Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»



Скачать 314.22 Kb.
страница1/5
Дата28.11.2012
Размер314.22 Kb.
ТипИсследование
  1   2   3   4   5

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




Исследование функций и построение графиков




Индивидуальные задания



Пособие разработано ст. преп. Роговой Н. В.


Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»

© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ





Пермь 2007

План исследования функции


  1. Найти область определения функции.


Определение. Областью определения функции называется совокупность всех значений независимой переменной , для которых функция определена.


  1. Определить является функция четной, нечетной или общего вида.


Определение. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняется условие и , называется нечетной, если выполняется условие и .

График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной – относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то исследование можно провести только для gif" name="object14" align=absmiddle width=40 height=18>и при построении графика воспользоваться его симметричностью.



  1. Определить является ли функция периодической.


Определение. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что для и . При этом число называется периодом функции.

Наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству , является основным периодом функции.

Если функция периодическая, то исследование проводится на любом интервале, длина которого совпадает с основным периодом функции.


  1. Определить координаты точек пересечения графика с осями координат, определить интервалы знакопостоянства функции.

  2. Найти наклонные (в т.ч. горизонтальные) асимптоты и вертикальные асимптоты графика функции.


Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если или , где - точка разрыва или граничная точка области определения функций.
Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , если существует предел .
Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют пределы и .
При нахождении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.


  1. Найти точки экстремума и интервалы возрастания (убывания) функции.


Определение. Функция называется возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной .
Достаточные условия возрастания (убывания) функции. Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на .
Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , ().
Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения функции и в которых первая производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Достаточные условия экстремума
I Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой  - окрестности точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума, с минуса на плюс, то - точка минимума.
II Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная существует и отлична от нуля , то в точке функция имеет экстремум. Если - максимум, если - минимум.



  1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции.


Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен выше (ниже) любой ее касательной на этом интервале.
Теорема. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную , то график функции в этом интервале выпуклый. Если же - график вогнутый.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, является точкой перегиба.
Достаточное условие существования точек перегиба. Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Результаты проведенного исследования функции рекомендуется свести в таблицу, в первой строке которой указываются все значения , выделенные в результате исследования, как самой функции , так и ее производных и , а также интервалы, на которые данными точками разбивается область определения. Во второй строке указываются значения функции на каждом из выделенных интервалов. В третьей строке выделяются критические точки функции и указывается знак первой производной на каждом интервале. В четвертой строке – знак второй производной на каждом интервале. В последней строке по знакам определяется характер монотонности функции, по знакам выпуклость (вогнутость) графика функции, а также определяется характер выделенных точек (точки максимума, точки минимума, точки перегиба).

Построение графика функции рекомендуется начать с обозначения на координатной плоскости точек, выделенных в таблице и построения асимптот (если они есть). Для более точного построения можно вычислить значения функции в дополнительных точках.


Приведем примеры полного исследования функции:
Пример 1:

  1. Область определения:


2.

функция нечетная.

  1. Функция не является периодической.






-нули функции.








  1. Функция непрерывна на всей области определения, поэтому вертикальных асимптот нет.





Прямая является наклонной асимптотой графика функции.


  1. Найдем первую производную:


при ,

не существуют при , ,





Используя достаточные условия экстремума, получаем, что - точка минимума, -точка максимума.


  1. Найдем вторую производную:





не существует при





В точках , , - перегиб графика.
Составим таблицу:










-1

(-1;0)



-

0

+



+



+




+




-



+




-




-






перегиб



max




Продолжение таблицы



0

(0;1)

1









0

-

-

-

0

+






-




+




+






+




+




-









min



перегиб




Строим график функции (рис.1).



Рис.1

Пример 2:

  1. Область определения:





2.

функция четная. Дальнейшее исследование проведем для .

3. Функция не является периодической.
4. при

5. Поскольку и - точки разрыва

и ,

, ,

то и - вертикальные асимптоты.



- горизонтальная асимптота.
6. Найдем первую производную:



при

не существует при .



- точка максимума.
7. Найдем вторую производную:



при

не существует при



Т.к. при функция не определена, то точек перегиба нет.
Составим таблицу:




0

(0;2)

2





0

-

Не существует

+






-




-






-




+




max



Вертикальная асимптота




Строим график функции для , затем на интервале строим линию, симметричную относительно оси (рис.2).



Рис.2

Пример 3:

  1. Область определения:

Функция определена для всех , для которых ,

т.е. .


  1. Функция не является ни четной, ни нечетной.




  1. при

- основной период, основной промежуток .
4. при .

Промежутку принадлежат точки .



5. В промежутке одна точка разрыва , в остальных точках функция непрерывна.

, .

Прямая - вертикальная асимптота.

Наклонных и горизонтальных асимптот нет.
6. Найдем первую производную:



при ,

не существует при .



Cледовательно, точек экстремума нет.
7. Найдем вторую производную:



, если ,

т.е.

Из этого множества промежутку принадлежит точка .

не существует при .
Составим таблицу:




0















0

+



+



-

0






+




+




+









-




+




-












перегиб



вертикальная асимптота





  1   2   3   4   5

Похожие:

Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» icon«Построение, преобразование графиков функций. Свойства функции» Автор: Гребнева Т. Н. учитель математики и информатики
Индивидуальные задания для зачетов и для подготовки к егэ по математике по теме «Построение, преобразование графиков функций. Свойства...
Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» iconИсследование функций и построение графиков §10. Исследование функций и построение графиков Возрастание и убывание функции определение. Функция называется возрастающей неубывающей
Определение. Функция называется возрастающей (неубывающей) на интервале если для любых таких, что значения функции и удовлетворяют...
Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» iconМетодическое пособие с. Первомайское 2006 содержание: Графики элементарных функций школьного курса
Построение графиков сложных с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» iconТезисы к исследовательской работе на тему: Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат
Целью этой работы является разработка методов исследования функций и построения их графиков в полярной системе координат
Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» iconИсследование функций и построение их графиков. Теоретические вопросы
Исследование с помощью первой производной: интервалы монотонности, точки экстремума
Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» iconРешение иррациональных уравнений
Преобразование графиков функций, содержащих знак радикала. Построение графиков функций
Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» iconПостроение графиков функций
Обобщить и систематизировать методы построения графиков функций, содержащих модуль
Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» icon«Исследование функции с помощью производной»
Урок по теме: «Исследование функций и построение графиков с помощью производной»
Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» iconУчебно-методический комплекс по дисциплине Страноведение и лингвострановедение (СД(М). Ф. 3) Направление 050300
Умк обсуждено и одобрено методической комиссией факультета педагогического образования
Исследование функций и построение графиков Индивидуальные задания Пособие разработано ст преп. Роговой Н. В. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» iconПостроение графиков функций и диаграмм
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org