Летняя математическая школа



Скачать 352.06 Kb.
страница4/8
Дата28.11.2012
Размер352.06 Kb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7   8

Построение мини-плоскостей порядка p


  • Построение мини-плоскости порядка p (число p — простое).
    Пусть множество пар остатков при делении на p — точки мини-плоскости:
    {(xy): 0  x  p – 1, 0  y  p – 1}.
    Рассмотрим прямые — множества
    l (abc) = {(xy): ax + by + c  0 (mod p)}.

  1. Приведите пример мини-плоскости порядка 3.
    Пронумеруйте точки парами остатков при делении на 3.
    Укажите коэффициенты a, b, c для некоторых из прямых.

  2. Докажите, что если d не кратно p, то l (abc) = l (dadbdc).

  3. Докажите, что l (abc) = l (a*, b*, c*),
    где a*, b*, c* — остатки при делении на p.

  4. Приведите три различные тройки (abc) и (a*, b*, c*) остатков при делении на 3, для которых выполнено l (abc) = l (a*, b*, c*).

  5. Докажите, что если a не кратно p, то для любой тройки (abc) найдутся b*, c*, что l (abc) = l (1, b*, c*).

  6. Основная теорема. Любая прямая l (abc) совпадает либо с прямой l (1, b*, c*), либо с прямой l (0, 1, c*), где a*, b*, c* — остатки при делении на p.

  7. Докажите, что среди описанных прямых ровно p2 + p различных.

  8. Докажите, что для описанных прямых выполнены аксиомы:
    (а) Через любые две точки проходит единственная прямая.
    (б) Через всякую точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельна данной прямой.

Латинские и магические квадраты


  • Латинский1 квадрат — таблица n  n, заполненная числами от 1 до n так, что в любой строке, в любом столбце и в любой (в том числе, разбитой) диагонали встречаются все числа от 1 до n.

Такие латинские квадраты называют пандиагональными. Порой латинскими квадратами называют расстановки, в которых равны суммы только в строках и столбцах. Если им равны суммы в двух больших диагоналях, то квадраты зовут диагональными. Такие же названия распространяются на магические квадраты.

  1. Найдите латинские квадраты 3  3 и 4  4.


  • Магический2 квадрат — таблица n  n, заполненная числами от 1 до n2 так, суммы чисел во всех ее строках, столбцах и в двух диагоналях одинаковы.

  1. Найдите магический квадрат 3  3 и докажите его единственность.

  • Даны два латинских квадрата aij и bij размера n  n.
    Составим таблицу (aijbij), заполненную парами чисел.
    Такая таблица называется греко-латинским3 квадратом, если все пары различны. В этом случае латинские квадраты называют ортогональными.

  1. Построение магического квадрата 4  4.
    (а) Найдите два ортогональных латинских квадрата 4  4.
    (б) Постройте греко-латинский квадрат 4  4.
    (в) Замените в каждой ячейке греко-латинского квадрата пару (aijbij) числом aij + 4bij. Докажите, что результат — магический квадрат 4  4.
    (г) Найдите четверки чисел магического квадрата 4  4, суммы в которых равны сумме чисел в строках и столбцах.

  2. Докажите, что, имея пару ортогональных латинских квадратов n  n, можно построить магический квадрат n  n.


  • 00

    11

    22

    33

    44

    55

    66

    77

    88

    99

    12

    05

    50

    86

    39

    24

    73

    98

    61

    47

    23

    58

    06

    60

    97

    41

    35

    84

    19

    72

    34

    83

    69

    07

    70

    18

    52

    46

    95

    21

    45

    32

    94

    71

    08

    80

    29

    63

    57

    16

    56

    27

    43

    15

    82

    09

    90

    31

    74

    68

    67

    79

    38

    54

    26

    93

    01

    10

    42

    85

    78

    96

    81

    49

    65

    37

    14

    02

    20

    53

    89

    64

    17

    92

    51

    76

    48

    25

    03

    30

    91

    40

    75

    28

    13

    62

    87

    59

    36

    04
    Леонард Эйлер высказал гипотезу, что не существует обычного квадрата порядка N, если N — чётное число, не деля­щееся на 4 (то есть 6, 10, 14 и так да­лее). В 1901 гипотеза была подтверж­де­на для N = 6 математиком Гасто­ном Терри. Это было сделано перебо­ром всех возможных вариан­тов квад­ра­та. В 1959 году гипотеза была оп­ро­вергнута Э. Т. Паркером, Р. К. Боусом и С. С. Шрикхер­дом, обнаружив­шими квадрат порядка 10 (не диагональный, см. рисунок справа). После были обнаружены квад­раты 14, 18 и т. д. порядков. Пары диагональ­ных ОЛК 10-го порядка были найдены только в 1992 г. При этом не найдено (к 2009 году) трех попарно ортогональных латинских квадратов порядка 10.

  1. Построение латинского квадрата p  p.
    Пусть p — простое число, d — остаток при делении на p, не равный 0, 1, p – 1.
    Занумеруем столбцы и строки таблицы числами 0, 1, 2, …, p – 1.
    В каждую ячейку столбца x и строки y запишем остаток, который дает сумма x + dy при делении на p. Получим таблицу L(d).
    (а) Докажите, что в каждом столбце и каждой строке все числа различны.
    (б) Докажите, что координаты ячеек одной диагонали (полной или разбитой) удовлетворяют условию x + y  с (mod p) или x – y  с (mod p).
    (в) Докажите, что в каждой диагонали (полной или разбитой) все числа различны.

  2. Построение пары ортогональных квадратов p  p.
    Пусть d1 и d2 — различные остатки при делении на p, не равные 0, 1, p – 1. Докажите, что латинские квадраты L(d1) и L(d2) ортогональны.

  3. Используя результаты предыдущих задач, постройте магические квадраты 5  5 и 7  7.
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Летняя математическая школа iconЛетней Школы Коммуникации 2010 Летняя школа коммуникации это программа
Летняя школа коммуникации это программа для участников олимпиад (настоящих и будущих) по родному языку. Программа направлена на углубление...
Летняя математическая школа iconЛетняя языковая школа
Это уникальное место, чтобы познакомиться с лучшими традициями Британского образования, испытать, что такое английская частная школа,...
Летняя математическая школа iconЛетняя школа «туризм и морские курорты»

Летняя математическая школа iconЛетняя школа по немецкому и европейскому праву в Мюнхене Окончательный срок подачи заявок

Летняя математическая школа iconГод 1869 Свою историю Марьевская школа ведёт с 1869 года. В селе открывается двухгодичная церковно-приходская школа, в которой начинают обучение почти 300 учащихся. Год 1917
После революции 1917 года церковно-приходская школа была преобразована в начальную четырёхклассную, которую вскоре сменили, следуя...
Летняя математическая школа iconПетербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте (К 300-летию школы математических и навигацких наук)
Петербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте
Летняя математическая школа iconСеминар «Бармицва»
Летняя философская школа «Технопарк как модель интеграции технологии, науки и образования»
Летняя математическая школа iconДвадцать четвертая Летняя Многопредметная школа Кировской области
Формирование листовой пластинки в онтогенезе. Анатомическое строение листа мезофита
Летняя математическая школа iconКонкурс на участие в Летней школе Естественные науки Летняя школа «Физика элементарных частиц в преддверии Большого адронного коллайдера»

Летняя математическая школа iconВторое сообщение XI -я гамовская летняя астрономическая школа-конференция
«астрономия на стыке наук астрофизика, космология и гравитация, радиоастрономия, космомикрофизика, астробиология»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org