Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений»



Скачать 84.78 Kb.
Дата28.11.2012
Размер84.78 Kb.
ТипМетодические рекомендации
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме

«Системы линейных уравнений» по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса факультета ТЭС.
По этой теме приведены три варианта заданий на нахождение решений систем линейных уравнений 3-го порядка по формулам Крамера и методом Гаусса. В решении данной контрольной работы дан необходимый теоретический материал в виде формулировок теорем, определений, свойств и формул.
Вариант 1
Задание: решите систему по формулам Крамера и методом Гаусса.

Формулы Крамера

Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными D≠0, то система совместна и имеет единственное решение, выражаемое по следующим формулам:

Х1= , X2 =, … , xn=.

Dn - это определитель, который получается из определителя системы путем замены только n-го столбца столбцом свободных коэффициентов системы.

Рассматривают различные случаи:

1. Система является совместной и определённой, если её определитель D≠0.

2 .Система является совместной, но неопределённой, если все её определители равны нулю:

D=D1=D2=…=Dn=0

3.Система несовместна, если только определитель системы D=0
Определители можно вычислять различными методами: используя свойства определителей, по правилу треугольников, по правилу Лапласа.
Свойства определителей

1. Транспонирование определителя, т.е. замена строк столбцами и наоборот, не меняет его значения.


2. Перестановка любых двух строк (столбцов) меняет только знак D.

D’=-D

3. Общий множитель всех элементов одной строки (столбца) можно выносить за знак D.

4. Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны или пропорциональны, то определитель равен 0.

5. Если элементы какой-либо строки (столбца) состоят из двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, различающихся между собой только элементами одной строки (столбца), бывшими ранее отдельными слагаемыми.

6. Если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки или одинаково пропорциональные им числа, то исходный определитель не изменится.

Правило треугольников:





Формула Лапласа
Формула Лапласа формулируется теоремой:

Определитель равен сумме произведений элементов всякой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгебраическим дополнением элемента aik данного D называется минор Мik , взятый со знаком «+», если (i+k)- четное число, и со знаком «-», если (i+k)- нечетное число.

Если в данном определителе вычеркнуть элементы i-й строки и k-го столбца, то останется определитель, имеющий порядок на единицу меньше, чем данный. Этот D называется минором элемента аik и обозначается Мik.
Решение

Определитель системы вычислим по правилу треугольников

D= = 42+36+2-(-21+36-4) = 69 ≠ 0
D1, D2, D3 подсчитываются по формуле Лапласа.

D1= = (определитель разложим по первому столбцу) =19 · - 30 · - 1 · = 19·(42+4)-30·(18-1)-1·(12+7) = 19·46-30·17-19 = 345

D2 = = (разложим по второму столбцу) = -19 · +30 · +1· =

= -19·(12-12)+30·(6+3)+(4+2) = 30·9+6 = 276

D3= = (разложим по третьему столбцу) = 19 · - 30 · -1 · =
= 19·(-23)-30·(-10)-1·1 = -138
х1==5; х2==4; х3== -2
Ответ: (5; 4; -2).


Метод Гаусса:

Составим расширенную матрицу системы и приведём её с помощью равносильных преобразований к ступенчатому виду (по главной диагонали единицы, под ними нули).

А'=
Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответственным элементам второй строки, а так же на (-3) и прибавим к соответственным элементам третьей строки.

Умножим элементы второй строки на 10 и прибавим к соответственным элементам третьей строки

Разделим элементы третьей строки на 69

Этой матрице соответствует система, равносильная данной:
~ ~
Ответ: (5; 4; -2).
Вариант №2


Решение по формулам Крамера:

Вычислим определители по правилу треугольников:
D = = 9-20-2-5+12+6 = 0
D1= =24-16+4-4-24+16=0
D2= = -18+40+4+10-24-12=0
D3= =12+40-16-40+16-12=0


D=D1=D2=D3=0 è система совместная неопределённая
Метод Гаусса:
A' =

Переставим первую и вторую строки местами



Умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим к соответственным элементам второй строки, а так же на (-5) и прибавим к соответственным элементам третьей строки.


Удалим третью строку и поделим элементы второй на (-7)



Матрице соответствует трапецевидная система (последнее уравнение содержит более одного неизвестного).



x3 - свободная переменная, принимает любые значения из области действительных чисел R.
Ответ: (-х23 -2; -х3 -2; х3 R).



Вариант №3


Решение по формулам Крамера:

Вычислим определители по правилу треугольников:
D= = 4+24+6-4-6-24 = 0
D1= = 4+0+18-0-18-24 = -20 ≠ 0
D2= = 12+16+0-12-4-0 = 12 ≠ 0
D3= = 0+36+12-8-0-36 = 4 ≠ 0




D=0 D1, D2 и D3 ≠ 0 è Система несовместна, т.е. не имеет решений.

Метод Гаусса:
A' =

Переставим местами первую и вторую строки



Умножим элементы второй строки на (-2) и прибавим к соответственным элементам третьей строки.


Третьей строке соответствует уравнение: 0•x+0•y+0•z = -4 Равенство неверное è решений нет.
Ответ: система несовместна.


Похожие:

Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconМетодические рекомендации к решению контрольной работы по теме "предел функции"
Применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения запишем
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconРешение задач с помощью системы уравнений Учитель
Данный урок предпоследний перед написанием контрольной работы по теме «Системы двух уравнений с двумя неизвестными»
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconПрограмма по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень
Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение...
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconРешением системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений – это системы уравнений первой степени с несколькими неизвестными
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconПримерный вариант контрольной работы №1 по разделам «Матрицы и определители» и «Системы линейных уравнений»
«Элементы векторной алгебры», «Элементы аналитической геометрии», «Линейные отображения»
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconЛекция № Методы решения систем линейных уравнений
Мы будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений, а именно случай, когда т е число уравнений равно числу неизвестных....
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconОтчет о выполнении задания по теме "Системы линейных алгебраических уравнений"
Написать программу на языке matlab, реализующую заданный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. В качестве входных...
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconСистемы линейных уравнений
Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают...
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconЛинейных уравнений
Линейные уравнения. Системы линейных уравнений. Разрешенная система линейных уравнений
Методические рекомендации к решению контрольной работы №1 по теме «Системы линейных уравнений» iconРешение линейных уравнений с параметром
Обучение решению линейных уравнений с параметром на основе применения свойств уравнений
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org