§ понятие линейного пространства



Скачать 40.35 Kb.
Дата27.11.2012
Размер40.35 Kb.
ТипДокументы

§ 7. понятие линейного пространства


(продолжение)

4. Координаты вектора


ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе.

НАПРИМЕР.

1) Матрица имеет в стандартном базисе , , , пространства координаты . Действительно,

,

.

2) -мерный вектор имеет в стандартном базисе пространства ℝ координаты

3) Многочлен имеет в базисе , , , пространства ℝ координаты

В линейном пространстве свободных векторов координаты вектора в декартовом прямоугольном базисе имеют простой геометрический смысл. Чтобы указать его, необходимо дать несколько определений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.

Пусть имеется некоторая ось и вектор gif" name="object25" align=absmiddle width=32 height=18>. Обозначим через и ортогональные проекции на ось точек и соответственно. Вектор назовем векторной проекцией вектора на ось .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией (ортогональной проекцией) вектора на ось называется длина его векторной проекции на эту ось, взятая со знаком плюс, если вектор и ось сонаправлены, и со знаком минус – если вектор и ось противоположно направлены.

Проекцию вектора на ось обозначают: , .

Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 7. Координаты вектора в декартовом прямоугольном базисе , (, , ) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Проведем доказательство для вектора . Для вектора пространства оно будет аналогичным.

Построим вектор (вектор, с началом в точке и концом в точке , называется радиус-вектором точки ). Обозначим через и ортогональные проекции точки на ось и соответственно. Тогда

.

Так как – вектор единичной длины, то . Знак зависит от направления вектора : если , то , если , то (см. определение произведения вектора на число). Но согласно определению проекции вектора на ось, это означает, что – проекция вектора на ось, сонаправленную с вектором , т.е. на ось . Аналогично показывается, что .

Координаты вектора – очень важная характеристика вектора любого линейного пространства. Знание координат векторов позволяет легко выполнять с ними линейные операции, так как справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8. 1) Если вектор имеет в базисе , , , координаты , а вектор имеет в том же базисе координаты , то вектор будет иметь в базисе , , , координаты .

2) Если вектор имеет в базисе , , , координаты , то для любого числа вектор будет иметь в том же базисе координаты .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По условию , .

Тогда





и .

Из теоремы 8 вытекает справедливость следующего утверждения.

ТЕОРЕМА 9 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме). Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты –пропорциональны, т.е.

.

Причем, если коэффициент пропорциональности , то векторы и – сонаправлены, а если – то противоположно направлены
Координаты вектора определены в данном базисе единственным образом. Но в другом базисе вектор будет иметь другие координаты. Связь между координатами вектора в разных базисах дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 9. Пусть , , , и , , , два базиса линейного пространства . Причем имеют место равенства:



Если вектор имеет в базисе , , , координаты , а в базисе , , , – координаты , то справедливо равенство ,

где , , (матрицу называют матрицей перехода от базиса ,,, к базису ,,, ).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По условию .

Расписывая векторы ,,, по базису ,,,, получим:



.

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

(1)

Так как по условию , то из (1) получаем:



или в матричном виде .





Похожие:

§ понятие линейного пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
§ понятие линейного пространства iconЛекция 23 Евклидовые
Два набора и равны, если для всех. Пространство обладает структурой линейного пространства : определены операции и и они удовлетворяют...
§ понятие линейного пространства iconЭлементы линейной алгебры Понятие линейного пространства
Отчасти мы уже это и делали, рассматривая понятия базиса на множествах геометрических или арифметических векторов
§ понятие линейного пространства icon§ понятие линейного пространства
...
§ понятие линейного пространства icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
§ понятие линейного пространства iconN-мерные векторы. Линейные операции над n-мерными векторами. Понятие линейного векторного пространства
Определение Упорядоченный набор чисел, записанный в виде, называется n мерным вектором, где его координаты или компоненты
§ понятие линейного пространства iconЛинейные пространства
Определение линейного пространства. Непустое множество любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие...
§ понятие линейного пространства iconЗадача для линейного уравнения в частных производных четвертого порядка
Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. Отображение аффинного пространства в многообразие гиперконусов другого пространства
§ понятие линейного пространства iconВопросы к экзамену алгебра линейные пространства
Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по...
§ понятие линейного пространства iconDef Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства
Упорядоченная совокупность n линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства, если для любого существуют...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org