Летняя математическая школа



Скачать 352.06 Kb.
страница7/8
Дата28.11.2012
Размер352.06 Kb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7   8

Алгебра


  1. Найти x и y, чтобы выполнялось x3 + y3 = x2 + y2 = xy + 1.

Ответ: x = y = 1.
Указание. Полезно сделать замену a = x + y, b = xy.

  1. Разложите на множители выражение
    (а) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3;
    (б) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3;
    (в) (a2 + b2)3 + (c2 – a2)3 – (b2 + c2)3;
    (г) 8a3(b + c) – b3(c + 2a) – c3(2a – b).

(а) Ответ: 3(a – b)(b – c)(c – a).
Указание: можно применить хитрое кубическое тождество.
(б) Ответ: 3(a + b)(b + c)(c + a).
Указание: угадать множители или применить формулу разности кубов.
(г) Указание. Один из множителей (2a + c).

  1. Пусть . Найдите .

  2. Действительные числа a, b, c, d таковы, что a + b + c + d = 0, ab = cd.
    Какие значения может принимать сумма a3 + b3 + c3 + d3?

Решение. Сумма кубов раскладывается на множители, откуда получаем ответ:
a3 + b3 + c3 + d3 = 3(a + b)(cd – ab) = 0.
Источник: фольклор.

  1. Упростите выражение:
    .

Ответ: a + b + c.
Источник: фольклор.

  1. Существуют ли натуральные числа a, b, c, удовлетворяющие равенству:
    (а) a10 + b10 = c11,
    (б) a3 + b13 = c10,
    (в) a10 + b10 = c11, где a — нечетное число,
    (г) a15 + b17 = c20?

(а) Пример: a = b = c = 2.
(б) Пример: a = 213, b = 23, c = 24.
Указание. Числа x = y = z = 2 удовлетворяют равенству a39 + b39 = c40.
(в) Пример: a = с = 1 + 210 = 1025, b = 2050.
Указание. Подберем b = ka. Тогда a10 + b10 = (1 + k10)  a10.

Значит, можно взять a = (1 + k10). В указанном примере k = 2.

  1. В трех клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты. Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму; также можно выбрать числа a, b, c из трех разных непустых клеток и записать в пустую клетку число ab + c2. Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно записать в одну из клеток квадрат суммы трех исходных чисел (какими бы они ни были).

Решение. Пусть исходные числа — x, y, z. Получим сначала числа x+y, y+z, z + x. Затем из клеток x, y + z, y получим x(y + z) + y2; аналогично, получим числа y(z + x) + z2 и z(x + y) + x2. Сложив их, получаем требуемое: x(y + z)+y2 + y(z + x) + z2 + z(x + y) + x2 = x2 +y2 +z2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)2.
Источник: олимпиада Эйлера, 8 класс, автор — И. Богданов.

Инварианты


  1. Черный ящик работает так: любые три числа a, b и c, попадающие в него, он перерабатывает в числа a + b – c, b + c – a, c + a – b. Можно ли с помощью этого ящика из чисел 1, 3, 8 получить числа –1, 3, 9?

  2. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 20. Разрешается стереть любые два числа a, b и вместо них записать число (а) a + b, (б) ab, (в) a + b – 1, (г) ab + a + b. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

  3. На доске написаны числа 1, 2, …, 1999. Разрешается стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске были нулями?

  4. На столе стоят 50 стаканов, из них 25 — вверх дном. Можно ли, переворачивая по два стакана, поставить все стаканы правильно?

  5. Круг разделен на 6 секторов, и в каждом написано число. Разрешается одновре­менно увеличивать на 1 числа в любых двух соседних секторах. Можно ли сде­лать все 6 чисел равными, если в начале они такие (именно в таком порядке): (а) 1, 0, 0, 0, 0, 0; (б) 1, 0, 1, 0, 0, 0?

  6. В
    кружочках расставлены числа как показано на верхнем рисунке. За ход разрешается к любым двум кружочкам, соединенными отрезком, прибавить одно и то же целое число.
    (а) Можно ли с помощью таких операций сделать все числа равными?
    (б) Можно ли с помощью таких операций сделать расстановку, показанную на нижнем рисунке?

  7. Круг разделен на 6 секторов, в каждом из которых стоит фишка. За один ход разрешается сдвинуть любые две фишки в соседние с ними секторы. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

  8. Имеются три автомата. Если одному из них на вход дать карточку, где написаны числа (m, n), то он выдаст карточку с числами (n, m). Если другому — выдаст (n + m, n). Если дать третьему — выдаст (m – n, n). Можно ли таким образом из карточки (12, 21) получить карточку (19, 86)?

  9. У многочлена ax2 + bx + c можно заменить x на (x – k) или поменять местами a и c. Можно ли такими операциями из многочлена (x2 – 3x – 4) получить мно­гочлен (x2 – x – 1)?

  10. Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждый своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?

Источник: РМО, 2005-2006, округ, 8 класс, №1.
Автор — Павел Мартынов.

  1. Три автомата печатают карточки. Первый по карточке (a, b) печатает (a + 1, b + 1); второй по (ab) печатает (a/2, b/2), если a и b — четные; третий по (a, b) и (b, c) печатает (a, c). Прочитанные автоматом карточки возвращаются. Можно ли, начав с карточки (5, 19), получить (а) (1, 50); (б) (1, 100)?

  2. На доске написано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и умноженная на 5 прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было написано число 71998. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 19987?

Источник: РМО, 1997-1998, округ, 11 класс, №1.

  1. Имеется три кучки камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. При каждом перетаскивании из кучи А в кучу Б записывается разность числа камней в кучах А и Б (до перекладывания). В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых лежали первоначально. Сизиф получает плату, равную сумме записанных чисел. Какой наибольшей может быть эта сумма?

Указание 1. Назовем камни одной кучи знакомыми. Число, записываемое Сизифом, — изменение количества пар знакомых камней.
Указание 2. Инвариант — величина ab + bc + ca + S, где a, b, c — количества камней в кучах, S — текущий доход Сизифа.
Источник: РМО, 1994-1995, финал, 9 класс, № 3.
Автор — И. Изместьев.
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Летняя математическая школа iconЛетней Школы Коммуникации 2010 Летняя школа коммуникации это программа
Летняя школа коммуникации это программа для участников олимпиад (настоящих и будущих) по родному языку. Программа направлена на углубление...
Летняя математическая школа iconЛетняя языковая школа
Это уникальное место, чтобы познакомиться с лучшими традициями Британского образования, испытать, что такое английская частная школа,...
Летняя математическая школа iconЛетняя школа «туризм и морские курорты»

Летняя математическая школа iconЛетняя школа по немецкому и европейскому праву в Мюнхене Окончательный срок подачи заявок

Летняя математическая школа iconГод 1869 Свою историю Марьевская школа ведёт с 1869 года. В селе открывается двухгодичная церковно-приходская школа, в которой начинают обучение почти 300 учащихся. Год 1917
После революции 1917 года церковно-приходская школа была преобразована в начальную четырёхклассную, которую вскоре сменили, следуя...
Летняя математическая школа iconПетербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте (К 300-летию школы математических и навигацких наук)
Петербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте
Летняя математическая школа iconСеминар «Бармицва»
Летняя философская школа «Технопарк как модель интеграции технологии, науки и образования»
Летняя математическая школа iconДвадцать четвертая Летняя Многопредметная школа Кировской области
Формирование листовой пластинки в онтогенезе. Анатомическое строение листа мезофита
Летняя математическая школа iconКонкурс на участие в Летней школе Естественные науки Летняя школа «Физика элементарных частиц в преддверии Большого адронного коллайдера»

Летняя математическая школа iconВторое сообщение XI -я гамовская летняя астрономическая школа-конференция
«астрономия на стыке наук астрофизика, космология и гравитация, радиоастрономия, космомикрофизика, астробиология»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org