Лекция определенный Интеграл Содержание



Дата09.10.2012
Размер35 Kb.
ТипЛекция



Лекция 4. Определенный интеграл




Лекция 4. определенный Интеграл


Содержание


  1. Определение определенного интеграла

  2. Свойства определенного интеграла.

  3. Формула Ньютона-Лейбница

  4. Методы вычисления определенного интеграла

    1. Метод замены переменной.

    2. Метод интегрирования по частям.


  1. Определение определенного интеграла


Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками . Выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку .

Интегральной суммой функции на отрезке называется сумма или , где .

Наибольшую из длин обозначим через .

Определенным интегралом функции на отрезке называется число, равное пределу интегральных сумм и обозначается , т.е. .

Из условия следует, что .

Пределами интегрирования называются числа gif" name="object22" align=absmiddle width=18 height=18> и .

Подынтегральной функцией называется функция .
Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.


2. Свойства определенного интеграла

1. .

2. .

3. .

4. .

  1. Если для всех , то .

  2. Для определенный интеграл становится функцией от переменного верхнего предела . Производная этой функции равна значению подынтегральной функции в точке : .

  3. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на , то существует точка такая, что .

Значение называется средним значением функции на отрезке .


у

В


А




Площадь криволинейной трапеции АВва равна площади прямоугольника с основанием ав и высотой, равной значению функции в точке .

3. Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.

Если функция непрерывна на , а функция - одна из ее первообразных, т.е. , то .
Эта формула сводит нахождение определенных интегралов к нахождению неопределенных интегралов.

Разность называется приращением первообразной и обозначается .

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем


.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. .


Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. На основании свойств определенного интеграла и формулы Ньютона-Лейбница получаем



4. Методы вычисления определенного интеграла
4.1. Метод замены переменной
Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна на , причем , и для всех выполняется . Тогда

.
Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение.

Обозначим , тогда , . Подставим старые пределы интегрирования в формулу , получим новые пределы интегрирования , . Следовательно,



Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение.

Представим дифференциал как , тогда



4.2. Метод интегрирования по частям
Пусть функции и имеют

Похожие:

Лекция определенный Интеграл Содержание iconЛекция 15. Определённый интеграл
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции
Лекция определенный Интеграл Содержание iconЛекция по теме: «Определенный интеграл». (2 часа) Тип урока: объяснения нового материала
Рассмотреть задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, дать описание математической модели таких задач
Лекция определенный Интеграл Содержание iconПрограмма на 2 семестр цнии ртк (весна 2011) Определенный интеграл. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра
Определенный интеграл. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра
Лекция определенный Интеграл Содержание iconЛекция 10 Приложения определенного интеграла План
Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции. В этом состоит...
Лекция определенный Интеграл Содержание iconЛекция Интегрирование функций комплексного переменного
Но определенный интеграл регулярной функции комплексного переменного обладает свойством, присущим не всем криволинейным интегралам...
Лекция определенный Интеграл Содержание iconУрок по теме «Площадь криволинейной трапеции». Проводится после уроков по теме «Определенный интеграл»
Место урока среди других уроков: Второй урок по теме «Площадь криволинейной трапеции». Проводится после уроков по теме «Определенный...
Лекция определенный Интеграл Содержание iconВопросы, задачи и упражнения для коллоквиума «Интегральное исчисление функции одной переменной» Вопросы
Определенный интеграл Римана. Суммы Дарбу. Верхний и нижний интеграл. Функции, интегрируемые по Риману в смысле Дарбу. Критерий Дарбу...
Лекция определенный Интеграл Содержание iconМетодические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета
Методические указания предназначены в помощь студентам-заочникам первого курса при выполнении контрольной работы № Эта работа соответствует...
Лекция определенный Интеграл Содержание iconГеометрия и алгебра
Определенный интеграл Римана. Необходимые и достаточные условия существования. Формула Ньютона Лейбница
Лекция определенный Интеграл Содержание iconОпределенный интеграл как функция от верхнего предела
Пусть функция определена и интегрируема на отрезке. Возьмем и рассмотрим функцию на отрезке. Здесь функция так же интегрируема. Рассмотрим...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org