Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии



страница1/4
Дата27.11.2012
Размер0.68 Mb.
ТипЛекция
  1   2   3   4
Лекция 1. Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии.

Электромагнитное поле в веществе полностью описывается микроскопическими уравнениями Максвелла:
(1)
(2)
Первая пара уравнений Максвелла не содержит источников, тогда как вторая пара содержит источники поля: объемную плотность заряда и объемную плотность тока. Нижние индексы говорят о том, что это микроскопическое (истинное) значение поля. Плотность заряда и в плотность тока включают все заряды:
(3)

(4)
Система уравнений (1-4) неполная, для полноты следует добавить уравнения движения:


(5)

Здесь скорость и импульс -ой частицы. Задача, таким образом, заключается в самосогласованном решении уравнений (1-5), нахождении полей и траекторий частиц. При квантовом описании системы уравнения (3-5) должны быть заменены на соответствующие квантовые уравнения.

Очевидно, что такой подход может быть полезен только для вакуума и для небольшого числа зарядов. Если же перед нами стоит задача рассмотрения электромагнитных явлений в веществе, то из-за макроскопического числа частиц (порядка ) задача становится непреодолимо сложной. Но даже в том случае, если бы мы смогли преодолеть все трудности описания огромного числа частиц и вычислить микроскопические электрическое и магнитное поля, эту информацию трудно было бы использовать. Действительно, эти поля настолько быстро меняются в пространстве и во времени, что измерительные приборы будут давать не истинные значения поля, а скорее некоторые усредненные значения. Чтобы получить эти усредненные поля необходимо проделать дополнительные вычисления. Подобную ситуацию мы встречали при переходе от классической механики к молекулярно-кинетической теории (термодинамике), в механике сплошных сред. В таких случаях, когда задача кажется невообразимо сложной, физики отказываются от детального описания, и вводят усредненные величины, которые в действительности проявляются при измерениях. При этом от уравнений (1-5) следует перейти к уравнениям для усредненных величин. Термин усреднение в данном случае означает следующее.
В силу того, что мы отказываемся от детального описания системы заряженных частиц, электрическое и магнитные поля, плотности заряда и плотности тока следует рассматривать как случайные величины (случайные процессы). С этими терминами мы скоро познакомимся при изучении теории вероятностей. Процедура усреднения заключается в умножении на функцию распределения и в последующем интегрировании (так вы определяли среднюю скорость движения молекул с помощью распределения Максвелла по скоростям). Это усреднение называют статистическим. Часто его заменяют усреднением по физически бесконечно малым объемам и промежуткам времени (усреднение Лоренца). Его обозначают угловыми скобками, и заключается оно в следующем

(6)
Почти очевидно (и это нетрудно доказать), что операция (6) коммутирует с операцией дифференцирования по координатам и времени
(7)
Тогда применяя это усреднение к уравнениям (1-5) получаем
(8)

(9)

(10)
При усреднении уравнения (5) мы считали скорость частицы постоянной (что можно делать, если усреднение идет по малому промежутку времени). Уравнение (10) позволяет интерпретировать как напряженность макроскопического электрического поля в среде (она дает силу со стороны электрического поля обычным умножением на заряд). Точно также есть индукция макроскопического магнитного поля в среде. Далее представим плотности как
(11)

где величины с индексом означают индуцированные, а без индекса сторонние плотности. Тогда уравнения Максвелла приобретают вид:
(12)

(13)
Система уравнений (12-13) содержат 4 неизвестные функции , поэтому она незамкнута. Но если добавить материальные уравнения
(14)

то система становится замкнутой. Заметим, что на самом деле неизвестных функций только 3, так как выполняется уравнение непрерывности

Уравнения (12-14) описывают произвольные электромагнитные процессы в сплошной среде. Это одна из допустимых форм уравнений Максвелла в среде. Но гораздо чаще встречается другая форма этих уравнений, с которой мы уже встречались ранее. Для того, чтобы показать каким образом эта форма уравнений возникает, введем вспомогательный вектор соотношением . Тогда из (13) получаем
(15)
Далее из (13) имеем
(16)
Так как дивергенция от выражения в квадратной скобке равна нулю в силу закона сохранения индуцированного заряда


То можно считать, что

где новый вспомогательный вектор. Тогда из (15) получаем
(17)
Итак, мы получили уравнения
(18)
Здесь электрическое смещение (индукция электрического поля) и напряженность магнитного поля равны
, (19)
А материальные уравнения записываются в виде
, (20)
Отметим неоднозначность в определении вспомогательных векторов. Вектора связаны следующим соотношением
(21)
Отсюда видно, что преобразование

(22)

не меняет индуцированные заряды и токи. Поэтому выбор вспомогательных векторов неоднозначен. Можно показать, что вспомогательный вектор есть дипольный момент единицы объема. Сложнее обстоит дело с вспомогательным вектором . При или при вектор имеет смысл магнитного момента единицы объема. Но в общем это не так. Эту неоднозначность можно использовать следующим образом (что чаще всего делают при рассмотрении высокочастотных явлений). Выберем
(23)
При этом требуется единственное материальное уравнение
(24)
Итак, мы привели два вида уравнений Максвелла и материальных уравнений для сплошной среды: уравнения (12-14) и уравнения (18,20). Обсудим теперь подробнее конкретный вид материальных уравнений. Наиболее общий вид линейной формы материальных уравнений таков (нелинейная форма материальных уравнений - отдельная тема)
(25)
В этих формулах учтены пространственная и временная нелокальность, неоднородность, и анизотропия. Отметим следующие свойства ядер этих интегралов (на примере , другие два ядра обладают теми же свойствами).

а) при (будущее не влияет на прошлое, причинность).

б) при (конечность скорости распространения взаимодействия).

в) для однородных сред (нет выделенной точки).

г) для стационарных сред (нет выделенного момента).

То есть для однородной, стационарной среды формулы (25) принимают вид

Интегральные формулы подобного вида называют свертками, и их удобнее записывать в представлении Фурье
(26)
Так как фурье-образ от свертки с точностью до коэффициента равен произведению Фурье-образов, то
(27)
Здесь

и аналогично для . Проделать выкладки на семинаре или дома. Тензора называются тензорами диэлектрической проницаемости, проводимости и магнитной проницаемости соответственно. Тензора содержат всю информацию об электромагнитных свойствах среды. Их вычисление не является предметом электродинамики сплошных сред. В электродинамике сплошных сред они рассматриваются как данные (известные) функции, а исследуются различные электромагнитные процессы (распространении волн, возникновении токов, рассмотрении различных эффектов). Расчет же тензоров – это предмет теоретической физики твердого тела. В последующем мы будем придерживаться именно такой точки зрения, иногда поясняя физические соображения приводящие к тем или иными видам указанных тензоров.

Рассмотрим теперь понятия временной и пространственной дисперсий. Посмотрим на уравнения (25). Функции в левой части в момент времени зависят от значений полей в правой части во все предыдущие моменты времени. Запаздывание реакции среды на действующие в среде поля называют временной дисперсией. Временная дисперсия приводит к частотной зависимости тензора диэлектрической проницаемости. Если, запаздывания нет, то нет и зависимости от частоты

По этой причине временную дисперсию называют также частотной дисперсией. При каких условиях можно пренебречь временной дисперсией? Ответ почти очевиден: временной дисперсией можно пренебречь, если характерное время изменения поля много больше характерного времени установления равновесия в среде . Под значением можно понимать, например, время свободного пробега электронов. Аналогично, пространственной дисперсией называют зависимость левых частй (24) в некоторой точке пространства, от значения полей в других точках пространства. Пространственная дисперсия – это нелокальность тензоров в координатном пространстве. Пространственная дисперсия приводит к зависимости тензоров от волнового вектора . В случае локальности имеем


Пространственной дисперсией нельзя пренебрегать, если рассматриваем поля с характерным пространственным масштабом, сравнимым или с меньшим, чем характерный размер среды (например, расстояние между атомами, или размер неоднородностей).

Лекция 2. Общие свойства тензоров проницаемостей и проводимости. Принцип симметрии Онзагера. Связь симметрии среды с видом тензоров проницаемостей и проводимости. Гиротропные и негиротропные среды. Принцип причинности и соотношение Крамерса-Кронига. Связь тензоров с обычными диэлектрическими, магнитными проницаемостями, с проводимостью.
Основным результатом прошлой лекции была следующая, наиболее часто используемая форма уравнений Максвелла для сплошной среды
(1)

(2)
где индукции электрического и магнитного плей связаны с напряженностями формулами
(3)
А линейные материальные уравнения в фурье представлении имеют вид
(4)

(5)

(6)
Для краткости будем называть тензора как в координатном, так и в фурье- представлении материальными тензорами. Рассмотрим их свойства. Рассмотрение начнем с обсуждения их комплексных свойств. Для краткости будем рассматривать тензор диэлектрической проницаемости (о магнитной проницаемости и проводимости смотри ниже). Диэлектрическая проницаемость в координатном представлении действительна, так как связывает две действительных величины. Следовательно,
(7)
является комплексной функцией и должна удовлетворять условию
(8)
Если в тензоре диэлектрической проницаемости выделить действительную и мнимую части

то получим соотношения
(9)
В частности, при отсутствии пространственной дисперсии (отсутствует зависимость от волнового вектора ), то действительная часть должна быть четной функцией частоты, а мнимая часть нечетной. Аналогичными свойствами должны обладать тензора .

Другим важным тензорным свойством является следующее свойство симметрии тензора диэлектрической проницаемости, которое следует из симметрии уравнений движения относительно обращения времени,

(10)
Это соотношение называют принципом симметрии Онсагера. При наличии магнитного поля принцип симметрии Онзагера выражается соотношением
(11)
Важным вопросом является вопрос: как симметрия кристалла сказывается на симметрии физических свойств кристалла (в частности на виде материальных тензоров). Ключом к этому вопросу является фундаментальный принцип кристаллофизики, известный как принцип Неймана: Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии кристалла. Подчеркнем, что принцип Неймана не утверждает, что симметрия структуры кристалла и симметрия его физических свойств совпадают (на самом деле симметрия физических свойств может быть шире, чем группа симметрии структуры кристалла. Например, для кристалла с кубической симметрией, тензора второго ранга, описывающие физические свойства, должны иметь вид

то есть не должен меняться при любых преобразованиях системы координат, а не только при преобразованиях симметрии куба.

Рассмотренные свойства симметрии могут комбинироваться и при водить к новым свойствам и понятиям. Например рассмотрим среду, которая имеет центр симметрии (то есть преобразование является преобразованием симметрии). Это означает, что эквивалентны, то есть
(12)
что вместе с (10) дает
(13)
Такая среда называется негиротропной средой. Если же в среде есть хотя бы одно направление , не эквивалентное , то вместо (13), получим
(14)
Такая среда называется гиротропной. Заметим также, что условие (13) следует из принципа симметрии Онзагера, при отсутствии пространственной дисперсии. Это означает, что гиротропными могут быть только среды с пространственной дисперсией. Все сказанное о тензоре , относится и к материальным тензорам .

Перейдем к выводу свойства, которое является следствием принципа причинности (соотношений Крамерса-Кронига). На первой лекции, когда мы записывали наиболее общее линейное соотношение между напряженностью и индукцией электрического поля, мы упоминали принцип причинности: значения индукции в момент времени могут зависеть от значения напряженности только в более ранние моменты времени. На самом деле принцип причинности вместе с конечностью скорости распространения взаимодействия приводит к еще более сильному утверждению (для однородных сред)
(15)
Рассмотрим среду без пространственной дисперсии, то есть зависимость от координат локальная . Тогда уравнение (15) вместе с определением (7) дает

(16)

Эта формула отличается от обычного преобразования Фурье отсутствием множителя и интегрированием только по положительным временам. Далее для простоты будем опускать индексы (можно сказать, что рассматриваем изотропный случай) и запишем (16) в виде
(17)
где функция описывает поляризуемость среды
(18)
Поляризуемость, по сравнению с диэлектрической проницаемостью, обладает тем преимуществом, что она конечна и непрерывна (это следует из физических соображений) для любых . Тогда как содержит особый вклад . Для функции из (17) имеем
(19)
Еще одно важное свойство состоит в том, что при . Действительно, значение поляризации в данный момент не должно зависеть от того, что происходило бесконечно “давно”, так как время релаксации среды конечно. Выразим перечисленные свойства через свойства фурье-образа :
(20)
(21)
(22)
(объясните каждое из этих равенств). Отметим также, что (21) для проводников не выполняется.

Теперь рассмотрим функцию как функцию комплексной переменной . Из свойства причинности (смотри (19)) следует, что эта функция аналитическая в верхней полуплоскости . Представим ее в виде суммы действительной и мнимой частей


(23)
Проверьте условия Коши –Римана (интегрировать можно сходящиеся интегралы, а это следствие причинности). Поэтому и аналитичность есть следствие причинности. Итак, аналитична, и кроме того при . Вычислим интеграл (далее действуем как при выводе интегральной формулы Коши в ТФКП):





(24)
Буквы перед интегралом означают , что этого интеграл в смысле главного значения. А из (24) имеем
(25)
Эти соотношения называют соотношениями Крамерса-Кронига: они связывают действительную и мнимую части поялиризуемости. Запишем их в следующем виде

(26)
Соотношения (25 или 26) называют соотношениями Крамерса-Кронига. Как отмечалось выше условия (21) для металлов не выполняются. Действительно, для металла диэлектрическая проницаемость вводится следующим образом

(27)
где называется обобщенной проницаемостью (имеет полюс при ). Учитывая (27) и (26) получаем форму соотношений Крамерса –Кронига, применимую для металлов (при наличии проводимости):

Из обобщенной проницаемости выделяем особую мнимую часть и для остатка получаем (26), а затем возвращаем особую часть (часть с полюсом при ).

  1   2   3   4

Похожие:

Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconПрограмма курса по электродинамике сплошных сред
Общие свойства тензоров проницаемостей и проводимости: принцип симметрии Онзагера
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconНелинейные процессы в физике сплошных сред
Уравнения Максвелла для высокочастотного поля в сплошной среде. Нелинейная диэлектрическая проницаемость. Матричные элементы взаимодействия...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconРабочая программа векторный и тензорный анализ наименование дисциплины
Понятие тензора. Основные операции над тензорами. Метрический тензор. Примеры тензоров (тензор инерции, тензор деформаций, тензор...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconТема Взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем
Отсюда следует, что для описания этих процессов необходимо использовать полевые уравнения и уравнения движения зарядов. Полевые уравнения...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconВведение в физику плазмы, часть II
Уравнения одножидкостной магнитной гидродинамики. Тензор плотности потока импульса. Адиабаты. Уравнение вмороженности и диффузия...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconУравнения максвелла
Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconЕдиная теория векторных полей (от электродинамики Максвелла к единой теории поля)
Существенного успеха такой путь не принес. Можно попробовать другой подход объединения электричества и гравитации, в кото­ром подлежат...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconУрок ознакомления с новым материалом
Образовательные: ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными; научить узнавать,...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconОт электродинамики Максвелла к единой теории поля. Введение в единую теорию векторных полей
Существенного успеха такой путь не принес. Можно попробовать другой подход объединения электричества и гравитации, в кото­ром подлежат...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconОпределение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения
Ввести понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Сформировать умения различать квадратные уравнения, определять...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org