Летняя математическая школа



Скачать 352.06 Kb.
страница3/8
Дата28.11.2012
Размер352.06 Kb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7   8

Мини-геометрия плоскости

Определение и свойства


  • Рассмотрим конечные множество точек.
    Некоторые подмножества назовем прямыми.

  • Множество точек с описанными прямыми назовем мини-плоскостью1.

  • Какие-то пары прямых называют параллельными прямыми.

  • Пусть выполняются следующие аксиомы:
    (А1) Через любые две точки проходит единственная прямая.
    (А2) Через всякую точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельна данной прямой.
    (А3) Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

  1. (а) Существует ли мини-плоскость из трёх точек?
    (б) Найдите мини-плоскость из четырех точек.

Ответ: для точек A, B, C, D прямыми являются AB, BC, CD, DA, AC, BD.

  1. Простейшие свойства, следующие из аксиом:
    (A4) Если параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают.
    (А5) Существуют три прямые, попарно пересекающиеся в трёх разных точках.
    (A6) Если прямая a параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой c, то прямые a и c параллельны.
    (A7) На каждой прямой лежит не менее двух различных точек.
    (A8) В любой точке пересекаются не менее трех прямых.

  2. (А9) Любые две прямые мини-плоскости содержат одинаковое число точек.

  • Порядком2 мини-плоскости называется число точек на любой прямой этой мини-плоскости.

  1. (А9*) Через любую точку мини-плоскости проходит одинаковое число прямых: для плоскости порядка n это число равно n + 1.

  2. Если порядок плоскости равен n, то любая прямая принадлежит семейству (пучку), состоящему из n различных попарно параллельных прямых.

  3. Любая мини-плоскость порядка n содержит n2 точек и n2 + n прямых.

  4. Из 16 космонавтов нужно выбрать четверых — экипаж космического корабля. Тренировки проводятся с четырьмя экипажами по 4 человека в каждом. Можно ли составить расписание тренировок таким образом, чтобы любые два космо­навта побывали в одном экипаже ровно один раз?

Головоломка Эйлера и актуальные результаты


  • Головоломка Леонарда Эйлера1 о 36 офицерах.
    Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров. Кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков. Полк каждого из войск представлен офицерами всех рангов.
    Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6  6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех полков и всех рангов?

  1. Докажите, что если существует мини-плоскость порядка 6, то головоломка Эйлера имеет решение.

Решение. Рассмотрим мини-плоскость порядка 6 (если она существует).
Выберем 4 пучка прямых.
Пучок 1: точки одной прямой — офицеры одного рода войск.
Пучок 2: точки одной прямой — офицеры одного звания.
Пучок 3: точки одной прямой — офицеры одной шеренги.
Пучок 4: точки одной прямой — офицеры одной колонны.

Обратное, собственно, в общем случае не верно. Например, при n = 14 плоскости порядка 14 не существует, а задача Эйлера имеет решение.

  • Какие существуют мини-плоскости?
    К 1976 году все общие ответы на этот вопрос ограничивались следующими двумя теоремами:
    Т1 (О. Веблен, 1906). Если число n простое или степень простого, то плоскость порядка n существует.
    Т2 (Теорема Брука-Райзера, 1949 год). Если n  1 или n  2 (mod 4) и в разложении n на простые множители встречается простое p = 4k + 3 в нечетной степени, то мини-плоскости порядка n не существует.

  1. Докажите, опираясь на сформулированные теоремы, что мини-плоскости порядка 6 не существует. Найдите первые 10 натуральных чисел, подходящие в качестве значения n в теореме 2.

  • К 1976 году неизвестно, существует ли мини-плоскость порядка 10. Несуществование конечной плоскости порядка 10 было доказано с помощью компьютера в 1989 году.
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Летняя математическая школа iconЛетней Школы Коммуникации 2010 Летняя школа коммуникации это программа
Летняя школа коммуникации это программа для участников олимпиад (настоящих и будущих) по родному языку. Программа направлена на углубление...
Летняя математическая школа iconЛетняя языковая школа
Это уникальное место, чтобы познакомиться с лучшими традициями Британского образования, испытать, что такое английская частная школа,...
Летняя математическая школа iconЛетняя школа «туризм и морские курорты»

Летняя математическая школа iconЛетняя школа по немецкому и европейскому праву в Мюнхене Окончательный срок подачи заявок

Летняя математическая школа iconГод 1869 Свою историю Марьевская школа ведёт с 1869 года. В селе открывается двухгодичная церковно-приходская школа, в которой начинают обучение почти 300 учащихся. Год 1917
После революции 1917 года церковно-приходская школа была преобразована в начальную четырёхклассную, которую вскоре сменили, следуя...
Летняя математическая школа iconПетербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте (К 300-летию школы математических и навигацких наук)
Петербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте
Летняя математическая школа iconСеминар «Бармицва»
Летняя философская школа «Технопарк как модель интеграции технологии, науки и образования»
Летняя математическая школа iconДвадцать четвертая Летняя Многопредметная школа Кировской области
Формирование листовой пластинки в онтогенезе. Анатомическое строение листа мезофита
Летняя математическая школа iconКонкурс на участие в Летней школе Естественные науки Летняя школа «Физика элементарных частиц в преддверии Большого адронного коллайдера»

Летняя математическая школа iconВторое сообщение XI -я гамовская летняя астрономическая школа-конференция
«астрономия на стыке наук астрофизика, космология и гравитация, радиоастрономия, космомикрофизика, астробиология»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org