Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии



Скачать 71.34 Kb.
Дата27.11.2012
Размер71.34 Kb.
ТипУрок
Открытый урок
Тема: ФОРМУЛА СУММЫ п-ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

Цели: Обобщить знания по формулам геометрической прогрессии, проверить знание теоретических основ темы, закрепить навык работы с формулами. Развивать интерес к математики через применение формул геометрической прогрессии к решению задач с историческим содержанием.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания

Проверка с карандашом с комментариями.

№ 401 в4 = 800 ∙ 1,033 = 874 р 18 коп

№ 414 а) в1 = 6,4 S7 = = 205,9 б) в1 = -4,5 S7 = = -2461,5

II. Актуализация знаний. (10 мин)

устно(работа в группах)

Проверить знание формул геометрической и арифметической прогрессии.
С/р (на 3 варианта разной сложности)
В 1.

1) Найдите в6 геометрической прогрессии, если в1 = 3, q = 2.

2) Найдите S5 геометрической прогрессии, если в1 = - 4, q = 2

3) Найдите S6 прогрессии 3; 6; 12…

4)Найдите S4 геометрической прогрессии, если а1 = 3, q = - 2.
В2.

1) Найдите в5 геометрической прогрессии, если в1 = 125, q = .

2) Найдите S5 геометрической прогрессии, если в1 = 32, q =

3) Найдите S6 прогрессии 4; 16; 64…

4)Найдите S4 геометрической прогрессии, если а1 = 10, q = - .
В3.

1) Найдите в8 геометрической прогрессии, если в1 = , q = .

2) Найдите в5 геометрической прогрессии, если в1 = 27, q = -

3) Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии если в2 = 6, в4 = 24, q > 0.

4)Найдите в1 геометрической прогрессии, если S5 = 93, q = 2.
III.Основная часть (Марафон по «историческим прогрессиям)

Встречаемся ли мы в жизни прогрессии? (деление ядра и др.
)

- один пример невероятно большого результата прогрессии мы уже разбирали (Легенда о шахматах) – сформулируйте алгебраическую задачу по этой легенде. (Найдите сумму первых 64 – х членов геометрической прогрессии, где а1 = 1 и q = 2.)
- Обратимся теперь к реальной истории одной теоремы. В 1603 – 1665г жил юрист Пьер Ферма, для которого математика стала неотъемлемой частью его жизни, он применял теоремы математика даже в юриспруденции. На полях одной книги Пьер Ферма записал, что он нашёл доказательство одной теоремы, но здесь слишком мало места, чтобы доказать её. Впоследствии один немецкий поклонник Ферма завещал 100 000 марок тому, кто докажет эту теорему. До сих пор эта сумма никому не досталась. Давайте подсчитаем, какая сумма сейчас находится на этом счету, если она помещена на счёт в банке под 4% годовых в 1665 году.

2004 - 1665 = 339 => п = 339 q = 1,04 (104% через год)

в339 = 100000 ∙ 1,04338 = 57 183 230 010 немецких марок.
-. Выгодная сделка

Когда и где происходила эта история — неизвест­но. Возможно, что и вовсе не происходила; даже ско­рее всего, что так. Но быль это или небылица, исто­рия достаточно занятна, чтобы ее послушать.

Богач-миллионер возвратился из отлучки необы­чайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.

«Бывают же такие удачи, — рассказывал он до­машним. — Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незна­комец, из себя невидный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора пред­ложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

  • Сделаем, — говорит, — такой уговор. Я буду це­лый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустячная. В первый день я должен по уговору заплатить — смешно вымолвить — всего только одну копейку. Я ушам не верил.

  • Одну копейку? — переспрашиваю.

  • Одну копейку, — говорит. — За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.

  • Ну, — не терпится мне. — А дальше?

  • А дальше — за третью сотню тысяч — 4 копей­ки, за четвертую — 8, за пятую — 16. И так целый ме­сяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

  • И потом что? — спрашиваю.

  • Все, — говорит, — больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду но­сить по сотые тысяч рублей, а ты плати, что сговоре­но. Раньше месяца кончать не смей.

Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если день­ги не фальшивые, то не в полном уме человек. Одна­ко же дело выгодное, упускать не надо.

  • Ладно, — говорю. — Неси деньги. Я-то свои уп­лачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правиль­ные деньги приноси.

  • Будь покоен, — говорит, — завтра с утра жди.

Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спо­хватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать».

Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.

— Деньги готовь, — говорит. — Я свои принес.

И действительно, войдя в комнату, странный че­ловек стал выкладывать деньги — настоящие, не фальшивые.

Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:

— Вот мое по уговору. Твой черед платить.

Богач положил на стол медную копейку и с опас­кой дожидался, возьмет гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует.

Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и

спрятал.

— Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, — сказал он и ушел.

Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: все правильно. Запрятал день­ги подальше и стал ждать завтрашней уплаты.

Ночью взяло его сомнение: не разбойник ли про­стаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей?

Запер богач двери покрепче, с вечера в окно погля­дывал,- прислушивался, долго заснуть не мог.

Наутро снова стук в окно: незнакомец деньги при­нес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету и ушел, бросив на прощание:

— К завтрашнему четыре копейки, смотри, при­готовь.

Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторо­нам не глядит, не высматривает, свои только копей­ки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, ум­ным людям хорошо бы жилось...

Явился незнакомец и на третий день — третья сот­ня тысяч перешла к богачу за 4 копейки.

Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч — за 8 копеек.

Пришла и пятая сотня тысяч — за 16 копеек,

Потом шестая — за 32 копейки.

Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач ужо семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки;

1 коп.+2 коп.+4 коп,+8 коп.-16 коп.+32 коп. 4-+64 коп. = 1 руб. 27 коп.

Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трех миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок еще хоть на полмесяца? Боязно: как бы не сообразил, что зря деньги отдает...

А чем закончилась эта история, давайте подсчитаем:

Получил Богач 100 000 ∙ 30 = 3 000 000 - три миллиона

Уплатил Богач в1 = 0,01 q = 2 S30 = = 10 734 418,23 - больше десяти.
- Ну и последняя история. история наших дней.

Лавина дешевых велосипедов

И теперь еще находятся — предприни­матели, которые прибегают к довольно оригинально­му способу сбывать свой товар, обычно посредственно­го качества. Начинали с того, что в распространенных газетах и журналах печатали рекламу такого содер­жания:

ВЕЛОСИПЕД ЗА ДЕСЯТЬ РУБЛЕЙ!

Каждый может приобрести в собственность

велосипед, затратив только 10 рублей.

Пользуйтесь редким случаем!

BMSCTO 50 РУБЛЕЙ — 10 РУБЛЕЙ !!!

Условия покупки высылаются бесплатно.



Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия нео­бычной покупки. В ответ на запрос они получали по­дробный проспект, из которого узнавали следующее.

За 10 руб. высылался пока не сам велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 руб. своим четверым знакомым. Собранные таким обра­зом 40 руб. следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился по­купателю действительно всего в 10 руб., остальные 40 руб. уплачивались ведь не из его кармана. Прав­да, кроме уплаты 10 руб. наличными деньгами, при­обретатель велосипеда имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, по этот малень­кий труд в счет не шел.

Что же это были за билеты? Какие блага приобре­тал за 10 руб. их покупатель? Он получал право обме­нять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими сло­вами, он приобретал возможность собрать 50 руб. для покупки велосипеда, который ему обходился, следо­вательно, только в 10 руб., т. е. в стоимость билета. Новые обладатели билетов, в свою очередь, получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распростра­нения и т. д.

Па первый взгляд во всем этом не было обмана. Обещание рекламного объявления исполнялось; ве­лосипед в самом деле обходился покупателям всего лишь в 10 руб. Да и фирма не оказывалась в убытке — она получала за свой товар полную его стоимость.

А между тем вся затея — несомненное мошенни­чество. «Лавина», как называли эту аферу у нас, или «снежный ком», как величали ее французы, а в современном мире «пирамида» вовлекала в убыток тех многочисленных ее участ­ников, которым не удавалось дальше сбыть куплен­ные ими билеты. Они-то и уплачивали фирме раз­ницу между 50-рублевой стоимостью велосипедов и 10-рублевой платой за них. Рано ли, поздно ли, но неизбежно наступал момент, когда держатели билетов не могли найти охотников их приобрести.

Попробуйте подсчитать сколько людей будет вовлечено в этот «снежный ком» на 12 круге.

а1 = 1 q = 4(один билет обменивается на 4 билета) в12 = 1 ∙ 411 = 4 194 304 человек – это население двух таких городов как Самара.
IV. Итог урока.

Если вас заинтересовали эти задачи, вы сможете найти ещё в книге Я.И. Перельмана «Живая математика». По аналогии с историей теоремы Ферма существует различные призовые фонды, например Нобелевская премия, премия Франклина (Основной капитал не трогали первые сто лет, за это время он сильно увеличился и теперь ежегодно с этого капитала выплачивают в виде премии проценты набежавшие за год, а основной капитал остаётся нетронутым)

- оценки

- Д/з №415, 398, 427

Похожие:

Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии icon«Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии»
Научиться находить сумму n-первых членов геометрической прогрессии используя формулы
Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии iconФормула суммы n-первых членов
Цель: вывести вместе с учащимися формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии; сформировать навыки использования этих...
Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии iconУрок алгебры 9 класс Тема урока: "Прогрессии"
Образовательные – продолжить работу над определениями арифметической, геометрической прогрессий; формулами n-го члена, суммы n первых...
Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии iconРешение задач по теме «Геометрическая прогрессия»
Цель: совершенствовать навыки решения задач на применение формул n-го члена геометрической прогрессии, формулы суммы членов геометрической...
Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии iconЗнать: Определение арифметической прогрессии, разности арифметической прогрессии
Основная цель: выработать навык решения задач с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов
Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии iconОпределение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии
Никто не удивляется, когда серьёзные люди: бизнесмены, владельцы небольших предприятий, ваши родители приходят в банк, чтобы положить...
Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии iconТехнологическая карта
Изучить понятие геометричес-кой прогрессии; вывести формулы n-го члена и суммы n-первых членов геометричес-кой прогрессии
Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии iconФ ормула суммы
Цели урока: вывести формулу суммы первых членов арифметической прогрессии; рассмотреть задания с применением этой формулы; рассмотреть...
Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии iconПрогрессии. Требования к учащимся: знать понятия арифметической и геометрической прогрессии; знать свойства арифметической и геометрической прогрессии
Определение: Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и...
Урок Тема : формула суммы п -первых членов геометрической прогрессии icon«Арифметическая прогрессия», 9класс
Цели урока: Совершенствовать навыки нахождения n-го члена арифметической прогрессии, суммы n членов арифметической прогрессии с помощью...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org