Летняя математическая школа



Скачать 352.06 Kb.
страница6/8
Дата28.11.2012
Размер352.06 Kb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7   8

Пентагональная теорема Эйлера


  • Судя по переписке, около 1740 г. Эйлер обнаружил, что при разложении бесконечного произведения (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)… в степенной ряд получается выражение:
    1 − x − x2 + x5 + x7 − x12 − x15 + x22 + x26 − x35 − x40 + x51 + …,
    в котором присутствуют не все степени x и в котором ненулевые коэффициенты равны 1. Эйлер заметил, что все показатели степеней с ненулевыми коэффициентами имеют вид n(3n  1)/2.

  1. Рассмотрим многочлены Pk(x) = (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)…(1 – xk).
    Докажите, что коэффициенты при xm, где m = 0, …, k совпадают с коэффициентами при этих степенях в любом многочлене Pn(x), где n > k.

Следствие: можно однозначно определить любой коэффициент многочлена
(1 – x)(1 – x2)(1 – x3)….

  1. Докажите, что в разложении многочлена P(x) = (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)… (до приведения подобных членов) количество одночленов n-ой степени равно числу разбиений числа n на различные натуральные слагаемые.

  • Разбиение натурального числа N есть представление в N в виде суммы натуральных слагаемых. Представления, различающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

  1. (а) Пусть m школьников решали задачи: первый решил a1 задач, второй — a2 задач, …, m-ый школьник решил am задач. Посчитали b1 — число школьников, решивших по крайней мере одну задачу, b2 — число школьников, решивших по не менее двух задач, и так далее. Докажите, что a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + ….
    (б) Пусть N = a1 + a2 + … + am. Определим bk — количество слагаемых, не меньших чем k. Доказать, что N = b1 + b2 + ….

  2. (а) (Эйлер) Пусть Q0 и Q1 — количество разбиений натурального числа n на различные слагаемые соответственно с четным и нечетным числом частей.
    Тогда .


(б) (Файн) Пусть D0 и D1 — количество разбиений натурального числа n на различные слагаемые соответственно с четной и нечетной наибольшей частью.
Тогда .

Указание (инволюция Франклина).
Для каждого разбиения можно определить A — длину «одноступенчатой лестницы» (заштриховано на рисунке) и B — высоту наименьшего элемента (закрашено на рисунке).
Если A  B, то наименьшим слагаемым «надстроим» лестницу сверху. Если A < B, то снимем верхний слой лестницы и создадим новую наименьшую часть разбиения.
Осталось исследовать, при каких n эта операция не устанавливает взаимнооднозначное соответствие?

Решение задач

Макси-геометрия


  1. В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.

Источник: ММО, 1994, 8 класс, № 3.

  1. Докажите, что высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника с углом 15, равна четверти гипотенузы.

  2. Найдите угол B треугольника ABC, если высота CH равна половине стороны AB, а угол A равен 75.

  3. Докажите, что длины a и b катетов прямоугольного треугольника с углом 15 удовлетворяют равенству a/b + b/a = 4.

  4. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причем AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если (а) AM = CN, (б) BM = BN?

Источник: РМО, округ, 1992-1993, 9 класс, задача № 3.

  1. На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка D. Медиана AM пересекает высоту CH и отрезок BD в точках N и K соответственно. Докажите, что если AK = BK, то AN = 2KM.

Источник: РМО, округ, 1992-1993, 10 класс, задача № 1.

  1. * Угол B равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) равен 80. Точка D внутри треугольника такова, что DAC = 30, DCA = 10. Найдите величину угла BDC.

  2. Сторона AB трапеции ABCD видна из середины боковой стороны CD под прямым углом. Докажите, что AB = BC + AD.

  3. (а) Как построить на стороне AB точку F такую, что SBCE = SBFE, SADE = SAFE?
    (б) На боковой стороне CD трапеции ABCD отметили середину E. Через точку D провели прямую, параллельную BE, через точку C провели прямую, параллельную AE. Докажите, что эти прямые пересекаются на стороне AB.

  4. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) угол A равен 20. Точка Q лежит на стороне AC таким образом, что ABQ равен 20. Точка P расположена на стороне AB, при этом ACP равен 10.
    Найдите величины следующих углов: (а) PQB; (б) CPQ; (в) APQ.

  5. В треугольнике ABC угол A равен 15, угол B равен 60. На сторонах AC и AB взяты соответственно точки M и N такие, что AM = BM и MN = NC. Найдите угол MNC.

Источник: Квант-2002, Д. Калинин.

  1. Внутри квадрата ABCD расположен квадрат KLMN так, что треугольники AKN, BLK, CML, DNM — равносторонние. Докажите, что площадь квадрата KLMN равна сумме площадей треугольников ABK, BCL, CDM, DAN.

  2. Докажите, что любой квадрат можно разбить на прямоугольные треугольники, в каждом из которых есть угол 15.
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Летняя математическая школа iconЛетней Школы Коммуникации 2010 Летняя школа коммуникации это программа
Летняя школа коммуникации это программа для участников олимпиад (настоящих и будущих) по родному языку. Программа направлена на углубление...
Летняя математическая школа iconЛетняя языковая школа
Это уникальное место, чтобы познакомиться с лучшими традициями Британского образования, испытать, что такое английская частная школа,...
Летняя математическая школа iconЛетняя школа «туризм и морские курорты»

Летняя математическая школа iconЛетняя школа по немецкому и европейскому праву в Мюнхене Окончательный срок подачи заявок

Летняя математическая школа iconГод 1869 Свою историю Марьевская школа ведёт с 1869 года. В селе открывается двухгодичная церковно-приходская школа, в которой начинают обучение почти 300 учащихся. Год 1917
После революции 1917 года церковно-приходская школа была преобразована в начальную четырёхклассную, которую вскоре сменили, следуя...
Летняя математическая школа iconПетербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте (К 300-летию школы математических и навигацких наук)
Петербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте
Летняя математическая школа iconСеминар «Бармицва»
Летняя философская школа «Технопарк как модель интеграции технологии, науки и образования»
Летняя математическая школа iconДвадцать четвертая Летняя Многопредметная школа Кировской области
Формирование листовой пластинки в онтогенезе. Анатомическое строение листа мезофита
Летняя математическая школа iconКонкурс на участие в Летней школе Естественные науки Летняя школа «Физика элементарных частиц в преддверии Большого адронного коллайдера»

Летняя математическая школа iconВторое сообщение XI -я гамовская летняя астрономическая школа-конференция
«астрономия на стыке наук астрофизика, космология и гравитация, радиоастрономия, космомикрофизика, астробиология»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org