

Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов. М., 2003.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989.

  1. При подготовке к зачету (экзамену) следует придерживаться контрольных вопросов, приведенных в данном пособии.

  2. Контрольные работы необходимо выполнять самостоятельно, т. к. несамостоятельно выполненная работа не дает возможности проверить степень Вашей подготовленности по данным темам.

  3. Представленные контрольные работы необходимо правильно и грамотно оформить. Условие задачи переписывать полностью. Решения примеров и задач должны быть подробными, с записью окончательного результата. Рисунки и графики выполнять аккуратно и четко.


  4. Проверенную контрольную работу вместе с рецензией на нее студент должен представить на зачет (экзамен). Студент, не выполнивший контрольную работу, к зачету (экзамену) не допускается.

  5. Вариант контрольной работы определяется по последней цифре в номере зачетной книжки. Например, номер зачетной книжки оканчивается на цифру 3, следовательно, у вас вариант №3 и вы должны выполнить следующие задания: 3, 13, 23, 33, 43, 53 и т.д. Если номер зачетки оканчивается на 0, то у вас вариант №10.

Раздел I

Математический анализ
Задание 1.
Вычислить пределы.

1.1. .

Решение.

Имеем неопределенность вида . Учитывая, что поведение числителя и знаменателя при определяется членами с наибольшими показателями степеней (соответственно и ), разделим числитель и знаменатель на , то есть на с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя.

Используя теоремы о пределах, получим

.

Замечание. Пусть требуется найти предел отношения двух многочленов



а) если степень числителя больше степени знаменателя, предел равен

= ;

б) если степень числителя равна степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях

;

в) если степень числитель меньше степени знаменателя, то предел равен нулю

.
1.2.

Решение.

Имеем неопределенность вида . Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель на одно и то же выражение: . В результате в знаменателе получим разность квадратов.





.
1.3. .

Решение.

Имеем неопределённость вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: числитель – по формуле разности квадратов а знаменатель – по формуле разложения квадратного трёхчлена на множители при :

где  корни уравнения .

Получим .
1.4.

Решение.

Имеем неопределенность вида .

Обозначим если х , то .

Выразим через :





Осуществим замену переменной:



Используя свойства степени с одинаковым основанием

(аm+n = аm+n, аmn = (аm)n), теорему о пределе произведения, о пределе сложной функции и второй замечательный предел получим:

=

= .


Задание 2.
Найти производную функции:

2.1. .

Решение.

При вычислении производных пользуются следующими формулами и правилами (буквы означают постоянные величины, а и  функции):

, , ,

, , , , , , .Таким образом




2.2. .

Решение.



=

.


Задание 3.
3.1. Исследовать функцию и построить её график.

1) Областью определения функции являются все значения свободной переменной, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль.

; ,

.
2) Функция не является периодической.

Исследуем на четность и нечетность:

;

функция не является четной.

функция не является нечетной.

Функция является функцией общего вида.
Замечание: Вывод об общем виде функции можно сделать на основании несимметричности относительно начала отсчёта её области определения.
3) Функция имеет одну точку разрыва второго рода , поскольку в ней односторонние пределы бесконечны:

; .
4) Исследуем график функции на асимптоты.

4.1) Вертикальная асимптота задается уравнением , если

.

Следовательно, есть вертикальная асимптота графика функции .

4.2) наклонная асимптота задается уравнением , где

,

.

.



.

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .
5) Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс (в них ордината, т.е. , равна 0), которые вместе с точками разрыва разбивают область определения функции на интервалы знакопостоянства.

т.е. .
6) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

6.1) Производная функции

= = =



6.2) Критические точки  те точки из области определения функции, в которых производная либо не существует, либо равна нулю.

, если , но не является критической.

.







.

6.3) Нанесём критические точки на числовую прямую. Определим знак производной слева и справа от критических точек:

=

Поскольку при , то знак производной определяется знаком её числителя, т.е. знаком квадратного трёхчлена .

Воспользуемся методом интервалов.

При ;

при переходе через корень квадратный трёхчлен меняет свой знак на противоположный.

Согласно достаточному условию возрастания и убывания функции и первому достаточному условию экстремума, при и функция возрастает, при убывает;

 точка максимума,  точка минимума.

Находим ;

.

7) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

7.1) Вторая производная функции:

=







.

7.2) Найдем точки, в которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует, и определим ее знак слева и справа от этих точек.



при , но

Следовательно, точек перегиба нет. Вместе с тем, (x) меняет свой знак:

если

если
Следовательно, при функция выпукла вверх, а при функция выпукла вниз;
8) построим график функции.


Задание 4.
Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить дифференцированием.

4.1.

Решение.

При вычислении интегралов пользуются следующими свойствами интеграла (буква означает постоянную величину, а и  функции):

1) ;

2) .

Таблица основных неопределенных интегралов:

1. ,2. ,3. , ( ),4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

В данном задании используем метод замены переменной. Введем новую переменную . Тогда





Выразим дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной :



Осуществим замену переменной в подынтегральном выражении:

.

Следовательно,





Проверим результаты дифференцированием:





Получили подынтегральную функцию.

4.2.

Решение.

Выделим в знаменателе полный квадрат.





.

4.3.

Решение.

Используем метод интегрирования по частям.

Положим .
Дифференцируя первое равенство и интегрируя второе ,

имеем:



Пользуясь формулой интегрирования по частям , получим:



Оформлять эту запись будем так:



Проверим полученный результат дифференцированием:

т.к. , то





.
Получили подынтегральную функцию.
Замечание: Метод интегрирования по частям можно применить несколько раз, при этом необходимо, чтобы подынтегральное выражение либо упрощалось, либо приводилось к исходному виду.
Рекомендация. В качестве u выбирается функция, которая при дифференцировании упрощается; за dv выбирается такое выражение, содержащее dx, которое легко интегрируется. Если под интегралом стоит произведение тригонометрической или показательной функции на алгебраическую, то за u нужно принять алгебраическую функцию. Если произведение логарифмической функции на алгебраическую, то в качестве u принимают логарифмическую функцию.


Задание 5.
Вычислить определенный интеграл

5.1.

Решение.

Используем метод замены переменной. Введем новую переменную t = 11+5x. Тогда



Выразим дифференциал старой переменной х через дифференциал новой переменной t:



Осуществим замену переменной в подынтегральном выражении:

.

При замене переменной в определенном интеграле меняются пределы интегрирования:

если , то ,

если , то .

Таким образом, получим





Замечание: При вычислении определенного интеграла мы воспользовались формулой Ньютона-Лейбница: если  первообразная для функции , то имеем

.

5.2.

Решение.

Применим формулу интегрирования по частям для определенного интеграла:

, тогда




Задание 6.
6.1. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями , .

Решение.

Если фигура ограничена линиями и (см. рис.), то ее площадь находится по формуле , где и  абсциссы точек пересечения графиков, которые находятся как решения системы уравнений: ,  функция, график которой на отрезке расположен выше, а  ниже.
Изобразим графики заданных функций:

Найдем точки пересечения данных функций. Для этого решим уравнение: . Домножив обе части на , получим , или . Корни полученного квадратного уравнения . Таким образом, площадь заштрихованной фигуры

=


Задание 7.
Найти частные производные первого порядка

7.1. .

Решение.

Частные производные первого порядка , функции двух переменных находятся по обычным правилам и формулам дифференцирования по каждой из переменной при фиксированном значении второй переменной.

.
7.2.

Решение.



;

.


Задание 8.
8.1. Найти экстремум функции двух переменных .

Решение.

Необходимое условие экстремума: функция может иметь экстремум только в точках, в которых и . Эти точки называются критическими.

Достаточное условие экстремума. Пусть  критическая точка. Введем обозначения для вторых производных в этой точке: , , , . Тогда, если:

1) и , то  точка минимума;

2) и , то  точка максимума;

3) , то не является точкой экстремума.
Сначала находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений:

,

,

.

Из первого уравнения выражаем , подставляем его во второе:

.

Решая второе уравнение, получим что . Следовательно . Точка  критическая точка.

Находим производные второго порядка:

,

,

.

Таким образом , , , .

Поскольку и , то точка  точка минимума; .


Задание 9.
9.1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

или .
Поскольку данное уравнение приводится к виду

,

то оно является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе его части на , получим уравнение с разделенными переменными:

,

.

Интегрируя левую и правую части данного равенства, получим



,

,

, или .

Обозначив , получим ответ: .
Раздел II

Линейная алгебра

  1. Задание 1.


1.1. Вычислить A·B, если , .

Решение.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, то матрица А называется согласованной с матрицей В. В этом случае определено умножение матрицы А на матрицу В. Размерность матрицы A - , а матрицы B - => размерность матрицы .



. Получаем .

Произведение матрицы В на матрицу А невозможно, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

  1. Задание 2.



2.1. Найти значение матричного многочлена , если , .

Решение.

,



.

  1. Задание 3.



3.1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Решение.

Запишем матрицу данной системы:

,

 вектор столбец свободных коэффициентов.

Формулы Крамера имеют вид .

Найдем  - определитель матрицы А (по правилу треугольников).



=133+1(4)(3)+2(2)523(3)153(2)(4)1= 4

Найдем n – определитель матрицы, полученной из матрицы А путём замены n-го столбца на столбец свободных коэффициентов (столбец В).



,



,



.

Таким образом .
3.2. Записать систему линейных уравнений в матричном виде и решить её с помощью обратной матрицы.



Решение.

Запишем матричное уравнение соответствующее данной системе:

,

то есть АХ = В. Домножим слева обе части этого уравнения на обратную матрицу к матрице . Получим . Поскольку , а , то решение данного уравнения имеет вид .

Обратная матрица вычисляется по формуле



где - называется присоединенной матрицей и вычисляется по формуле

= .

Аij – алгебраические дополнения матрицы А.

















.

 определитель матрицы А (уже вычисляли в предыдущем пункте).

Таким образом .





, то есть .
3.3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных.



Решение.

а) Выпишем расширенную матрицу этой системы.



б) сведем матрицу D к «треугольному» виду, из которого сможем непосредственно найти решение системы.

Для этого произведем над строками матрицы D элементарные преобразования. К ним относятся:

  1. изменение порядка строк (соответствует изменению порядка уравнений);

  2. умножение строки на отличное от нуля число (отвечает умножению соответствующих уравнений на это число);

  3. прибавление к любой строке матрицы D любой другой ее строки, умноженной на число (соответствует прибавлению к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на число).

Итак, стремясь привести матрицу к «треугольному» виду проделаем следующие преобразования:

1) вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 5;

2) к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 3;

3) первую строку оставим без изменения.


Умножим вторую строку на .

Вычтем из третьей строки вторую и тем самым окончательно приведем расширенную матрицу к «треугольному» виду.

Это расширенная матрица системы



эквивалентной исходной системе.

Подставляя значение во второе уравнение, находим :



Подставляя значение и в первое уравнение, находим :



Таким образом, решение исходной системы линейных уравнений имеет вид:

, , .
Замечание. В индивидуальном варианте необходимо выполнить проверку полученного решения.

  1. Задание 4.



4.1. Решить матричное уравнение

.

Решение.

Имеем матричное уравнение , где , .

Домножим справа обе части этого уравнения на обратную матрицу к матрице . Получим . Поскольку , а , то решение данного уравнения имеет вид .

Обратная матрица вычисляется по формуле

.

Найдём определитель ,

,

,

,

.

Таким образом .



,

то есть .

Типовые задачи для самостоятельной работы студентов.
Раздел I
Контрольная работа №1
Задачи 1-10. Вычислить пределы функций (не пользуясь правилом Лопиталя)
1)а) b) c) d) 2)а) b) c) d) 3)а) b) c) d) 4)a) b) c) d) 5)а) b) c) d) 6)а) b) c) d) 7)a) b) c) d) 8)a) b) c) d) 9)a) b) c) d) 10)a) b) c) d)

Задачи 11-20. Найти производные .

11)a) b) c) d) 12)a) b) c) d) 13)a) b) c) d) 14)a) b) c) d) 15)a) b) c) d) 16)a) b) c) d) 17)a) b) c) d) 18)a) b) c) d) 19)a) b) c) d) 20)a) b) c) d) Задачи 21-30. Исследовать функцию и построить её график.
21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30)
Контрольная работа №2
Задачи 31-40. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
31) а) b) с) 32) а) b) с) 33) а) b) с) 34) а) b) с) 35) а) b) с) 36) а) b) с) 37) а) b) с) 38) а) b) с) 39) а) b) с) 40) а) b) с)
Задачи 41-50. Вычислить определенные интегралы.
41) а) b) 42) а) b) 43) а) b) 44) а) b) 45) а) b) 46) а) b) 47) а) b) 48) а) b) 49) а) b) 50) а) b)
Задачи 51-60. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

51) и

52) и

53) и

54) и

55) и

56) , , .

57) ,

58) , ,

59) ,

60) ,

Задачи 61-70. Найти частные производные первого порядка функции :

61) а) b) .

62) а) b) .

63) а) b) .

64) а) b) .

65) а) b) .

66) а) b)

67) а) b)

68) а) b)

69) а) b)

70) а) b)

Задачи 71-80. Найти экстремум функции двух переменных.

71) ;

72) ;

73) ;

74) ;

75) ;

76) ;

77) ;

78) ;

79) ;

80) .

Задачи 81-90. Найти решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными.

81) ;
82) ;
83) ;
84) ;
85) ;
86) ;
87) ;
88) ;
89) ;
90) .

Раздел II
Контрольная работа №1
Задачи 1-10. Найти сумму матриц , их произведение , и (если такие операции существуют).
1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

Задачи 11-20. Найти значение матричного многочлена , если

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Задачи 21-30. Вычислить определители второго, третьего и четвертого порядков.

21) , ,

22) , ,

23) , ,

24) , ,

25) , ,

26) , ,

27) , ,

28) , ,

29) , ,

30) , ,

Задачи 31-40. Проверить, являются ли матрицы А и В взаимообратными.
31) ,

32) ,

33) ,

34) ,

35) ,

36) ,

37) ,

38) ,

39) ,

40) ,

Задачи 41-50. Найти обратную матрицу . Сделать проверку: .


41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)



Контрольная работа №2
Задачи 51-60. Решить систему линейных уравнений: a) методом Крамера (вычислить определители различными способами: правило треугольников, разложение определителя по любой строке или столбцу); b) в матричном виде (сделать проверку обратной матрицы и решения); c) методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса).
51) 52)

53) 54)

55) 56)

57) 58)

59) 60)

Задачи 61-70. Исследовать систему на совместность. В случае существования решения выпишите общее решение и одно частное.


61)
62)
63)
64)
65)

66)
67)
68)
69)
70)



Задачи 71-80. Решить матричное уравнение. Результат проверить подстановкой.
71)

72)

73)

74)

75)

76)

77)

78)

79)

80)
Контрольные вопросы к зачету (экзамену)

по высшей математике

Раздел I: Математический анализ.


  1. Понятие множества. Операции над множествами. Окрестность точки.

  2. Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Основные свойства функции (монотонность, периодичность, четность и нечетность, ограниченность).

  3. Обратная функция. Сложная функция.

  4. Основные элементарные функции.

  5. Преобразование графиков функции.

  6. Применение функций в экономике.

  7. Предел функции в точке и в бесконечности.

  8. Основные теоремы о пределах.

  9. Замечательные пределы.

  10. Задача о непрерывном начислении процентов.

  11. Производная. Определение производной. Геометрический смысл производной.

  12. Правила дифференцирования.

  13. Производные основных элементарных функций.

  14. Производная сложной функции.

  15. Производные высших порядков.

  16. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.

  17. Правило Лопиталя.

  18. Достаточное условие возрастания и убывания функции.

  19. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума функции. Первое и второе достаточное условие экстремума функции.

  20. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

  21. Выпуклость функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие перегиба.

  22. Асимптоты графика функции.

  23. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

  24. Понятие дифференциала функции.

  25. Функции нескольких переменных. Область определения функции нескольких переменных.

  26. Частные производные функции нескольких переменных.

  27. Дифференциал функции. Градиент функции.

  28. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных.

  29. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

  30. Свойства неопределенного интеграла.

  31. Интегралы от основных элементарных функций.

  32. Метод замены переменной.

  33. Метод интегрирования по частям.

  34. Интегрирование простейших рациональных дробей.

  35. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

  36. Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

  37. Свойства определенного интеграла.

  38. Формула Ньютона-Лейбница.

  39. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

  40. Вычисление площадей плоских фигур.

  41. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

  42. Дифференциальные уравнения первого порядка.

  43. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка.

  44. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

  45. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

  46. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

  47. Использование дифференциальных уравнений в экономических исследованиях.

Контрольные вопросы к зачету (экзамену)

по высшей математике

Раздел II: Линейная алгебра .

  1. Матрицы. Основные сведения и определения. Виды матриц.

  2. Операции над матрицами. Умножение матрицы на число. Сложение матриц. Разность двух матриц. Произведение матриц. Свойства операций над матрицами. Примеры.

  3. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирования.

  4. Определители квадратных матриц. Определители матриц первого, второго и третьего порядков.

  5. Миноры и алгебраические дополнения к элементам матрицы. Теорема Лапласа (разложение определителя по строке или столбцу).

  6. Свойства определителей.

  7. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Свойства невырожденных матриц.

  8. Решение матричных уравнений.

  9. Система n линейных уравнений с n переменными. Основные понятия и определения.

  10. Нахождение решения системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

  11. Нахождение решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

  12. Метод Гаусса.

  13. Система m линейных уравнений с n переменными. Общее и частные решения.

  14. Приложение матричного анализа.


Содержание
Методические рекомендации 3

Раздел I. Математический анализ 4

Раздел II. Линейная алгебра 22

Типовые задачи для самостоятельной работы студентов 29

Контрольные вопросы к зачету (экзамену) по высшей математике 45

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации и контрольные задания

для студентов экономических специальностей

заочной формы обучения на базе
среднего специального и высшего образования


Главный редактор А.В. Шестакова

Оформление обложки Н.Н. Захаровой
Печатается в авторской редакции с готового оригинал-макета.
Подписано в печать 26.05 2008 г. Формат 6084/16.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 2,8.

Уч.-изд. л. 3,0. Тираж 70 экз. Заказ .
Издательство Волгоградского государственного университета.
400062, г. Волгоград, просп. Университетский, 100.


Похожие:

Высшая математика iconМетодические рекомендации по изучению курса высшей математики высшая математика (лекции по дисциплине)
Высшая математика: Учебно-методический комплекс. Новосибирск: нгаэиУ,2004. 160с
Высшая математика iconИнструкция по выполнению работ по дисциплине «Высшая математика»
Студентам 1 курса заочной формыобучения необходимо получить задание для выполнения контрольной работы по математике у преподавателей...
Высшая математика iconПрограмма дисциплины Высшая математика для направления 080500. 62 Менеджмент подготовки бакалавра для специальности «Логистика и управление цепями поставок»
Требования к студентам: Учебная дисциплина “Высшая математика” не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы средней...
Высшая математика iconРабочая программа учебной дисциплины "высшая математика. Доп. Главы" Цикл
Целью дисциплины является «Высшая математика. Доп. Главы» является дальнейшее развитие математической культуры и освоение математического...
Высшая математика iconЭкзаменационные вопросы по курсу "Высшая математика"
Экзаменационные вопросы по курсу "Высшая математика" для потока Ф4 (лектор А. С. Леонов)
Высшая математика iconМетодические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»
Методические указания содержат варианты контрольных работ по курсу «Высшая математика (спецглавы)», для студентов факультета визо,...
Высшая математика iconКафедра высшая математика

Высшая математика iconАннотация дифференциальные геометрия и основы тензорного исчисления
Такая демонстрация эффективности соединения методов, изучаемых в различных разделах курса «Высшая математика», очень важна для формирования...
Высшая математика iconПрограмма 1 курс «высшая математика»

Высшая математика icon© Александр степанов. Высшая математика Начало

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org