Летняя математическая школа



Скачать 352.06 Kb.
страница8/8
Дата28.11.2012
Размер352.06 Kb.
ТипРешение
1   2   3   4   5   6   7   8

Неравенства


  1. Пусть s наименьшее из чисел x, 1 – y, – x. Найти наибольшее значение s.

  2. Положительные числа a, b, c и x, y, z удовлетворяют условиям a2 + b2 = c2, x2 + y2 = z2. Докажите, что ax + by  cz.

Источник: С.Г. Губа, Математика в Школе, 3-68.

  1. Докажите, что для любых действительных чисел x и y выполнено неравенство
    x2 + xy + y2  3(x + y – 1).

Источник: РМО,1992-1993, округ, 9 класс, № 1.

  1. Докажите, что для любых положительных чисел x и y выполняется неравенство
    .

Указание. Каждое слагаемое левой части не превосходит половины правой части.
Источник: РМО,1994-1995, округ, 9 класс, № 1.

  1. Докажите, что если a, b, c — положительные числа и ab + bc + ca > a + b + c, то a + bс > 3.

Решение. Используем неравенство a2 + b2 + c2  ab + bc + ca > a + b + c.
Добавим в левую часть до полного квадрата и усилим:
(a + b + c)2  2(a + b + c) + a2 + b2 + c2 > 3(a + b + c).
Источник: РМО,1995-1996, округ, 10 класс, № 1.

  1. Докажите, что если числа a, b, c и d принадлежат отрезку [1; 2], то
    .

Решение. Вычтем из каждой дроби в левой части по единице.
Получим (a – c) / (b + c) + (c – a) / (d + a)  1/4.
Пусть a > c, a – c < 1.
Тогда достаточно показать, что 1 / (b + c) – 1 / (d + a)  1/4, что очевидно следует из того, что 1 / (b + c) не более 1/2, а 1 / (d + a) не менее 1/4.

  1. Решите в вещественных числах систему уравнений:


Источник: СПбМО-1995, 1 тур, 9 класс, автор – А. Храбров.

  1. Докажите, что ни при каких действительных a, b и с три числа
    (b – c)(bc – a2), (c – a)(ca – b2) и (a – b)(ab – c2)
    не могут быть положительными одновременно.

  2. Докажите, что если 0 < a1, ..., an < 1, то (a1 + ...
    an + 1)2 > 4(a12 + ... + an2).

(Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. Москва, Наука, 1988.)

Делимость


  • Приведите пример восьми таких попарно различных натуральных чисел, что для любых двух чисел a и b выполнено: a не кратно b, но a2 кратно b.

Пример 1: a8b16, a9b15, …, a16b8, где a и b — взаимно простые числа.
Пример 2: умножить произведение 8 простых чисел по очереди на каждое из этих простых чисел.
Источник: ММО, 1998, 8 класс, № 2.

  • Натуральные числа m и n таковы, что НОК (mn) + НОД (mn) = m + n. Докажите, что одно из чисел m или n делится на другое.

Источник: РМО,1994-1995, округ, 10 класс, № 2.

  1. Натуральные числа a, b, c таковы, что ab + ac = bc.
    Докажите, что НОД (ab) + НОД (ac) = НОД (bc).

Источник: турнир Кванта.

  1. Найдите все простые p такие, что число p2 + 11 имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).

Ответ: p =3.
Указание. Представьте сумму в виде (p – 1)(p + 1) + 12.
Источник: РМО,1994-1995, округ, 9 класс, № 1.

  1. Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.

Ответ:1996.
Источник: РМО,1995-1996, округ, 9 класс, № 1.

  1. Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из девяти из них, — точные квадраты?

Ответ: да.
Источник: РМО,1998-1999, округ, 10 класс, № 1.

  1. Найдите все простые p и q, что p + q = (p – q)3.

Источник: РМО, 2000-2001, округ, 11 класс, № 1.

  1. Существуют ли два различных натуральных числа a и b, что число a20 + b20 делится на a + b, a2 + b2, a3 + b3, …, a19 + b19?

Источник: Е. Черепанов, Квант-2000.

  1. Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b, c, большие 1, такие, что 2a + 1 делится на b, 2b + 1 делится на c, 2c + 1 делится на a?

Ответ: да. Пример: a = 3, b = 9, c = 19.
Источник: РМО,1999-2000, округ, 9 класс, № 2.

  1. * Можно ли все целые числа от 143 до 153 выписать в некотором порядке так, чтобы полученное 33-значное число было простым?

Указание. Все такие 33-значные числа дают одинаковый остаток при делении на 999.
Источник: кубок Ив. Сусанина, автор — С.И. Токарев.

Материалы зачета

Вопросы


  1. Конечная аффинная плоскость.
    Её определение, порядок, число точек, прямых, пучков.

  2. Модель конечной аффинной плоскости порядка p, где p — простое число. Определение точек, прямых. Указание всех прямых плоскости.

  3. Доказательство выполнения аксиом в модели конечной аффинной плоскости.

  4. Латинские и магические квадраты. Построение магического квадрата из пары ортогональных латинских квадратов.

  5. Построение латинских квадратов порядка p, где p — простое число.
    Их попарная ортогональность.

  6. Расстояние Хэмминга между словами. Поиск ошибок. Построение кода из набора попарно ортогональных латинских квадратов.

  7. Числа Стирлинга для подмножеств. Определение. Рекуррентное соотношение. Построение треугольника. Разложение убывающей факториальной степени по степеням переменной.

  8. Числа Стирлинга для циклов. Определение. Рекуррентное соотношение. Построение треугольника. Разложение возрастающей факториальной степени по степеням переменной.

  9. Разложение числа Стирлинга (и того, и другого) в сумму произведений чисел Стирлинга и биномиальных коэффициентов.

  10. Пентагональная теорема Эйлера. Её эквивалентность теореме о разбиениях.

  11. Теорема Эйлера о разбиениях. Инволюция Франклина. Доказательство теоремы Эйлера и теоремы Файна.

Задачи


  1. Докажите: если есть множество (x, y), где x, y — остатки при делении на n, то можно определить  (n) + 1 семейство параллельных прямых, где  (n) — фун­кция Эйлера — число натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n.

  2. Докажите тождество .

  3. Перед 9 школьниками положили 7 апельсинов и каждый взглядом выбрал один самый вкусный (по его мнению) апельсин. Все желания учеников назовем об­щим желанием. Сколько может быть различных общих желаний? Сколько из них таких желаний, когда ровно 4 апельсина оказываются никем невостребованными?

  4. Существует ли двоичный код длины 20, содержащий 1000 кодовых слов и исправляющий любые комбинации из трех или менее ошибок?

  5. Доказать, что максимальный двоичный код длины 5 с кодовым расстоянием, равным 3, содержит 4 кодовых слова. Укажите такой код.

  6. Докажите, что число разбиений числа n не более чем с m частями равно числу разбиений числа n, в которых нет частей, превосходящих m.

  7. Число разбиений числа (a – c) ровно с (b – 1) частями, не превосходящими c, равно числу разбиений числа (a – b) с (c – 1) частями не превосходящими b.

Указание. В диаграмму Юнга можно добавить одну строку из c элементов, удалить первый столбец и провести сопряжение полученного разбиения.

1 Мини-плоскость на самом деле — конечная аффинная плоскость. Есть так же конечные проективные плоскости, в которых любые две прямые пересекаются.

2 Порядок — самая важная числовая характеристика конечной аффинной плоскости.

1 Именно Леонарду Эйлеру принадлежит термин «аффинный» (в переводе с латыни — смежный, соседний), им же сформулирована первая проблема, имеющая прямое отношение к теории конечных аффинных плоскостей.

1 Первое упоминание о латинских квадратах (в связи с решением карточных задач) относится к 1723 г. Систематическое изучение латинских квадратов началось с работ Леонарда Эйлера.

2 Магические квадраты были известны еще в древнем Китае, и считалось, что они могут обла­дать волшебными свойствами.

3 Квадрат так назван от того, что Эйлер использовал для обозначения чисел aij латинские, а для чисел bij — греческие буквы. Этот термин иногда используется и в наше время.

1 Джеймс Стирлинг (1692-1770).

1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Летняя математическая школа iconЛетней Школы Коммуникации 2010 Летняя школа коммуникации это программа
Летняя школа коммуникации это программа для участников олимпиад (настоящих и будущих) по родному языку. Программа направлена на углубление...
Летняя математическая школа iconЛетняя языковая школа
Это уникальное место, чтобы познакомиться с лучшими традициями Британского образования, испытать, что такое английская частная школа,...
Летняя математическая школа iconЛетняя школа «туризм и морские курорты»

Летняя математическая школа iconЛетняя школа по немецкому и европейскому праву в Мюнхене Окончательный срок подачи заявок

Летняя математическая школа iconГод 1869 Свою историю Марьевская школа ведёт с 1869 года. В селе открывается двухгодичная церковно-приходская школа, в которой начинают обучение почти 300 учащихся. Год 1917
После революции 1917 года церковно-приходская школа была преобразована в начальную четырёхклассную, которую вскоре сменили, следуя...
Летняя математическая школа iconПетербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте (К 300-летию школы математических и навигацких наук)
Петербургская математическая школа и ее участие в решении ряда задач, возникавших на флоте
Летняя математическая школа iconСеминар «Бармицва»
Летняя философская школа «Технопарк как модель интеграции технологии, науки и образования»
Летняя математическая школа iconДвадцать четвертая Летняя Многопредметная школа Кировской области
Формирование листовой пластинки в онтогенезе. Анатомическое строение листа мезофита
Летняя математическая школа iconКонкурс на участие в Летней школе Естественные науки Летняя школа «Физика элементарных частиц в преддверии Большого адронного коллайдера»

Летняя математическая школа iconВторое сообщение XI -я гамовская летняя астрономическая школа-конференция
«астрономия на стыке наук астрофизика, космология и гравитация, радиоастрономия, космомикрофизика, астробиология»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org