Аналитическая геометрия



Скачать 153.26 Kb.
Дата28.11.2012
Размер153.26 Kb.
ТипДокументы
Раздел 2.

Аналитическая геометрия

Глава 1. Геометрия на плоскости

Системы координат на плоскости


Прямая, на которой указано направление, начало отсчета и масштаб называется числовой осью. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей, пересекающихся в точке O – начале системы координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную - осью ординат.

Каждой точке плоскости M сопоставляется ориентированный отрезок OM (радиус-вектор с началом в точке О и концом в точке M. Спроектируем точку М на оси координат (рис.1.1). Каждой точке плоскости M сопоставляется упорядоченная пара чисел (х,y), которые называются декартовыми координатами точки М(х,у). В любой системе координат существует взаимнооднозначное соответствие между точкой и ее координатами. На плоскости расстояние d между двумя точками M(хi,yi) и N(xj,yj) измеряется по прямой и вычисляется по формуле длины вектора



d2 = (xi - xj)2 + (yi - yj)2
или (1.1)

.


Рис. 1.1. Декартова система координат.

Пример. Найти расстояние d между двумя точками M(-3,4) и N((5.2). Согласно формуле (1.1) имеем

.
Полярная система координат. Выберем на плоскости фиксированную точку O, называемую полюсом, и исходящую из нее полуось OP, называемую полярной осью. На полярной оси указываем единицу масштаба. В этой системе координат (рис.1.2) положение точки M задается ее расстоянием r до полюса (т.е. длиной отрезка OM, называемого полярным радиусом точки M) и углом , который составляет полярный радиус с полярной осью (положительный отсчет угла идет против часовой стрелки), причем - <   или 0  <2. Числа r и  называются полярными координатами точки М(r, ).

Если на плоскости заданы прямоугольная и полярная системы координат, причем начало координат и положительная часть оси абсцисс совпадают с полюсом и осью полярной системы координат (рис.1.3), то декартовы и полярные координаты точки М связаны м соотношением
х = r cos y = r sin . (1.2)
Формулы (1.2) выражают координаты точки M в прямоугольной системе через ее же координаты в полярной системе.
Отсюда

х2 + y2 = r2(cos2+ sin2 )= r2 . (1.3)

tg = . (1.4)




Рис. 1.2. Полярная система координат. Рис. 1.3. Связь полярной и декартовой систем координат.


Преобразование системы координат. Пусть даны две прямоугольные системы координат X1Y1 и X2Y2 (рис.1.4 а). Найдем связь координат точки M(x1,y1) в одной из систем координат с ее же координатами (x2,y2) в другой системе. Для этого вначале совместим начала координат, сохраняя старые направления осей (рис.1.4 б), потом одну из систем повернем так, чтобы оси совпали направления координат.

Параллельный перенос системы координат. В первой системе координат точка O1 имеет координаты (0,0), точка O2 - (а,b), а точка M - (x1,y1). Рассматривая проекции этих точек на оси координат первой системы имеем
х1 = а + x2, y1 = b + y2. (1.5а)




1.4 а. 1.4 б.

Рис. 1.4. Преобразования координат.


Чтобы получить координаты во второй системе, необходимо провести обратные действия. Это приведет к зависимостям
x2 = x1 - a. y2 = y1- b. (1.5 б)

Поворот системы координат с совмещенной точкой начала. Пусть оси OX1 и OX2 повернуты на угол . Из рис. 1.4 б следуют соотношения
x1 = x2cos - y2 sin (1.6)

y1 = x2 sin - y2 cos.
В общем случае связь между координатами точки в различных прямоугольных системах координат выражается линейными соотношениями
х1 = х2cos - y2 sin + a

y1 = x2 sin + y2 cos + b (1.7)

или

x2 = x1 cos + y1 sin - a

y2 = -x1 sin + y1 cos - b.
Пример. Как изменятся координаты точки M(-2,3), если система будет повернута на 300 и сдвинута вверх на две единицы?

Применяя формулы (1.7) для x1= -2, y2 = 3, угла  = 300, а =0 и b = 2, имеем

x2 = -2cos300 + 3sin300 = -2 + 3 = -

y2 = 2sin300 +3cos300 - 2 = 2 + 3 -2 = - 1

Прямая линия на плоскости.

Пусть прямая линия пересекает ось ординат в точке B(0, b) под углом  к оси абсцисс (см. рис.1.5.а). Выберем на прямой произвольную точку M(x,y) (такая точка называется текущей). Проекции направленного отрезка BM на оси координат соответственно равны прхBM = х, пруBM = y - b. При скольжении точки M по прямой проекции изменяются, однако, их отношение, равное
tg  = = k (1.8)
сохраняется для всех точек прямой и не выполняется для точек не принадлежащих прямой. Тангенс угла φ называется угловым коэффициентом и обозначается k.






1.5 а. 1.5 б.

Рис. 1.5. Прямая линия на плоскости.


Выразив из (1.8) y, получим "уравнение прямой линии с угловым коэффициентом"
у = х tg + b или у= kх + b. (1.9)
Если b=0, то прямая проходит через начало координат. Если k = 0, то прямая проходит параллельно оси абсцисс и ее уравнение у = b. Если вместо точки В дана другая фиксированная точка N(x0,y0) (рис. 1.5 б), то
k = tg  =

или
y – y0 = k(x – x0) (1.10)
Уравнение (1.10) называется "уравнение прямой, проходящей через данную точку". Если даны координаты двух точек N(x0,y0) и M(x1,y1), через которые проходит прямая, то

и уравнение
(1.11)
называется "уравнение прямой, проходящей через две данные точки"

,




Рис. 1.6. Угол между двумя прямыми

Угол α между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k1 =tg(φ1) и k2= tg(φ2) (рис 1.6). Так как α = φ2 – φ1, то по формулам тригонометрии
(1.12)
Условие параллельности прямых: k1=k2;

Условие перпендикулярности прямых 1= - k1 k2.

Любое из уравнений прямой можно привести к виду Ах + By + С = 0. Например, для уравнения (1.9) A =k, B = -1, C = b, т.е. прямая в прямоугольной системе координат может быть описана линейным уравнением первой степени. Если В 0, то уравнение
Ах + By + С = 0
можно привести к виду (1.9)
, k = , b = .


1.7 а. 1.7 б.

Рис.1.7. Прямые линии на плоскости, параллельные осям координат.



Если А = 0, то у = (рис. 1.7 а).

Если В = 0, то получим уравнение Ах + С = 0 или x = -. Это уравнение определяет прямую параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке х = а (а = - ) (рис. 1.7.б).

Уравнение
Ах + Ву + С = 0. (1.13)
описывает только прямые линии на плоскости и называется общим уравнением прямой на плоскости. Верно и обратное утверждение: каждому уравнению первой степени с двумя неизвестными соответствует в прямоугольной системе координат одна и только одна прямая.

Если даны координаты концов отрезка А(х1, у1) и В(х2, у2), то координаты середины отрезка тоски С (х3, у3) находятся по формуле
(1.14)
Пример. Даны две вершины треугольника А(-3,-3) и С(5,1); его биссектрисы пересекаются в точке N(2,2). Найти координаты вершины В и уравнение медианы, проведенной из этой вершины.

Решение. Для нахождения дополнительных точек на сторонах АВ и ВС будем использовать геометрическое свойство биссектрис AN и CN.

  1. Составляем уравнение биссектрис AN и CN:



уравнение AN : или ,

уравнение CN: или .
2. Далее рассуждаем так: AN – биссектриса угла А, поэтому на стороне АВ должна лежать точка С1, симметричная точке С относительно AN. Аналогично на стороне ВС должна найтись точка А1, симметричная точке A относительно биссектрисы CN. Найдем точки С1 и А1.

Составляем уравнение перпендикуляра CF, опущенного из вершины С на биссектрису АN :
, где .
Следовательно, уравнение CF: .



Рис. 1.8.

Находим координаты точки F пересечения AN и перпендикуляра CF, решая систему

откуда F(3,3).

Определяем координаты точки С1, учитывая, что отрезок С1С в точке F делится пополам и, следовательно,

или С1(1,5).

Поступая аналогично, находим точку А1(1,9).

Составляем уравнения сторон АВ и ВС, соответственно,

и
Или
и .
Находим координаты вершины В, решая систему

из которой следует, что В(2,7).

5. Составляем уравнение медианы ВЕ, предварительно найдя координаты точки Е - середины стороны АС. Имеем
.
Уравнение ВЕ:
или .
Кривые второго порядка.

Кривыми второго порядка называются линии, которые описываются алгебраическими уравнениями второй степени
Ax2 + B xy + C y2 + Dx + Ey + F = 0, (1.15)
причем хотя бы один из коэффициентов А, B, С должен быть не равен нулю.

Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке M(а,b) имеет вид
(x - a)2 + (y - b)2 = R2 . (1.16)
Если раскрыть скобки, то мы увидим, что уравнение (1.16) получается из уравнения (1.15), если
A = C = 1, B=0, D =-2a, E = -2b, F = - R2 + a2 + b2 .
Пример. Пусть задано уравнение х2 + y2 - 4x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра?

Попробуем привести данное уравнение к виду (1.16). Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4
x2 + y2 - 4x = (x2 - 4x + 4) + y2 - 4 = 0

или

(x - 2)2 + y2 = 22. (1.17)

Сравнивая (1.16) с (1.17), видим, что заданное уравнение есть уравнение окружности радиусом R =2 и с центром в точке M(2,0).

Эллипс - замкнутая кривая, для всех точек которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (т.е. одинакова) и равна, по определению, 2а (а>0).

Для эллипса, представленного на рис.1.9, сумма расстояний MF1 и MF2 равна сумме расстояний NF1 и NF2, т. е.
MF1 + MF2 = NF1 + NF2 = 2а,
причем
.
Уравнение эллипса, центр симметрии которого находится в начале координат, а фокусы F1 (с,0) и F2 (-с,0) лежат на оси ОХ симметрично относительно оси OY называется каноническим
. (1.18)
Параметры a и b называются полуосями эллипса (величины 2а и 2b называются осями), причем
a2 = b2+c2.
Отношение называется эксцентриситетом, эксцентриситет эллипса меньше единицы е < 1.

Уравнение (1.18) получим из (1.16) если
B = D = E = 0, , F=-1.
Очевидно, что окружность - частный случай эллипса, у которого a = b = R, а центр находится в начале координат.




Рис. 1.9. Эллипс. Рис. 1.10. Гипербола.


Гипербола – неограниченная кривая, для всех точек которой разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и по определению равна 2а (рис. 1.10).

Разность
MF2 – MF1 = NF1 – NF2 = 2а.
где
.
Каноническое уравнение гиперболы, центр симметрии которой совпадает с началом координат, а фокусы F1 и F2 лежат на оси OX симметрично оси OY
. (1.19)
Параметры а и b называются полуосью и мнимой полуосью гиперболы, причем
c2=b2+a2.
Эксцентриситет гиперболы больше единицы e > 1.
Уравнение (1.19) получим из (1.15) если
B = D = E = 0, , F=-1.
Особенность гиперболы – наличие асимптот - прямых к которым неограниченно приближается кривая при . Уравнения асимптот
.
Парабола - неограниченная кривая, все точки которой (рис. 2.12) равноудалены от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой, причем расстояние между фокусом и директрисой равно р.

Для параболы изображенной на рис.1.11 расстояния MK = MF , NF = NL и DO =OF. Каноническое уравнение параболы, фокус которой F(,0) лежит на оси ОХ, а директриса х = перпендикулярна ОХ, есть
y2 = 2px, (1.20)
Уравнение (1.20) получим из (1.15) если
A = B = E = F = 0, C = 1, D = -2p.
Ось такой параболы совпадает с осью ОХ, а вершина лежит в начале координат.

Сделав поворот и сдвиг системы координат любое уравнение (1.15) можно привести только к одному из трех уравнений второй степени: (1.18), (1.19), (1.20) или к уравнению вида

а2 х2 = b2 y2 ,
которому соответствуют две прямые. Это означает, что уравнениями второй степени можно описать только эллипс (и его частный случай окружность), гиперболу или параболу. Важным свойством линий второго порядка является то, что все они могут быть получены (см. рис. 1.12) как сечения конуса плоскостью, пересекающего его под различными углами.

Рис. 1.11. Парабола. Рис. 1.12. Конические сечения.

  1. Окружность.

  2. Эллипс.

  3. Парабола.

  4. Гипербола.



Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С(x0, y0) (случай В).


А В

Окружность





Эллипс





Гипербола





Парабола








Пример. Найти геометрическое место точек разность квадратов расстояний которых от точек А(1, 2) и В(5, 3) равна 4.

Решение. Обозначим за М(x, y) текущую точку кривой. Тогда по условию
МА – МВ = 4.
В координатной форме

, или

.

Перенесем второй корень направо и возведем в квадрат





или . Это уравнение прямой линии (рис. 1.13)



Рис. 1.13.

Глава 2. Геометрия в пространстве

Системы координат в пространстве.


Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве возникает, если взяты три одинаковые взаимно перпендикулярные числовые оси - оси координат; которые пересекаются в точке O, называемой началом системы координат. Первую ось OX называют осью абсцисс, вторую ось OY - осью ординат, третью OZ - осью аппликат. Через каждые две (из трех) координатные оси проходит координатная плоскость.


Рис. 2.1 а. Правая система координат. Рис. 2.1 б. Левая система координат


Существуют две, не сводящиеся друг к другу, системы координат: правая система координат и левая система координат. Различить эти системы координат можно следующим образом: если посмотреть из любой положительной точки оси OZ на ось OY и ось OX окажется справа, то это правая система координат, если слева - левая (сравните рис.2.1а и рис.2.1б).



Рис. 2.2. Метод координат в пространстве


Каждой пространственной точке M можно сопоставить ориентированный отрезок OM, берущий начало в точке начала координат и оканчивающийся в точке M (рис.2.2). Такой отрезок называют радиус-вектором точки M. Спроектируем точку М на оси координат. Каждой точке M соответствуют три точки на осях (на рис.2.2 P, Q, R), их координаты называют координатами точки M. Они однозначно определяют положение этой точки в выбранной системе координат. Наоборот, задав на каждой из осей координат по одной точке, например, P, Q, и R, мы определим одну и только одну точку в пространстве. Эта точка получается при пересечении трех взаимно перпендикулярных плоскостей PM1MM3, QM1MM2, RM2MM3, проходящих соответственно через точки P, Q и R параллельно осям координат. Расстоянием между двумя точками M(x1,y1,z1) и N(x2,y2,z2). в пространстве называется число d, равное длине отрезка прямой соединяющей эти точки
d = . (2.1)
Например, расстояние между двумя точками M(2,-1,3) и N(-2,-1,0), согласно (3.16) равно

d =

В пространстве всякая поверхность может рассматриваться как некоторое множество точек, между координатами которых установлены определенные соответствия
F(x,y,z) = 0 (2.2)

Плоскость и прямая в пространстве.

Из геометрии известно, что через три точки M0, M1 и M2 можно провести плоскость, причем единственным образом. Следовательно, добавив произвольную (текущую) точку плоскости М, можем построить три вектора М0М, М0М1 и М0М2, принадлежащих плоскости L. Смешанное произведение таких векторов равно нулю
М0М М0 М1 М0 М2 = 0, (2.3)
или, в развернутой форме,
=0. (2.4)
Это уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.




Рис. 2.3. Уравнение плоскости проходящей через

а) три данные точки б) через данную точку


П

Плоскость L в пространстве можно задать единственным образом, если известна точка M0(x0,y0,z0), принадлежащая плоскости, и перпендикулярный плоскости вектор
N = {A, В, С}.
Если взять любую произвольную (текущую) точку плоскости M(x, y, z) и построить вектор М0М L, то векторы N и М0М перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю
N М0М =0  A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. (2.5)
Это уравнение называется « уравнение плоскости, проходящей через данную точку».

Все уравнения плоскости можно свести к виду
Ax + By + Cz + D = 0. (2.6)
Это уравнение, линейное относительно всех неизвестных, называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если D = 0, то уравнение Ax + By + Cz = 0 описывает плоскость, проходящую через начало координат.

Прямую в пространстве задаем как линию пересечения двух плоскостей. Общее уравнение прямой
(2.7)
Если заданы точка М0, лежащая на прямой, и параллельный прямой вектор
S = {m, n, p},
то взяв текущую точку прямой М, постоим лежащий на прямой вектор М0 М.

Векторы М0 М и S параллельны, следовательно пропорциональны их проекции на оси координат
. (2.8)

Это уравнение называется каноническим.
Пример. Даны координаты вершин пирамиды

А1(1,-2,-3), А2(-3,1,1), А3(4,3,-1), А4(3,2,2).

Составить: 1. Уравнение плоскости ,

2. Уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А4 на грань .

Решение. 1. Уравнение плоскости запишем, используя каноническое уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
.
Подставив координаты точек А1, А2, А3, получим
=
Разложив последний определитель по элементам первой строки, будем иметь

или
.
2.Уравнение высоты пирамиды представим в виде канонической системы уравнений прямой, проходящей через заданную точку А4 с известным направляющим вектором . За направляющий вектор возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. .
Уравнение высоты: .
Примечание. Если бы в уравнении прямой один из знаменателей оказался нулевым, например
,
то уравнение прямой следовало бы записать в виде пересекающейся системы плоскостей

Наконец, если бы в уравнении прямой два знаменателя обратились в ноль, например,
,

это означало бы, что прямая является пересечением плоскостей и и ее уравнением будет система





Похожие:

Аналитическая геометрия iconМетодические указания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости» и«Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве»
Составители – Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ мгту
Аналитическая геометрия iconАналитическая геометрия и линейная алгебра
Ны «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным...
Аналитическая геометрия iconКонтрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб для вузов. 5-е изд., стер. М.: Физматлит, 2002. – 317 с
Аналитическая геометрия icon1. Организационно-методический раздел. 1 Название курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Основной курс "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" предназначен для студентов первого курса отделения прикладной инфоматики...
Аналитическая геометрия iconПрограмма дисциплины по кафедре Прикладная математика Аналитическая геометрия Утверждена научно-методическим советом университета для направления подготовки 011200 «Физика»
Дисциплина «Аналитическая геометрия» является частью математического и естественнонаучного цикла дисциплин подготовки студентов по...
Аналитическая геометрия iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Москва 2008
Евклидовы пространства: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»./ Моск...
Аналитическая геометрия iconМетодические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 2 Москва
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 2...
Аналитическая геометрия iconЛинейные операторы методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Часть 1 Москва 2005
Линейные операторы: Метод указания к домашней контрольной ра­боте по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Часть 1...
Аналитическая геометрия iconАналитическая геометрия

Аналитическая геометрия icon2. Основы аналитической геометрии 1Основные понятия аналитической геометрии. Уравнения окружности и сферы
Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org