Решение тригонометрических уравнений 1



Скачать 189.06 Kb.
Дата27.11.2012
Размер189.06 Kb.
ТипРешение
Решение тригонометрических уравнений

Оглавление




Решение тригонометрических уравнений 1

Оглавление 1

1. Решение простейших уравнений. 1

2. Общий вид решения тригонометрических уравнений. 2

3. Виды уравнений. 3

3.1 Уравнения, сводящиеся к квадратным. 3

3.2 Однородные уравнения. 3

3.3 Уравнение вида: аsinх  bcosх = с. 4

3.4 Уравнения вида sinх  cosх = 1 , уравнения, содержащие коэффициенты 5

3.5 Уравнения, сводящиеся к произведению, равному нулю. Метод разложения на множители . 6

4. Общий алгоритм поиска решения тригонометрических уравнений. 7

Пункт 2. Определить есть ли тригонометрическая формула во всем выражении, если есть, то применить; 7

5. Отбор корней. 10


1. Решение простейших уравнений.

Уравнения типа sinх (cosх) = 0, sinх (cosх) =  1, tgх (ctgх) = 0, решаются с помощью тригонометрического круга.
Алгоритм

Пункт 1. Привести угол в стандартный вид.

Пункт 2. Определить, при каком значении диаметрального угла весь угол равен данному значению (0;  1);

Пункт 3. Определить через оборот или пол – оборота это значение повторится;

Пункт 4. Записать весь угол равен значению, определенному в пункте 2 плюс 2n, если значение повторяется через целый оборот, или n, если повторяется через пол – оборота;

Пункт 5. Найти х.

Под стандартным углом понимается угол с положительным неизвестным.

Примеры. Решить уравнения:

1
/2
0

3/2
) sin2х = 0


2х = n, где n Z;

х = /2n
2х = n т. к. синус равен 0 в нуле и через пол – оборота при , т. е. получаем

0 + n = n.

2) sin(/3  х) = 1

Чтобы привести угол в стандартный вид, надо вынести минус за знак синуса.

sin(х /3) = 1;

sin(х /3) =  1;

Весь угол х /3. Синус равен  1 при угле равном 3/2 или  /2 и повторяется через целый оборот. Принято использовать  /2.

х  /3 = /2 + 2n , где n  Z .

х = /2 +/3 + 2n;

х = /6 + 2n .

Ответ: /6 + 2n, где n Z .

3) cos (/4 2х)  1 = 0. Т. к. у = cos х  функция четная, то

cos (/4 2х) = cos (2х  /4) .

cos (2х  /4) = 1, 2х  /4 = 2n, n Z ,

2х = /4 + 2n, х = /8 + n .

Ответ: /8 + n, где n Z .

Ключевые слова.

Если уравнение простейшее, то решение смотреть по окружности.
2. Общий вид решения тригонометрических уравнений.

sinх = а sinх = а

Для а > 0 Для а < 0

х = ( - 1)n arcsina + n , где n Z . х = ( - 1)к +1 arcsina + к , где к Z .

cosх = а cosх = а

Для а > 0 Для а < 0

x =  arccosa +2n, где n Z . х = (  arccosa ) + 2n , где n Z .

tgх = а tgх = а

Для а > 0 Для а < 0

х = arctgа + n, где n Z . х =  arctgа + n, где n Z .

сtgх = а сtgх = а

Для а > 0 Для а < 0

х = arcсtgа + n, где n Z . х =   arсctgа + n, где n Z .
Запоминание. Ключевые слова.

  1. У косинуса прибавляем 2n , у остальных n;

  2. У синуса ( - 1)n ; у косинуса , у тангенса, котангенса arc.

  3. Для а отрицательных: у синуса k +1; у косинуса плюс, минус (   arc...), у тангенса минус arc... , у котангенса   arc...

Алгоритм.

Пункт 1. Привести угол в стандартный вид;

Пункт 2. Выразить sin, cos, tg, ctg;

Пункт 3. Записать соответствующую формулу решения для всего угла, проговаривая: «Уравнение вида ... , весь угол равен...»;

Пункт 4. Найти неизвестное.

Примеры. Решить уравнения:

  1. sin2х = 1/2 , (уравнение синуса, весь угол 2х равен ( - 1)n

2х = ( - 1)n arcsin1/2 + n , где n Z .

2х = ( - 1)n /6 + n ,

х = ( - 1)n /12 + n/2. Ответ: ( - 1)n /12 + n/2 , где n Z .

  1. 3tg(/3  х) = ,

Выполняем пункты 1, 2: 3tg(х  /3) = , tg(х  /3) = ,

Выполняем пункт 3: х  /3 = arctg() + n , где n Z .

х  /3 =  arctg + n, х  /3 = /6 + n ,

х = /3  /6 + n , х = /6 + n

Ответ: /6 + n , где n Z .

  1. 2cosх/2  1 = 0,

cosх/2 = 1/2,

х/2 =  arccos1/2 +2n , где n Z, х/2 =  /3 + 2n ,

х =  2/3 + 4n . ( на 2 надо умножить, крест на крест)

Ответ:  2/3 + 4n, где n Z .
3. Виды уравнений.



3.1 Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Основные элементы:

функция одна или можно привести к одной функции;

степени разнятся в два раза.

Решается путем замены переменной. При замене переменной, указать область ее значений.

Пример.

а) 2sin2х  5sinх + 3 = 0.

Пусть sinх = t, t  1,т. к. sinх  1 2t2  5t + 3 = 0,

D = 25  24 = 1

t1,2 =  посторонний корень.

sinх = 1, х = /2 + 2n , где n  Z .

б) 4(cos2х + cos 2х) + 3sin(270 + х) = 2.

Необходимо привести выражение к одной функции, применив формулу двойного угла для косинуса и формулы приведения.

4(2cos2х  sin2 х) 3cosх = 2,

8cos2х 4 sin2 х 3cosх = 2,

Т. к. sin2х = 1  cos2х , получим: 8cos2х 4 + 4 cos2х 3cosх = 2,

12cos2х  3cosх  6 = 0, 4cos2х  cosх  2 = 0,

Пусть cosх = t, t  1,т. к. cosх  1 4t2  t  2 = 0,

D = 1 + 32 = 33,

t1,2 =

cosх = х =  arccos(+ 2n , где n  Z .

cosх = х =  arccos(+ 2n , где n  Z .

Ответ: ( - arccos(+ 2n ;  arccos(+ 2n , где n  Z .

3.2 Однородные уравнения.

Основные элементы:

углы одинаковые;

функций  две;

степень одинаковая;

свободный член равен нулю.

Решаются путем почленного деления на одну из функций, отличную от нуля, в большей степени, далее - замена.

Примеры.

а) 3cos2х  2sinхcosх  sin2х = 0.

Анализ: углы одинаковые; функций две (sinх и cosх); степень вторая, т. к. степень произведения считается как сумма степеней множителей ( 1 + 1 = 2);

свободный член равен нулю  уравнение однородное.

Разделим почлено на cos2х, доказав, что cosх  0.

Пусть cosх = 0, тогда sin 2х = 1, следовательно, уравнение не имеет решения.

3cos2х  2sinхcosх  sin2х = 0. : cos2х  0.



tg2х  2tgх + 3 = 0, tg2х + 2tgх  3 = 0,

Пусть tgх = t, тогда t2 + 2t  3 = 0,

t 1 =  3; t2 =1 по теореме обратной теореме Виета.

tgх = 3, х = arctg(3) + n , где n Z . х =  arctg3 + n .

tgх = 1, х = arctg1 + n , где n Z х = /4 + n .

Ответ:  arctg3 + n, /4 + n, где n Z .

б) 10sin2 2х  6sin4х  11cos22х = 1

Так как в однородном уравнении свободный член равен нулю, нужно представить 1 в виде sin2 2х + cos22х.

Используя формулу двойного угла для синуса, получим:

10sin2 2х  12sin2хcos2х  11cos22х = sin2 2х + cos22х,

9sin2 2х  12sin2хcos2х  12cos22х = 0,

3sin2 2х  4sin2хcos2х  4cos22х = 0 : cos2х  0,

Пусть cosх = 0, тогда sinх = 1 или sinх =  1, следовательно уравнение не имеет решения.

3tg2 2х  4tg2х  4 = 0,

Пусть tg2х = t, тогда 3 t2  4t  4 = 0,

D = 4 + 12 = 16,
t1,2 = t1=  2/3, t2= 2.

tg2х =  2/3, tg2х = 2

2х = arctg(2/3) +n , где n Z. 2х = arctg(2/3) +n , где n Z.



Ответ: где n Z.

3.3 Уравнение вида: аsinх  bcosх = с.

Первый способ.

Уравнение вида аsinх  bcosх = с можно привести к однородному, применив формулы двойного угла и представить с через основное тригонометрическое тождество.

2аsinх/2 cosх/2  b(cos2x/2  sin2x/2) = c(cos2x/2  sin2x/2).

Второй способ.

Уравнение вида аsinх  bcosх = с можно решить методом введения вспомогательного аргумента, для чего обе части уравнения разделить на

и привести полученное уравнение к виду

sinх cos   sin  cosх = sin(х  ) =

Где  = arcsin или  = arccos .

Третий способ.

Уравнение вида аsinх  bcosх = с можно решить способом универсальной замены, т. е. используя формулы выражения sinх, cosх через tgх/2:



При этом необходимо установить, является ли х =  + 2n корнем уравнения,

т. к. tg(х/2) неопределен при этих значениях.

Пример. Решить уравнение 5cosх + 2sinх = 3.

Первый способ.

5cos2 х/2  5sin2 х/2 + 4sin х/2 cos х/2 = 3cos2 х/2 + 3sin2 х/2,

4sin2 х/2  2sin х/2 cos х/2  cos2 х/2 = 0,

Поделив на cos2 х/2 , т. к. cos2 х/2  0, получим:

4tg2 х/2  2tgх/2  1 = 0, откуда tgх/2 = , т. е. х = 2 arctg + 2n .

Второй способ.

Поделим обе части уравнения на Деление производим почленно.

cosх + sinх = т. к. , то положим, что

sin  = , а cos  = ,

sin  cosх + sinх cos  = , sin( + х) = , где

= arcsin или  = arccos ,

,
+ х = ( - 1)n arcsin + n , где n Z
х = ( - 1)n arcsin   + n ,


х = ( - 1)n arcsin  arcsin + n.

3.4 Уравнения вида sinх cosх = 1 , уравнения, содержащие коэффициенты
Уравнения вида sinх  cosх = 1 целесообразно решать путем умножения обеих частей на .

sinх  cosх = , используя принцип решения по второму способу, получаем: sin(х  /4) = , т.к. = cos /4 или = sin /4. Далее  стандартное решение.

Тоже получаем в случае коэффициентов

Пример. Решить уравнение sin х/3  cosх/3 = .

Разделим обе части на 2для получения коэффициентов

, sin(х/3 /6) =

Эти коэффициенты можно получить, используя и метод введения вспомогательного аргумента.

3.5 Уравнения, сводящиеся к произведению, равному нулю. Метод разложения на множители .

Так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл, то, разложив на множители соответствующее уравнение, можно представить его как совокупность нескольких уравнений.

Примеры.

  1. sin2х sinх  0,5sinх  sin2х =  0,5,

Перенесем  0,5 влево и сгруппируем, т. е. применим алгебраическое разложение на множители. Получим:

sin2х sinх  0,5sinх  sin2х + 0,5 = 0,

sin2х(sinх  1)  0,5(sinх  1) =0,

(sinх  1)(sin2х  0.5) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinх  1 =0 или sin2х  0.5 = 0,

х = /2 + n 2х = ( - 1)n /6 + n, где n Z ,

х = ( - 1)n /12 + n/2.

Ответ: /2 + n, ( - 1)n /12 + n/2, где n Z .

  1. sin2х = sinх,

Перенесем sinх влево и применим формулу двойного угла для синуса. Получим:

2sinх cosх  sinх = 0,

sinх (2cosх  1) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinх = 0 или 2cosх  1 = 0,

х = n , где n Z cosх = 1/2,

х =  /3 + 2n , где n Z .

Ответ: n ,  /3 + 2n , где n Z .



  1. sinх + sin5х = 0,

Используем формулы перевода суммы в произведение, т. е. применим тригонометрическое разложение на множители. Получим:

2sin3х cos 2х = 0,

sin3х = 0 или cos2х = 0,

3х = n , где n Z 2х = /2 + n , где n Z ,

х = n/3 , х = /4 + n/2 ,

Ответ: n/3 , /4 + n/2 , где n Z .

  1. sin3 х  cos3х = sin2х  cos2х,

Применим алгебраическое разложение на множители с использованием формул разности кубов и разности квадратов. Получим:

(sinх  cosх)(sin2х + sinх cosх + cos2х) = (sinх  cosх) (sinх + cosх),

(sinх  cosх)(sin2х + sinх cosх + cos2х)  (sinх  cosх) (sinх + cosх) = 0.

(sinх  cosх)(1 + sinх cosх  sinх  cosх) = 0,

(sinх  cosх)(sinх (cosх  1)  (cosх  1)) = 0,

(sinх  cosх)( cosх  1)(sinх  1) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряет смысл.

sinх  cosх = 0 или cosх  1 = 0 или sinх  1 = 0,

sin(х  /4) = 0 cosх = 1 sinх = 1

х  /4 = n х = 2n х = /2 + 2n , где n Z ,

х = /4 + n.

Ответ: /4 + n, 2n, /2 + 2n , где n Z .



4. Общий алгоритм поиска решения тригонометрических уравнений.

Пункт 1. Привести углы в стандартный вид, используя четность, нечетность функций, формулы приведения;

Пункт 2. Определить есть ли тригонометрическая формула во всем выражении, если есть, то применить;

Пункт 3. Установить при возможности вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;

Пункт 4. При наличии в выражении sin, cos и tg или ctg выразить tg, ctg через sin и cos;

Пункт 5. Выполнить алгебраические преобразования;

Пункт 6. Установить при возможности вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;

Пункт 7. Выполнить тригонометрические преобразования:

  1. Преобразования по углу:

а) Углы одинаковые  применить формулы одного аргумента во всем выражении или его части;

б) Углы разнятся в два раза  применить формулы двойного или половинного угла;

в) Углы разные  рассмотреть возможность применения формул перевода суммы в произведение или наоборот;

  1. Преобразование по функции:

а) При одинаковых углах, если степени разнятся в два (и более раз), рассмотреть возможность приведения уравнения к квадратному (высших степеней) уравнению, используя формулы одного аргумента или формулы, приводящие к одной функции (половинного аргумента, универсальной замены);

б) При наличии степеней применить формулы понижения степени;

в) При необходимости приведения к одной функции использовать формулы одного аргумента, формулы половинного угла, формулы выражения синуса, косинуса, тангенса через тангенс половинного угла и другие;

г) При необходимости приведения к кофункции использовать формулы приведения;

Пункт 8. Определить вид уравнения и решать согласно решению установленного вида.

Примечание:

  1. Алгебраические преобразования и тригонометрические преобразования чередуются после каждого законченного цикла преобразований.

  2. Установление вида уравнения производить после каждой законченной операции пунктов 5 и 7.

  3. При наличии тригонометрических функций в знаменателе, при наличии тангенса и котангенса найти область определения уравнения и произвести отбор корней (исключить посторонние).


Примеры. Решить уравнения:

  1. cos2х  sin2х = 2cos22х,

Пункт 1 отсутствует; пункт 2: т. к. cos2х sin2х = cos2х

сos2х = 2cos22х,

Пункт 5 ( осуществим перенос и разложение на множители: 2cos22х  cos2х = 0,

cos2х (2cos2х 1) = 0,

Пункт 6 Уравнение вида произведение равно нулю:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

cos2х = 0 или 2cos2х 1 = 0,

2х = /2 + n, где n Z cos2х = 1/2,

х = /4 + n/2 2х =  /3 + 2n, где n Z

х =  /6 + n

Ответ: /4 + n/2,  /6 + n, где n Z .



Пункты 1 ( 4 отсутствуют .Выполним пункт 5 «Алгебраические преобразования» приведем уравнение к целому виду, учитывая, что sin х/2 0,

т. е. х/2 n , х  2n.

сosх + 1 = 2 sin х/2,

Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 1. б, заметив, что углы разнятся в два раза. Применим формулу половинного аргумента для косинуса:

2 cos2х/2 = 2 sin х/2,

Перейдем к пункту 5, перенесем 2 sinх/2 влево, сократим на два:

cos2х/2  sin х/2 =0, sin 2х/2 +sin х/2 – 1 =0, sinx/2 = t, t 1

t2 + t – 1 = 0, t1 = посторонний корень, t2 =

х/2 = ( - 1)n arcsin + n , где n Z . х = ( - 1)n 2 arcsin +2 n

Ответ: ( - 1)n 2 arcsin +2 n, где n Z .



  1. 1 + sin2х = (cos3х + sin3х)2.

Выполним пункт 5 «Алгебраические преобразования»  возведем скобку в квадрат:

1 + sin2х = 1 + 2 sin3х cos3х,

Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 2.б , применив формулу двойного угла для синуса:

1 + sin2х = 1 + sin6х,

sin2х  sin6х = 0,

Так как углы разные, выполним пункт 7. 1. в, применив формулу перевода суммы в произведение: 2 sin( 2х) cos4х = 0,

Выполним пункт 1, вынесем минус за знак синуса и сократим на - 2 (пункт 5):

sin2х cos4х = 0,

Пункт 8. Уравнение вида - произведение равно нулю:

sin2х = 0 или cos4х = 0,

2х = n, где n Z , 4х = /2 + n, где n Z ,

х = n/2, х = /8 + n/4,

Ответ: n/2, /8 + n/4, где n Z .



4) 2cos2х  cos2х = 2sin2х  sin2х.

С приобретением навыка целесообразно перед решением делать анализ:

Пунктов 1 ( 6 нет; углы разняться в два раза (пункт 7), применяем формулу половинного аргумента для синуса и косинуса (можно использовать формулы двойного угла):1 + cos2х  cos2х = 1  cos2х  sin2х

Далее алгебраические преобразования :

сos2х + sin2х = 0,

Уравнение однородное первой степени, решаем путем деления обеих частей на cos2х .

cos2х 0, т. к. в противном случае уравнение не будет иметь решения.

1 + tg2х = 0, tg2х =  1, 2х =  /4 + n, где n Z ,

х =  /8 + n/2.

Ответ:  /8 + n/2, где n Z .




5) 1 + cosх =  tg(/2 + х/2).

Анализ: привести угол в стандартный вид; выразить котангенс через косинус, деленный на синус (пункт 3), выполнить алгебраические преобразования (пункт 5), т. е. привести уравнение к целому виду:

1 + cosх = сtg х/2, 1 + cosх = ,

Т. к. деление на нуль не определено, то sinх/2  0, х  2n .

sinх/2(1 + cosх) = cosх/2,

Перейдем к тригонометрическим преобразованиям. Углы разнятся в два раза, целесообразно применить формулу половинного аргумент для косинуса:

2sinх/2 cos2х/2 = cosх/2,

Далее алгебраические преобразования  перенесем cosх/2 и вынести за скобку:

cosх/2(2sinх/2 cosх/2  1) = 0,

Далее тригонометрические преобразования  используем формулу двойного угла для синуса:

cosх/2(sinх  1) = 0,

Уравнение вида  произведение равно нулю:

cosх/2 = 0 или sinх  1 = 0,

х =  + 2n, х = /2 + 2n, где n Z .

Ответ:  + 2n, /2 + 2n, где n Z .

6) sin3х  cos3х = sin2х  cos2х.

Анализ: алгебраические преобразования  осуществим разложение на множители с помощью формул разности кубов и разности квадратов:

Учитывая, что sin2х + cos2х = 1, получим:

(sinх  cosх)(1 + sinх cosх  sinх  cosх) = 0,

(sinх  cosх)(1  cosх)(1  sinх) = 0,

Далее решаем:

sinх  cosх = 0 или 1  cosх = 0 или 1  sinх = 0,

х =/4 + n , х = 2n , х = /2 + 2n ,где n Z .

7) sin22х + sin23х + sin24х + sin25х = 2

Анализ: углы разные, степень вторая, необходимо понизить ее, используя формулы понижения степени:

= 2,

4  cos 4х  cos 6х  cos 8х  cos 10х = 4,

cos 4х + cos 6х + cos 8х + cos 10х = 0,

Углы разные, осуществим перевод суммы в произведение (п. 7. 1.в), группируя по два члена:

2cos5х cosх + 2cos9х cosх = 0,

cosх (cos5х + cos9х) = 0,

2 cosх (cos7х cosх) = 0, cos 2х cos7х = 0,

cos 2х = 0 или cos7х = 0

х = /2 + n 7х = /2 + n , х = /14 + n /7, где n Z .

Ответ: /2 + n, /14 + n /7, где n Z .

Ключевые слова.

Сначала алгебраические преобразования, потом тригонометрические .

Тригонометрические преобразования сначала по углу потом по функции.
5. Отбор корней.

Отбор корней производится:

- в уравнениях, имеющих ограничения по области определения;

в уравнениях с дополнительным условием, например: «найти все решения, принадлежащие отрезку [  /2; /2]» и тому подобным;

в смешанных уравнениях в соответствии с областью определения, например,

, т. е. решив данное уравнение необходимо отобрать корни при которых cosх  0.
Способ 1. Способ неравенства.
Пункт 1. Записать двойное неравенство для неизвестного (х), соответственное данному промежутку или условию; решить уравнение;

Пункт 2. Для синуса и косинуса разбить решения на два;

Пункт 3. Подставить в неравенство вместо неизвестного (х) найденные решения и решить его относительно n;

Пункт 4. Учитывая, что n принадлежит Z, найти соответствующие неравенству значения n;

Пункт 5. Подставить полученные значения n в формулу корней (при необходимости).

Пример. Решить уравнение 2cos2х  cos2х = 2 sin2х  sin 2х. Найти корни, принадлежащие промежутку [  /2;  2/].

/2  х  /2,

2cos2х +cos2х  2sin2х + sin2х =0,

cos2х + sin2х = 0 : cos2х 0, т. к. при cos2х = 0 уравнение не имеет решения.

1 + tg2х = 0, tg2х = - 1, х = - /8 + n /2, где n Z .

Т. к. /2  х  /2, то /2  - /8 + n /2  /2 ,

/2 + /8  n /2  /2 + /8,

6/8  n  10/8, т. к. n Z, то n = 0, 1

х = - /8, х = - /8 +  /2 х = 3/8

Ответ: /8 + n /2, где n Z. /8; 3/8.



Способ 2. Отбор на окружности.

Пункт 1. Решить уравнение;

Пункт 2. Обвести дугу, соответствующую данному промежутку на круге;
Пункт 3. Отметить решения на круге, для чего:

- разделить виды решения для синуса и косинуса;

- подсчитать значения х при n равных минимальным значениям до тех пор пока значения не выйдут за пределы данного промежутка (при необходимости);

Пункт 4. Выбрать решения, попавшие на обведенную дугу.
Пример. Решить уравнение cos3х + sin3х = cos2х. Найти корни, принадлежащие промежутку (  /2; /2).

(
/2

3/4
0 0
/4

/2
cosх + sinх)(1  cosх sinх )= cos2х,


(cosх + sinх)(1  cosх sinх )  (cosх  sinх)( cosх + sinх ) = 0,

(cosх + sinх)(1  cosх sinх  cosх + sinх ) = 0,

(cosх + sinх)(1 + sinх )(1  cosх) = 0

cosх + sinх = 0 или 1 + sinх = 0 или 1  cosх = 0

х =  /4 + n х =  /2 + 2n х = 2n, где n Z.
n =0, х = -  /4 n =0, х = -  /2 n =0, х = 0

n =1, х = 3 /4 n =1, х = 3 /2 n =1, х = 2

Ответ:  /4; 0.


Отбор корней можно вести по координатной прямой.
Решить уравнение .

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinх = 0 или

х = n , Решим уравнение sinх = 1/2 и отберем корни, удовлетворяющие

х = ( - 1)n /6 + n условию sinх  0.

х1 =  /6 + 2n ,

х2 = 5 /6 + 2n .

+

- /6 0 5 /6 х
Корень, удовлетворяющий условию 5/6 + 2n .

Ответ: n ; 5/6 + 2n , где n Z.

Похожие:

Решение тригонометрических уравнений 1 icon«Решение тригонометрических уравнений» Учитель сш №19 Чиротич О. А. 2005 Тема урока : «Решение тригонометрических уравнений» Тип урока : урок-консультация. Цели и задачи урока
Оборудование урока: магнитная доска, карточки; компьютер для демонстрации презентаций; тетради; таблицы по тригонометрии
Решение тригонометрических уравнений 1 iconЗанятие по теме: «Решение нестандартных тригонометрических уравнений» Цель : Развивать у учеников
Применение свойств арифметической прогрессии, нахождение пересечений решений, решение уравнений в целых числах, применение тригонометрии...
Решение тригонометрических уравнений 1 iconРешение простейших тригонометрических уравнений
По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений
Решение тригонометрических уравнений 1 iconРешение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций 7 Разложение на множители 8
Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций 7
Решение тригонометрических уравнений 1 iconКонспект урока по теме «Тригонометрия. Решение тригонометрических уравнений»
План – конспект урока по теме «Тригонометрия. Решение тригонометрических уравнений»
Решение тригонометрических уравнений 1 iconСписок тем по курсу 10 класса для пересдачи в августе алгебра
Решение простейших тригонометрических уравнений вида и т д. (знать формулы для решения уравнений такого типа)
Решение тригонометрических уравнений 1 iconУрок в 10 классе по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений: sin x = a; cos x = a.»

Решение тригонометрических уравнений 1 iconКонспект урока с использованием современных образовательных технологий Тема: методы решения тригонометрических уравнений метод решения хорош, если с самого начала мы можем
Цели: Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических...
Решение тригонометрических уравнений 1 icon«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
Разработала : учитель математики моусош с. Б-лука Вадинского района Пилипенко Н. Ф
Решение тригонометрических уравнений 1 iconРешение тригонометрических неравенств
Решение тригонометрических неравенств сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2012
обратиться к администрации
ru.convdocs.org
Главная страница