Функции нескольких переменных



Скачать 66.36 Kb.
Дата27.11.2012
Размер66.36 Kb.
ТипДокументы
  1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ



6.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

(СОКР. ФНП)
Пусть , , – множество точек из , т.е. .

Если для каждой точки , существует единствен­ное число , то на (область определения) задана функция переменных , причем множество – множество значений функции.

При можно записывать ;
при соответст­венно, например, .

Для функции двух переменных область определения расположена на плоскости , . График функции двух переменных – множество точек
подмножество и иногда может быть представлен поверхностью .

Для , область определения расположена в пространстве ; для представления графика функции трёх переменных требуется gif" name="object26" align=absmiddle width=26 height=20>.
ПРИМЕР 1. Выразить объем цилиндра, радиус которого ,
высота , через эти переменные. Указать область определения функции.

Ответ. , область определения – часть плоскости :

ПРИМЕР 2. Найти и построить область определения функции .

Ответ. Область определения: и (рис. 1).

П
Рис. 2
РИМЕР 3.
Построить схематично график функции на множестве :

Ответ. Часть плоскости , располо­женная над прямоугольни-
ком (рис. 2).
Для характеристики множеств , , рассмотрим свойства этих множеств, используя специальную
терминологию.

Окрестностью радиуса точки является множество всех точек , удаленных от менее
чем на , т.е.

.

Заметим, что если , , то – согласуется с ранее рассмотренным понятием –окрестности точки на числовой оси.

Если , то , , и есть множество всех точек круга (без границы) или .

Если , то , , и есть множество всех точек шара (без границы) или.

Пусть – множество точек из , т.е. .

Точка внутренняя точка множества , если существует окрестность , содержащаяся во множестве , т.е.

.

Множество открытое в , если каждая его точка является внутренней точкой множества .

Например, каждая точка интервала является внутренней, если , поскольку каждая точка
интервала принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.
Поэтому интервал – открытое в множество точек . Множество не является открытым в , так как его точка не является внутренней.

Точка граничная точка множества , если в любой ее
окрестности существует точка из множества и существует точка , не принадлежащая множеству .

Множество всех граничных точек множества образует границу множества и обозначается (читается "гамма от дэ").

Например, точки и – граничные для интервала , .

Окрестность с присоединенной границей иногда называют "замкнутым шаром" и обозначают , т.е.

.

Множество ограниченное в , если

.

Снова ранее рассмотренное понятие "ограниченность числового множества" согласуется с введенным понятием.

Множество связное в , если всякие его две точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей только из точек множества .

Всякое ограниченное связное открытое множество – область; область вместе со своей границей – замкнутая область.

Точка , называется предельной точкой множества , , если в любой ее окрестности существует точка ,
отличная от и принадлежащая множеству .

Множество , , называется замкнутым в , если оно содержит все свои предельные точки.

Например, – замкнутое в множество, – не является замкнутым в множеством, поскольку – предельная точка множества , но .

Предельная точка множества может принадлежать, а может и не принадлежать множеству.

Точка , называется изолированной точкой множества , если можно указать окрестность этой точки такую, что в ней нет других точек из множества , т.е.

.

Понятия "открытое множество" и "замкнутое множество" не
отрицают друг друга. Существуют множества открытые и замкнутые (одновременно), например множество в , а также можно указать множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми, например множество в .

ПРИМЕР 4. Для функции представить на плоскости множество точек ее существования; указать свойства
этого множества.

Решение. , т.е. . Геометрически это множество представляется точками, заполняющими вертикальный угол между прямыми и , точка должна быть выброшена.

Свойства множества :

1) не открытое множество, так как можно указать точку, например, , которая принадлежит множеству, но не является его внутренней точкой;

2) не связное множество, так как не всякие две его точки
можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек множества , например точки и ;

3) неограниченное множество, так как , ;

4) незамкнутое множество, так как оно не содержит все свои предельные точки, например точка – предельная точка для , но .

ПРИМЕР 5. Для функции представить в пространстве переменных множество точек ее существования; указать свойства этого множества.

Решение. .

Множество состоит из всех точек шара (без границы – сферы)
с радиусом 1 и центром в начале координат.

Свойства : – открытое, связное, ограниченное,
не замкнутое множество.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ


1. Найти и построить множество точек определения функции:

а) ; б) .

Указать свойства этих множеств.

2. Построить схематично график функции на
множестве .

3. Построить график функции на области ее определения.

Ответы. 1. а) точки полосы выше и на прямой ; множество не открытое, связное, не ограниченное, не замкнутое;

б) все точки шара с центром в с радиусом ; множество не открытое, связное, ограниченное, замкнутое.

Свойства множеств следует не только перечислить, но и обосновать.

2. – параболоид вращения, вершина на оси в точке , расположен ниже плоскости ; ось симметрии – ось . Над кругом "вырезается" криволинейная часть параболоида.

3. – нижняя часть () конической
поверхности с осью симметрии – прямой и вершиной .
6.2. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФНП
Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП)
вводится в предельной точке области определения функции.

Пусть предельная точка множества , т.е. в каждой ее
окрестности находится хотя бы одна точка из , отличная от . Тогда , если выполняется соотношение

.

Это определение можно расшифровать для – конечное
число или , для – конечная точка или , расписывая
множества , , , .

При рассмотрении предела ФНП следует обратить внимание на условие . Здесь предполагается, что координаты точки стремятся к соответствующим координатам предельной
точки одновременно и независимо друг от друга. Если рассматривать поочередное стремление , при фиксированном значении всех остальных координат, то получим так называемые повторные пределы. Существование предела ФНП в точке (по совокупности переменных) не связано с существование
повторных пределов.

ПРИМЕР 1. Доказать по определению .

Решение. Берем . Ищем так, чтобы

.

Верно соотношение





Похожие:

Функции нескольких переменных iconПамятка для студентов групп 5пгс-61, 5тгв-61, 5иит-61, 5Э-61, 5тм-61, 5пиэ-61 по изучению дисциплины Математика (семестр 3)
Дифференцирование функций нескольких переменных. Замена переменных и якобианы. Разложение функции нескольких переменных в ряд Тейлора....
Функции нескольких переменных iconСписок вопросов к теоретической части экзамена по математике гр. 1/30, 31, 32, 33 семестр 2 учебный год 2011/2012 Модуль Функции нескольких переменных /6 часов
Определение функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Частное и полное приращение функции....
Функции нескольких переменных iconФункции нескольких переменных § Функции нескольких переменных. Основные понятия
Определение. Пусть ℝ. Функция, заданная на множестве и имеющая областью значений множество ℝ, называется функцией переменных
Функции нескольких переменных iconФункции нескольких переменных
Реальные явления и процессы, как правило, зависят от нескольких переменных. Поэтому необходимо расширить известное понятие функциональной...
Функции нескольких переменных iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине Понятие множества. Операции над множествами и их свойства
Фурье. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных....
Функции нескольких переменных iconЛекция 19. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т к все полученные результаты...
Функции нескольких переменных iconВопросы для текущего контроля и подготовки к зачету и экзамену
Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций нескольких переменных, непрерывных в точке
Функции нескольких переменных iconГосударственный образовательный
Несобственные интегралы. Точечные множества в n – мерном пространстве. Функции нескольких переменных, их непрерывность. Производные...
Функции нескольких переменных iconМетодические указания «Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы»
Методические указания по изучению темы «Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы» содержат теоре-тические...
Функции нескольких переменных iconФункции нескольких переменных
Рассмотрим функцию двух переменных. Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org