Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии



страница2/4
Дата27.11.2012
Размер0.68 Mb.
ТипЛекция
1   2   3   4
Лекция 3. Энергия электромагнитного поля в среде с дисперсией. Нормальные электромагнитные волны в среде с дисперсией, дисперсионное уравнение. Правые и левые среды. Электрические свойства диэлектриков. Положительный знак статической электрической восприимчивости диэлектриков. Микроскопические модели диэлектриков.
Вопрос об энергии и импульсе электромагнитного поля в среде не является тривиальным. Дело в том, что в среде постоянно происходит обмен энергией и импульсом между микроскопическим электромагнитным полем и частицами среды, и вопрос фактически заключается в том, что отнести к макроскопическому полю, а что к среде. Итак, электромагнитное поле может передавать энергию частицам среды, а те, в свою очередь, порождать поле, то есть возвращать энергию полю. Провести границу здесь очень сложно. Но часть энергии поля, полученная частицами может переходить другим степеням свободы, от которых она полю не возвращается. Так энергия может превращаться в тепло (хаотическое движение частиц среды), то есть диссипировать. Эта часть электромагнитному полю не возвращается. Поэтому вычисление диссипируемой энергии достаточно просто. Покажем как она может быть вычислена. Работа, совершаемая электромагнитным полем в единице объема и в единицу времени равна
(1)
Вся эта работа работа превращается в тепло, если амплитуды полей поддерживатся постоянными (а на это указывает индекс ноль у плотности тока). Следовательно, для усредненной по периоду потери энергии имеем
(2)

где



Подставим в (2) выражение для плотности тока

и получим




(3)

Все три слагаемых в формуле (3) имеют ясную интерпретаци: какую? Рассмотрим часть



Считая поле монохроматическим, получаем




(4)

Аналогично для магнитной части диссипации получаем

(5)

Из (4,5) видно, что диссипация обусловлена неэрмитовой частью тензоров проницаемостей. Частные случаи этих соотношений рассмотрим на семинаре. Вывод выражения для плотности энергии электромагнитного поля значительно сложнее. Если он нам потребуется в будущем, то мы рассмотрим этот вывод подробно. А пока перейдем к рассмотрению вопроса о волнах в материальной среде.

Хорошо известно, что в вакууме возможно существование свободных (то есть без источников) электромагнитных волн.
Такие свободные волны могут существовать и в сплошных средах. Их называют собственными или нормальными электромагнитными волнами. Благодаря взаимодействию со средой свойства таких волн могут сильно отличаться от свойств волн в вакууме (и речь идет не только о том отличии, которое мы уже рассматривали: другая скорость, затухание). Более того в средах могут существовать принципиально новые типы электромагнитных волн, аналогов которых в вакууме нет. При рассмотрении вопроса о нормальных электромагнитных волнах удобно использовать указанную в первой лекции неоднозначность введения вспомогательных векторов . А именно положим . Тогда уравнения (11,12) лекции 1 дают
(6)
Считая звисимость от времени и координат гармонической , получаем уравнения для амплитуд
(7)
И материальные уравнения в операторном виде
(8)
Из (7) получаем (получить на семинаре)
(9)
Условие существования ненулевого решения есть
(10)
В другой форме аналогичное условие принимает вид (получить его заметно проще)
(11)

(12)
где - обобщенная диэлектрическая проницаемость. Задача нахождения волн различных типов сводится к решению алгебраического уравнения (10 или 12) относительно , затем к решению систем (9 или 11). Обычный путь нахождения собственных значений и собственных векторов. Зависимость или называется законом дисперсии плоских нормальных электромагнитных волн. В силу этого уравнения (10 или 11) называют дисперсионным уравнением.

Для изотропной среды решения есть и только поперечные волны (покажите это на семинаре или дома). Из данного простого закона дисперсии видно, что одновременная замена знаков не показателя преломления. То есть в среде с и могут распространяться плоские незатухающие волны как и в среде с положительными проницаемостями. В чем же тогда отличия сред с одновременно отрицательными диэалектрическими и магнитными проницаемостями? А различия заключатся в следующем. Во-первых, посмотрите на уравнение (одно из уравнений Максвелла для амплитуд)


Из него видно, что для тройка векторов -правая, а для она левая. По этой причине среды с называют левыми средами. В природе естественных материалов с вероятно не существует (пока не найдено). Но искуственно такие материалы (диэлектрики с включением металлических частиц определенной форму) были получены.

Важность и весьма необычные приложения левых сред можно увидеть из следующей задачи. Рассмотрим прохождение плоской волны из одной среды в другую (с резкой границей). Как вы знаете должны выполняться граничные условия
(13)

(14)
Из этих равенств следует, что при прохождении волны из правой среды в левую закон преломления должен отличаться от обычного (луч идет в другой половине вертикальной полуплоскости).



Такой закон преломления дает возможность для создания плоскуих собирающих линз (без всяких недостатков, свойственных сферическим линзам):



Какие необычные физические явления с участием левых сред Вы придумаете сами?

Теперь рассмотрим свойства решений уравнения (12). Так как чаще всего величина комплексная, то и решения уравнения будут комплексными. Существует два вида экспериментальных ситуаций. В первой из них действительным является волновой вектор . Например рассматривается электромагнитное поле в резонаторе и используются периодические граничные условия. Тогда, комплексное решение уравнения (12) записываем в виде . Это означает, что зависимость амплитуд от времени имеет вид . Так как для равновесной среды нарастание поля невозможно, то следует отбирать корни с . Если же среда неравновесна, то поле может поглощать энергию предварительно сообщенную среде, и нарастать. Этому соответствует решения с . Другая типичная ситуация, характерна для оптики. В этой ситуации, постоянной и вещественной является частота (например волна, падающая на среду). Тогда комплексным является волновой вектор

. Тогда зависимость от координат имеет вид. Действительная часть волнового вектора определяет длину волны , а мнимая часть определяет глубину проникновения . Заметим также, что комплексные волновые вектора могут получиться и при действительной диэлектрической проницаемости.

В оптике часто вводят показатель преломления соотношением , где -единичный вектор в направлении волнового вектора. Подставив это в уравнение (12), получаем

(15)



Отсюда нетрудно получить, что



То есть решения уравнения (15) определяют фазовые скорости и глубину затухания электромагнитных волн. Амплитуды волн для каждого решения (15) могут быть найдены решением системы (11), которая через показатель преломления записывается так
(16)
Итак, мы рассмотрели уравнения электромагнитного поля в сплошной среде, общие свойства материальных уравнений, а также вопросы диссипации энергии и распространения волн. Заметим, что общие свойства материальных уравнений (или материальных тензоров) конечно сужают их возможный вид, но не определяют его однозначно. Для лпределения конкретного вида материальных тензоров необходимо сделать некоторые предположения о структуре рассматриваемого вещества. Как говорят надо выбрать модель вещества. Следующий большой блок вопросов, который мы рассмотрим будет связан с конкретными моделями электромагнитных свойств различных веществ и рассмотрением конкретных электромагнитных явлений в рамках этх моделей. При этом, как я уже отмечал раньше, материальные тензора вычисляются на основе квантовомеханических, статистических моделей, и это задача теоретической физики твердого тела. Но для начала мы, там где это будет возможно, ограничимся классическими моделями.

Рассмотрение начнем с класса веществ, которые называют диэлектриками. Диэлектриками называют вещества, которые не проводят электрический ток. Их разбивают на два вида полярные (молекулы имеют дипольный момент в отсутствии внешнего электрического поля) и неполярные (молекулы приобретают дипольный момент, только под действием внешнего электрического поля). Сначала рассмотрим случай неполярных диэлектриков. То, что диэлектрики не проводят электрический ток, означает, что все заряженные частицы связаны друг с другом, причем для неполярных диэлектриков центры распределения положительных и отрицательных зарядов совпадают друг с другом. Модель таких связанных зарядов описывается уравнением
(17)
Это уравнение Ньютона для пары разноименно заряженных частиц, связанных гармоническим потенциалом. Последнее слагаемое в правой части, учитывает релаксацию колебаний частиц друг относительно друга. Если внешнее поле гармонически зависит от времени , то решение уравнения (17) равно

(18)

Отсюда имеем



(19)

С этим выражением мы уже встречались. Но его можно несколько обобщить, учитывая тот факт, что каждой молекуле можно поставить несколько осцилляторов с своими частотами и затуханиями
(20)
Выделите и постройте графики действительной и мнимой частей .

Найдите комплексный показатель преломления .

Если вы внимательно следили за выводом формул (19,20), то наверное обратили внимание на то, что поле действующее на молекулу считалось равнам макроскопическому полю (то есть усредненному по Лоренцу микроскопическому полю). Это справедливо, если молекулы достаточно удалены друг от друга (как в газах). Но в жидкостях и твердых телах расстояния между молекулами порядка их размеров, и в силу этого, эффективное поле, действующее на молекулу, отнюдь не равно усредненному полю. Действительно, поляризованные молекулы должны также давать вклад в это локальное поле. Для кристаллов с кубической симметрией или для изотропной среды (жидкости) результат сводится к уравнению
(21)

Второй член в правой части называется поправкой Лоренц-Лоренца. Вводя поляризуемость

(22)

получаем



(23)

Из (23) легко получаем формулу Лоренц-Лоренца
(24)
Найти сдвиг резонансной частоты из-за наличия поправки Лоренц-Лоренца.

Рассмотрим теперь полярный диэлектрик. Каждая молекула обладает исходным дипольным моментом , которые в отсутствие поля хаотически ориентированы, и дипольный момент единицы объема равен нулю. При наличии внешнего поля возникает преимущественное направление и дипольный момент единицы объема равен (при достаточно высокой температуре)

(25)

Пусть поле приложено в момент . Простейшее уравнение, которое описывает приближение к состоянию с поляризацией (25) имеет вид



где некоторый параметр. Отсюда находим уравнение Дебаевской релаксации
(26)

Так как



(27)

Последняя формула называется формулой Дебая. Построить действительную и мнимую части диэлектрической проницаемости Дебая. Вывести формулу (25).


Лекция 4. Электрические свойства проводников. Закон Ома, модель Друде-Лоренца. Зонная структура металлов, полуметаллов, полупроводников диэлектриков. Оптические свойства проводников.
На прjшлой лекции мы начали рассмотрение микроскопических моделей электромагнитных свойств сплошных сред. Были рассмотрены модели неполярных и полярных диэлектриков. Для модели неполярного диэлектрика мы вывели выражение для диэлектрической проницаемости (без поправки для локального поля)
(1)
где -плазменная частота, -силы осцилляторов, -собственныя частоты и затухания осцилляторов. С учетом поправки к локальному полю диэлектрическая проницаемость может быть определена из формулы Лоренц-Лорентца:
(2)
В рамках модели полярного диэлектрика для диэлектрической проницаемости была получена формула Дебая
(3)
Где , - дипольный момент молекулы, - время Дебаевской релаксации. Отметим, что в рамках нашего подхода параметры рассматриваются как феноменологические. Поэтому рассмотренные модели являются полуфеноменологическими. В настоящей микроскопической модели они должны быть рассчитана, через фундаментальные константы.

Тема настоящей лекции электричекие свойства и микроскопические модели проводников. Главной отличительной особенностью проводников является наличие подвижных носителей заряда, которые и обеспечивают проводимость в большинстве проводников такими носителями являются электроны (проводники первого рода). Далее мы ограничимся рассмотрением проводников первого рода. Будем считать, что все электроны движутся независимо друг от друга (модель свободных электронов) и их движение описывается классической механикой (квантовые эффекты обсудим чуть позже). Так как все проводники (за исключением сверхпроводников) обладают конечным сопротивлением, то мы также должны предположиить наличие тормозящейсилы сопротивления. Эта силы возникает и-за потери импульса при рассеянии на примесях, на фононах и друг на друге (последний механизм имеет место т.к. электроны обладают не импульсом, а квазимпульсом). Учитывая сказанное модель можно описать уравнением
(4)
Как обычно, подставляем в (4) и получаем


Отсюда получаем выражение
(5)
где . Мы видим, что диэлектрическая проницаемость зависит от частоты, то есть иеет место частотная или временная дисперсия. На самом деле часть этой зависимости связана не совсем с удачной величиной, которая характеризует реакцию проводника на внешнее электрическое поле. Дело в том, что отклик проводника на внешнее электрическое поле боле правильно характеризовать возникающим током.ю а не поляризацией.


где . Так как
(6)

Здесь параметр имеет размерность времени и имеет смысл времени свободного пробега. Рассмотренная модель еазывается мделью Друде-Лоренца, соотвественно формула (6) (а иногда и (5)) также называься формулами Друде-Лоренца. Из (6) видно, что проводимость при стремится к кончному пределу (к статической проводимости
(7)
Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты возникает, по той простой причине, что при постоянном токе заряд накпливается на границах проводника. Сравнивая (5,6) , получаем
(8)
то есть дает выражение для обобщенной проницаемости (смотри лекция 1). Если в проводнике, помимо свободных электронов есть еще и связанные, то формула (8) заменится на следующую
(9)
Рассмотрим вопрос о характерных значениях параметров модели. В качестве проводника (или металла) рассмотрим медь. В гауссовой системе единиц статическая проводимость меди при комнатной температуре (посмотрите таблицу в любом справочнике физических свойств) равна . Если считать, что каждый атом меди дает один свободный электрон проводимости, то . Тогда из формулы (7) получаем оценку . С пронижением температуры время свободного пробега увеличивается При низких температурах длина свободного пробега электронов в меди может достигать и больше межатомных расстояний. И здесь мы сталкиваемся с одной из проблем классической модели Друде-Лоренца: почему свободные электроны так редко взаимодействуют с атомами решетки!?

Перейдем к обсуждению полупроводников. Проводимость различных полупроводников и даже одного и того же полупроводника может сильно меняться в зависимостим от температуры и наличия определенных примесей. Типичные пределы изменения . Экспоненциальное уменьшение проводимости с понижением температуры является характерным свойством полупроводников, отличающих их от металлов. Эти особенности полупроводников, также как и отмеченный выше удивительный факт слабого взаимодействия электронов с атомной решеткой металламогут быть объяснены только в рамках квантовй теории. Согласно квантовой механике электроны (как квантовые частицы) в некотором отношении ведут себя как волны. Но волны могут распространяться по периодической структуре без рассеяния (точнее волны рассеянные на отдельных элементах периодической структуры интерферируют, что приводит почти к полному восстановлению волны. Можно сказать, что электрон-волна не замечает периодической структуры металла, а рассеивается только на отклонениях от периодичности: примеси, фононы и т.д.

Далее, вышеупомянутая интерференция возможна (в зависимости от типа вещества) при определенных условиях. Эти условия выражатся в том, что энергия распространяющихся волн может принимать определенные разрешенные значения: зоны разрешенных значения. Далее коротко описать зонную структуру металлов, полуметаллы,полупрводников и диэлектриков. Часто зависимость энергии от квазиимпульса можно представить в виде (так как часто важен вид зависимости вблизи экстремумов):
(10)

Величина называется эффективной массой (может быть положительной или отрицательной). Более того в анизотропном случае эффективная масса это тензор второго ранга
(11)
Число состояний в элементе фазового объема (одно состояние на ):
(12)
Состояния заполняются по мере возрастания энергии. Подсчитаем число заполненных состояний внутри сферы и введем понятие импульса Ферми (Ферми-сферы, Ферми поверхности):
(13)
Число состояний можно выразить и через энергию
(14)

Эта величина носит название плотности состояний. Она позволяет быстро рассчитать число состояний в любом интервале энергий. В общем случае, когда температура не равна нулю следует использовать выражение
(15)
Вычислить эти выражения в различных приближениях. В Больцмановском приближении получаем выражения
(16)

(17)

Лекция 5. Нормальные электромагнитные волны в диэлектриках, поляритоны. Оптические свойства проводников. Ленгмюровская экранировка. Нормальные электромагнитные волны в проводниках. Плазменные волны. Скин эффект, поверхностный импеданс.
На прошлых лекциях мы рассмотрели простейшие модели диэлектриков, проводников и полупроводников, вычислили их диэлектрические проницаемости и проводимости. На этой лекции, используя эти результаты, мы рассмотрим распространение нормальных электромагнитных волн в этих средах, отражение и поглощение волн. Начнем с рассмотрения нормальных электромагнитных волн в диэлектриках.

Рассмотрим область частот вблизи одной из резонансных частот и предположим, что затухание мало. Тогда диэлектрическую проницаемость можно апроксимировать следующим выражением
(1)
где . Ясно, что - статическая диэлектрическая проницаемость. Можно считать, что резонансная частота учитывает поправку Лоренц-Лорентца. Уравнение для амплитуд нормальных волн (уравнение (11) из лекции 3) в изотропном случае принимает вид
(2)

Направим ось вдоль вектора . Тогда имеем


А уравнения (2) дадут систему уравнений для амплитуд продольной и поперечной волн
(3)
(4)
Решение (относительно частоты) уравнения (3) дает
(5)
Это решение не зависит от волнового вектора, то есть все электроны смещаются синхронно в продольной волне. Для поперечных волн уравнение (5) преобразуем к виду
(6)
Откуда видно, что при волновой вектор чисто мнимый, что означает затухание волны (это окно непрозрачности). Решение уравнения (6) относительно несложно и графически изображено на рисунке (проделать вычисления и построение на семинаре):


Рис.1. Дисперсионные кривые нормальных электромагнитных волн в неполярном диэлектрике.
Частота поперечной волны типа 1 при малых волновых векторах (длинноволновый предел) стремится к частоте продольной волны, в коротоковолновом пределе стремится к . Частота поперечной волны второго типа при больших длинах волн стремится к . Если бы Электромагнитные волны и упругие диполи не взаимодействовали, то мы имели бы две непересекающиеся частоты . Из-за взаимодействия электромагнитной волны и диполей среды эти две частоты модифицируются, как показано на рисунке. Поэтому изображенные частоты соответствуют связанным колебаниями частиц среды и электромагнитного поля. Такие волны называются поляритонами (на рисунке изображен их спектр). Можно сказать, что мы получили спектр квазичастиц: поляритонов.
1   2   3   4

Похожие:

Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconПрограмма курса по электродинамике сплошных сред
Общие свойства тензоров проницаемостей и проводимости: принцип симметрии Онзагера
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconНелинейные процессы в физике сплошных сред
Уравнения Максвелла для высокочастотного поля в сплошной среде. Нелинейная диэлектрическая проницаемость. Матричные элементы взаимодействия...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconРабочая программа векторный и тензорный анализ наименование дисциплины
Понятие тензора. Основные операции над тензорами. Метрический тензор. Примеры тензоров (тензор инерции, тензор деформаций, тензор...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconТема Взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем
Отсюда следует, что для описания этих процессов необходимо использовать полевые уравнения и уравнения движения зарядов. Полевые уравнения...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconВведение в физику плазмы, часть II
Уравнения одножидкостной магнитной гидродинамики. Тензор плотности потока импульса. Адиабаты. Уравнение вмороженности и диффузия...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconУравнения максвелла
Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconЕдиная теория векторных полей (от электродинамики Максвелла к единой теории поля)
Существенного успеха такой путь не принес. Можно попробовать другой подход объединения электричества и гравитации, в кото­ром подлежат...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconУрок ознакомления с новым материалом
Образовательные: ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными; научить узнавать,...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconОт электродинамики Максвелла к единой теории поля. Введение в единую теорию векторных полей
Существенного успеха такой путь не принес. Можно попробовать другой подход объединения электричества и гравитации, в кото­ром подлежат...
Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред. Тензора диэлектрической, магнитной проницаемостей и тензор проводимости. Понятие о временной и пространственной дисперсии iconОпределение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения
Ввести понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Сформировать умения различать квадратные уравнения, определять...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org