Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию»



Скачать 79.52 Kb.
Дата27.11.2012
Размер79.52 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики


Программа дисциплины

«Введение в симплектическую геометрию»


Направление:

010100.68 «Математика»

Подготовка:

магистр

Форма обучения:

очная


Автор программы: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман



Рекомендовано







секцией УМС по математике







Председатель







_____________________________________







«___» ________________________2009 г.

























Утверждена УС




Одобрена на заседании

факультета математики




кафедры геометрии и топологии

Ученый секретарь доцент




Зав. кафедрой, академик


_________________________Ю.М.Бурман





_______________________В.А.
Васильев

«___» ________________________2008 г.




«___» ______________________2008 г.


Москва

2008

Рабочая программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» [Текст]/Сост. Ю.М.Бурман; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».

Составитель: к.ф.-м.н. доц. Ю.М.Бурман (burman@mccme.ru)


©

Ю.М.Бурман, 2008.

©

Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.


Тематический план учебной дисциплины


Название темы


Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя-тельная

работа

Лекции

Семинарские занятия

1

Основные примеры симплектических и контактных многообразий

16

2

2

12

2

Локальная симплектическая и контактная геометрия.

16

2

2

12

3

.Пуассоновы структуры

24

4

4

16

4

Сиплектические и гамильтоновы действия

20

2

2

16

5

Лагранжевы и лежандровы особенности.

16

2

2

12

6

Почти комплексные структуры. Симплектические емкости и теорема о несжимаемости шара.

16

2

2

12

Итого

108

14

14

80


Базовые учебники

  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.

  2. В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.

  3. Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.



Формы контроля


Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.

Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.

Итоговый контроль: зачет в виде письменной работы, 3 часа.

Итоговая оценка


Итоговая оценка вычисляется по формуле: ½ оценки за зачетную работу + ¼ оценки за контрольную работу + ¼ совокупной оценки за семинарские занятия. Оценка ниже 4 баллов считается неудовлетворительной.

Содержание программы
Тема 1. Основные примеры симплектических и контактных многообразий
Кокасательное расслоение, комплексные алгебраические многообразия, расслоение струй, скобка Кириллова. Лагранжевы подмногообразия и производящие семейства.

Основная литература


  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.

  2. В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.



Дополнительная литература


  1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.


Тема 2. Локальная симплектическая и контактная геометрия.
Взаимосвязь симплектической, контактной и гамильтоновой структур. Нормальные формы: теоремы Дарбу и Дарбу–Вайнстейна.

Основная литература


  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.



Дополнительная литература


  1. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.


Тема 3. Пуассоновы структуры
Понятие пуассоновой скобки. Симплектическая структура на орбитах коприсоединенного представления. Интегрируемость распределения ядер пуассоновой скобки. Симплектические листы.

Основная литература

  1. Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.

Дополнительная литература


1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.

2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
Тема 4. Сиплектические и гамильтоновы действия.
Понятие симплектического действия. Симплекстический коцикл и гамильтоново действие. Отображение моментов для действия тора. Законы сохранения в механике (теорема Нетер). Отображение моментов для действия произвольной группы Ли. Гамильтонова редукция.
Основная литература


  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.

Дополнительная литература



1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.
Тема 5. Лагранжевы и лежандровы особенности.
Общее понятие о классификации особенностей: изолированные особенности, простые особенности, модули. Примеры типичных лагранжевых и лежандровых особенностей. Классификация лагранжевых особенностей в малых размерностях. Гипотеза об инверсии эллипса.
Основная литература

  1. В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.

  2. Г.Вилази. Гамильтонова динамика – Ижевск, РХД, 2006.



Дополнительная литература




  1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.

  2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.


Тема 6. Почти комплексные структуры.
Простейшие симплектические инварианты: симплектические емкости. Почти комплексные cтруктуры, совместимые с данной симплектической. Псевдоголоморфные кривые, инварианты Громова-Виттена. Вычисление инвариантов Громова-Виттена в простейших случаях. Теорема Громова о несжимаемости шара.

Основная литература


  1. Лекции по симплектической геометрии и топологии. Под редакцией Я. Элиашберга, Л. Трейнор. Перевод с английского Ж. Т. Гавриловой, Ф. Ю. Попеленского. – М.: МЦНМО, 2008.

  2. В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — 2-е издание, испр., М.: МЦНМО, 2004.



Дополнительная литература


  1. В. А. Васильев. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. . – М.: МЦНМО, 2000.

Тематика заданий по различным формам контроля

Вариант контрольной работы




  1. Какова размерность пространства левоинвариантных 2-форм на SU(3)? Есть ли среди этих форм симплектические?

  2. Продолжается ли стандартная контактная структура R3 (заданная 1-формой dz + xdy) до контактной структуры на трехмерной сфере?

  3. Пуассонова скобка в R4 задана равенствами {x1, x2} = -((x3)2+(x4)2), {x1, x3} = x2x3, {x1, x4} = x2x4, {x2, x3} = -x1x3, {x3, x4} = 0, {x2, x4} = x1x4. Найдите ее симплектические листы.



Вариант зачетной работы




  1. Множество лагранжевых подпространств в R4 со стандартной симплектической структурой – подмногообразие G_+(2,4) = S2 x S2. Какой класс гомологий оно там представляет?

  2. Механическая система выдерживает сдвиги вдоль спиральной линии x = cos z, y = sin z. Найдите соответствующий первый интеграл движения.

  3. На пространстве CP2 действует окружность по правилу t, [z1:z2:z3] -> [tz1: t2z2: t3z3]. Докажите, что действие является гамильтоновым, и опишите результат гамильтоновой редукции.

  4. Как распадается на складки и сборки особенность z = 0 при шевелении отображения z -> z2?

  5. Докажите, что на четырехмерной сфере не существует почти комплексных структур.


Автор программы

доцент

Ю.М.Бурман

Похожие:

Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма дисциплины дпп. Ддс. 02. Введение в германскую филологию цели и задачи дисциплины
Целью дисциплины «Введение в германскую филологию» является ознакомление студентов с характерными чертами группы германских языков...
Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма дисциплины опд. Ф. 01. 1 Введение в языкознание Цели и задачи дисциплины
«Введение в языкознание» лежат в основе последующего изучения всех лингвистических дисциплин
Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма дисциплины введение в специальность цикл дс. Р. 07 Специальность 020100 философия Принята на заседании кафедры философии
Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины «Введение в специальность»
Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма дисциплины введение в лингвострановедение великобритании и США
Программа дисциплины «Введение в лингвострановедение Великобритании и сша» / сост. Е. Ю. Сейку. – М. Импэ им. А. С. Грибоедова, 2009....
Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма дисциплины «Введение в мировую экономику и международные отношения»
...
Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма курса «Введение в геометрию»
Практические задания, связанные с измерением площадей и объемов, формируют у учащихся представление о прикладных возможностях математики....
Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма дисциплины «Введение в историю человечества»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 030600....
Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств»
Для сдачи спецкурса нужно решить любые 7 упражнений, которые давались на лекциях, знать определения и формулировки теорем и понимать...
Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма дисциплины «Введение в языкознание»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 032700....
Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» iconПрограмма дисциплины Введение в языкознание
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 032100....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org