Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка



Скачать 151.74 Kb.
Дата09.10.2012
Размер151.74 Kb.
ТипДокументы





Конференция – фестиваль творчества молодежи и школьников «Наука. Творчество. Развитие.»


Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка


Автор: Макарова Ирина,

ученица 10 А класса ср.шк.№12

Научный руководитель:

Кошкина Ю.Е.,

учитель информатики МОУ "Средняя общеобразовательная школа № 12" г.Новочебоксарска

г. Новочебоксарск, 2004


I . Введение.
Как часто на уроках математики нам приходится сталкиваться с ситуацией, когда, имея уравнение нестандартной функции, мы не можем построить её график только потому, что кроме прямоугольной декартовой системы координат не знакомы ни с какой другой. А ведь эта система является не единственной для построения графиков. В своей работе я рассмотрела ещё одну – полярную систему координат, которая в некоторых случаях является лучше декартовой.

Мою работу можно условно разделить на две части. В первой дано математическое описание некоторых кривых второго порядка с указанием их уравнения, способа построения и, иногда, свойств. Она группа кривых представлена в декартовой системе координат (эпи- и гипоциклоида), другая - в полярной (спирали, розы, улитки Паскаля).

Во второй части я показала, что компьютер можно использовать и для построения графиков функций. Специальные компьютерные программы позволяют увидеть, как будет выглядеть график той или иной функции на плоскости или в пространстве, исследовать некоторые его свойства, разглядеть график в различных проекциях и со всех сторон.

Цель: рассмотреть некоторые кривые второго порядка и показать, как можно использовать компьютер для их изучения.

Задачи:

  1. Дать понятие полярной системы координат.

  2. Рассмотреть некоторые кривые в этой системе.

  3. Рассмотреть некоторые кривые в прямоугольной декартовой системе координат.

  4. Применить компьютерную программу работы с графиками для наглядного представления кривых и изучения их свойств.



I. Кривые II порядка в полярной системе координат.
1. Полярная система координат.
Положение произвольной точки плоскости мы до сих пор определяли её декартовыми координатами x и y. Однако этот способ не является единственным: часто бывает удобнее определять положение точки М на плоскости другими величинами. Остановимся на том способе, когда положение точки М на плоскости (рис. 1) определяют расстоянием ρ=ОМ точки М от полюса О и углом φ между лучом ОМ и полярной осью ОР. Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М. Отрезок ρ называют полярным радиусом, а угол φ – полярным углом. Заметим, что всегда ρ≥0.

Очевидно, что заданием ρ и φ положение точки М определяются однозначно: угол φ определяет направление луча ОМ, а отрезок ρ – положение точки на этом луче.
Однако по точке М однозначно определяется лишь расстояние ρ, а угол φ определяется не однозначно: каждой точке М соответствует бесчисленное множество полярных углов, отличающихся друг от друга на 2πk, где k – целое число. Для устранения неоднозначности в качестве полярного угла обычно выбирают наименьший (по абсолютной величине) угол

φ, составляемый ОМ с полярной осью, т.е. выбирают φ в диапазоне от –π до +π (-π<φ≤π).

Исключение – случай, когда точка М совпадает с полюсом О и ρ=0, а полярный угол φ может быть взят каким угодно.

Установим связь между полярными (ρ и φ) и декартовыми (x и y) координатами точки М. Для этого совместим полюс с началом координат, а полярную ось – с осью абсцисс (рис. 2).

Из ∆OMN имеем

x=ρ cosφ; ρ=

y=ρ sinφ. tg φ=.

Формулы (1) и (2) позволяют осуществить переход от полярной системы координат к декартовой и наоборот.

До сих пор мы строили графики функций в декартовой системе координат. Соответствующие построения можно производить и в полярной системе: если переменные ρ и φ связаны функциональной зависимостью, то, изображая значение φ полярными углами и откладывая на определяемых ими лучах отрезки, равные соответствующим значениям ρ, получим геометрическое место точек с координатами ρ и φ, образующих линию, называемую полярной диаграммой или графиком заданной функции в полярной системе координат. Особенно удобно прибегнуть к полярной диаграмме, если переменная φ фактически является ( а не только изображается) углом.
2.Спирали.
Спираль (франц. spirale, от лат. spira", греч. "σπετρα"- виток) – плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от нее.

Среди спиралей выделяют алгебраические спирали и псевдоспирали. Алгебраические спирали – спирали, уравнение которых в полярных координатах являются алгебраическими относительно переменных ρ и φ. К алгебраическим спиралям относятся: гиперболическая спираль, архимедова спираль, Галилея спираль, Ферма спираль, параболическая спираль, жезл.

Псевдоспирали – спирали, натуральные уравнения которых могут быть записаны в виде r = asm, где r – радиус кривизны, s – длина дуги. При m = 1 псевдоспираль является логарифмической спиралью, при m = -1 – Корню спиралью, при m = ½ - эвольвентной окружностью.

Рассмотрим некоторые из них.


  1. Жезл.

Жезл – плоская трансцендентная кривая. Уравнение в полярных координатах: ρ ==.

Кривая состоит из двух ветвей (соответствующих положительным и отрицательным значениям ρ), каждая из которых имеет асимптоту – ось ОР, асимптотическую точку – полюс О, точки перегиба (±; ±).
2) Гиперболическая спираль.

Гиперболическая спираль определяется полярным уравнением


ρ=.

При φ→∞ ρ→0, т.е. полюс является асимптотической точкой гиперболической спирали. Из ∆OMN следует, что MN=ρ sin φ, но ρ=, и потому MN=. Можно доказать, что при φ→0 MN→а, т.е. прямая, параллельная полярной оси и отстающая от неё на расстоянии, равном а, является асимптотой гиперболической спирали, изображенной на рисунке.



3) Логарифмическая спираль.
Так называется кривая, задаваемая в полярной системе координат уравнением

ρ=аφ.
Если аргумент φ изменять по закону арифметической прогрессии: φ0, φ0+d, φ0+2d;…, то значения φ будут:

аφ0; аφ0+d = aφ0ad; aφ0+2d = aφ0(ad)2;…,

т.е. функция ρ будет возрастать в геометрической прогрессии со знаменателем q=аd, откуда и вытекает способ построения логарифмической спирали.

Отложим на полярной оси ОА=а0, а на прямой перпендикулярной к ней, ОB=а2. Если теперь построить прямую ломаную ABCDE…, то из подобия треугольников видно, что отрезки OA, OB, OC, … образуют геометрическую прогрессию со знаменателем а, т.е. полученные точки A,B, C, D, E, … лежат на логарифмической спирали. Когда φ возрастает от 0 до ∞, точка кривой делает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, неограниченно удаляясь от него (расстояния между витками уже не одинаковы!). Угол φ может принимать и отрицательные значения. Когда φ→ −∞, ρ→0 и кривая совершает бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, безгранично к нему приближаясь, но никогда его не достигая, т.е. полюс для логарифмической спирали является асимптотической точкой.

Логарифмические спирали широко используются в технике: по логарифмической спирали выполняются профили вращающихся ножей и фриз, зубчатых передач и прочее. По логарифмической спирали очерчены некоторые раковины, по дугам, близким к данной спирали, расположены семечки в подсолнухе, чешуйки в шишках и т.д.



4) Спираль Архимеда.

Рассмотрим полярную диаграмму, определяемую уравнением =а, где а - некоторая положительная постоянная (коэффициент пропорциональности). Для построения графика этой функции найдем несколько её точек, записывая расчеты в таблице.



0











2



0

a

a

a

a

а

a2



Отрезок а обозначим ОА; тогда


а=2OA, a=3OA, a=6OA, а=9OA, 2a=12OA.

Откладывая эти отрезки на соответствующих лучах, получим точки A,B,C,D,E,F, принадлежащие графику функции =а. Соединяя полученные точки плавной кривой, получим спираль Архимеда.

Свойства этой спирали впервые были изучены Архимедом. Одним из этих свойств является постоянство расстояний между витками. Аргумент  может расти безгранично, а поэтому кривая имеет бесконечное множество витков. Определим расстояние между двумя соседними витками MN по произвольному лучу.

OM=a;

ON=a(+2);

MN=ON-OM=a(+2)-a=2a.

Полученное выражение от  не зависит, так как MN=2a при любом .

Таким образом, в полярной системе координат Архимедова спираль имеет весьма простое уравнение: =а, и построение её графика никаких затруднений не вызывает.

Воспользуемся формулами перехода =, φ=arctg() и получим вместо ρ=aφ гораздо более сложное уравнение

= arctg()

Из уравнения видно, что построение графика этой функции в декартовой системе координат было бы крайне затруднительно.
3. Лемниската Бернулли.

Лемнискатой называется геометрическое место точек М, произведение расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек F1 и F2 есть величина постоянная.

Расположим фиксированные точки (фокусы лемнискаты) F1 и F2 на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Обозначим расстояние между ними F1 F2=2а. Тогда эти точки будут иметь координаты F1 (-а,0), F2 (а,0). Для произвольной точки лемнискаты М(x,y), по её определению должно выполняться: MF1 ∙ MF2=a2 . Используя формулу расстояния между двумя точками d=, получим:

= a2 .

После возведения правой и левой частей полученного уравнения в квадрат и упрощений получим:

(x2+y2)2-2a2(x2-y2)=0.










Исследовать кривую по этому уравнению в декартовой системе координат довольно сложно. Если же перейти к полярным координатам, то уравнение примет более простой вид:

2)2 = 2а2 2 cos2φ - ρ2 sin2φ) или ρ2 = 2а2 cos2φ.

Итак, полярное уравнение кривой имеет вид

ρ2 = b2 cos 2φ,

где 2а2=b2 . Так как максимальное значение cos 2φ равно единице, то максимальная величина ρ есть b.

Если cos 2φ отрицателен, то ρ – мнимая величина. Таким образом, между прямыми, образующими углы 45˚ и 135˚ с полярной осью, нет точек кривой.


Если вместо φ подставить (-φ), то уравнение не измениться. Отсюда следует, что кривая симметрична относительно полярной оси.

Если ρ=0, то cos 2φ=0 и φ=45˚ или 135˚, следовательно, кривая проходит через полюс при этих значениях угла.

Можно также найти область существования этой функции, т.е. множество тех значений аргумента φ , при которых функция имеет вещественное значение: ρ2≥0, а потому должно быть и cos 2φ≥0, откуда

-, где к – целое число, или -.

Проведя биссектрисы координатных углов, выделим те секторы, в которых кривая существует. Дальнейшее построение кривой выполняется по точкам. Название этой кривой – лемниската происходит от греческого слова повязка, бант.

Лемниската Бернулли используется в качестве переходной линии на закруглениях малого радиуса ( например, на трамвайных путях).
4. Розы.

Розы – плоские кривые, уравнения которых в полярных координатах имеют вид

ρ=αsinκφ,

где α и κ – постоянные. Если κ=m/n – число рациональное, то роза - алгебраическая кривая четного порядка. Порядок этой кривой равен m + n, если m и n – нечетные числа, и равен 2(m + n), если одно из чисел m и n – нечетное. Вся кривая расположена внутри круга радиуса α, состоит из конгруэнтных лепестков. Если κ – целое, то роза состоит из κ лепестков при κ нечетном и из 2κ лепестков при κ четном. Если κ = m/n и m, n – взаимно простые, то роза состоит из m лепестков, когда m и n нечетные, и из 2m лепестков, если одно из чисел m и n является четным.

При иррациональном κ лепестков бесконечно много, розы являются гипоциклоидами, если κ>1, и эпициклоидами, если κ<1.

5. Улитка Паскаля.

Улиткой Паскаля называется кривая, определяемая уравнением

ρ=2r cosφ+l

(в прямоугольных координатах: (x2 +y2-ax)2=l2(x2+y2)).

Для построения графика этой кривой обратим внимание на то, что при l=0 ρ=2r cosφ, а из рисунка очевидно, что ОМ=2r cosφ, а потому графиком этой кривой является окружность радиуса r ( полюс О находится в левом конце диаметра этой окружности, а полярная ось направлена по диаметру).


Теперь для построения точек, принадлежащих улитке Паскаля, надо в каждом положении полярного радиус-вектора ρ=2r cosφ достроить к нему отрезок l. На рис. 2 выполнены эти построения для трех случаев: l<2r, l=2r, l>2r.

В случае l=2r улитка Паскаля называется кардиоидой и имеет уравнение вида

ρ=2r cosφ + 2r = 2r (1+ cosφ).

III. Кривые II порядка в декартовых координатах.
Продолжая перечень примеров, рассмотрим ещё несколько кривых механического происхождения, полученные путем качения одних кривых по другим.
Эпи- и гипоциклоида.

Если один круг без скольжения катится извне по другому кругу, то кривая , описываемая произвольной точкой окружности подвижного круга, называется эпициклоидой. В случае же качения изнутри, мы имеем дело с гипоциклоидой. Остановимся на выводе уравнений первой из этих кривых.

Возьмем начало координат в центре О неподвижного круга, а ось x проведем через то положение А интересующей нас точки, в котором она является точкой касания обоих кругов. Когда подвижный круг перейдет в новое положение, указанное на чертеже, точка А перейдет в М. Геометрическое место точек М нам и надлежит определить.

Обозначим через а радиус неподвижного круга, а через mа – радиус катящегося круга. Выберем за параметр здесь угол t=
Прежде всего, посмотрим, в чем здесь проявляется отсутствие скольжения. Дуга ABпройденная точкой касания по неподвижной окружности, должна равняться дуге МВ, пройденной точкой касания по катящейся окружности:

a MCB = mat, откуда
Выразим теперь координаты x и y точки М через t. Имеем

x=OG=OE+FM=(a+ma) cos mt+ma sin
но

- mt,

так что

и sin
Окончательно

x = a[(1+m) cos mt – m cos (1+m)t]

Подобным же образом найдем

y = a[(1+m) sin mt – m sin (1+m)t].

Эти уравнения дают параметрическое представление эпициклоиды.

Когда катящейся круг снова придет в соприкосновение с неподвижным кругом в той же своей точке, что и в начале движения (т.е. при t=2π), точка М закончит одну ветвь кривой. При дальнейшем качении она будет описывать следующую ветвь, подобную первой, и т.д.

В случае же гипоциклоиды подобным же образом получаются такие параметрические уравнения:

x = a[(1-m) cos mt + m cos (1- m)t]

y = a[- (1- m) sin mt + m sin (1- m)t]

Здесь m также означает отношение радиуса катящегося круга к радиусу неподвижного. Легко заметить, что эти уравнения получаются их уравнений эпициклоиды заменой m на –m.

На рисунке изображены эпициклоиды, соответствующие m=1, 2, , и гипоциклоиды, соответствующие m= и . В последней можно узнать астроиду.

IV. Использование компьютера для наглядного представления кривых II порядка.

Программа для построения графиков является наукой, но простой в использовании. Она позволяет создавать анимированные 3D графики уравнений в табличных данных. В одной системе координат может быть неограниченное количество графиков, каждый из которых может отображаться при помощи точек, линий и поверхностей. Аналитические функции задаются в параметрическом виде и могут содержать до трех независимых переменных, включая переменную времени для анимации.

Систему координат с графиком можно вращать, перемещать и масштабировать в реальном времени. Программа позволяет отслеживать и вводить координаты курсора на плоскости или в трехмерной системе координат. Использование графической библиотеки OpenGL позволяет создавать высококачественные изображения графиков и дает возможность задействовать современные аппаратные ускорители, необходимые для достижения гладкой анимации в реальном времени.

Рассмотренные выше кривые второго порядка в компьютерной программе 3D Grapher имеют следующее изображение:


  1. Жезл.



φ= U, ρ=

φ= U, ρ=-



  1. Гиперболическая спираль.




φ=u;

ρ=


  1. Логарифмическая спираль.



φ=u;

ρ=0.8^u



  1. Спираль Архимеда.




φ=u;

ρ=0.05*u



  1. Улитки Паскаля.


5. Улитки Паскаля.




ρ=0.5*cos(u)+0.3

ρ=0.5*cos(u)+0.5

ρ=0.5*cos(u)+0.7


  1. Четырёхлепестковая роза. 7. Трёхлепестковая роза.




ρ=7*sin(2*u) ρ=7*sin(3*u)

7. Эпициклоида. 8.Гипоциклоида.



x=8 cos(u)-2 cos(4u) x=4 cos(u)+2 cos(2u);

y=8 sin(u)-2 sin(4u) y=4 sin(u)+2sin(2u)

Кривые построены при следующих значениях параметров: R=6, r=2, m=, t=3.

9. Лемниската Бернулли.



2=2а2 cos(2u)


V. Заключение.
В своей работе я достигла следующих результатов:

1. Показала, что кроме прямоугольной декартовой системы координат существуют и другие, например, полярная система координат, и сделала вывод, что иногда полярная система является более удобной для построения кривых.

2. Рассмотрела построения и свойства кривых II порядка, которые не встречаются в школьном курсе математики.

3. Построила с помощью компьютерной программы 3D Grapher графики этих кривых.

VI. Список литературы.


  1. Е г е р е в В. К. Методика построения графиков функций – М.: Высшая школа, 1970 – с. 137-145.




  1. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. – М.: Наука, 1969 – с.508-516.



  1. Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1988.

Похожие:

Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка iconИспользование линейных операторов для приведения кривой второго порядка к каноническому виду
Вопрос о кривых второго порядка встаёт, когда мы на плоскости рассматриваем некоторое геометрическое место точек, задаваемое уравнением...
Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка iconКривые второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка Определение
Определение Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему...
Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка iconКривые третьего и четвертого порядка
...
Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка iconКривые второго порядка Кривая второго порядка
Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка icon«кривые второго порядка»
Уравнения второго порядка от двух переменных Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + f = 0 описывают конические сечения или кривые второго...
Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка iconКубические возмущения алгебраических кривых второго порядка
Очевидно, что кубическая часть формы всегда приводится к каноническому виду с помощью специальной линейной замены переменных
Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка iconПоверхности второго порядка
...
Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка iconЛекции 1 лекция. Уравнения с частными производными первого порядка
Уравнения с частными производными второго порядка. Постановка некоторых задач математической физики. Граничные условия. Понятие корректности...
Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка iconКурсовая работа по линейной алгебре и аналитической геометрии студентки I курса 1033 группы Ярмак Елены Владимировны
Целью курсовой работы является закрепление и углубление полученных студентом знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств...
Использование компьютера для наглядного представления кривых второго порядка iconЛитература для самообразования уэ самоконтроль и коррекция усвоения темы «Поверхности второго порядка, заданные общим уравнением»
«Поверхности второго порядка, заданные общим уравнением» на практических занятиях
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org