2. системы линейных алгебраических уравнений



Скачать 75.34 Kb.
Дата28.11.2012
Размер75.34 Kb.
ТипДокументы

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Система линейных алгебраических уравнений, содержащая уравнений и неизвестных имеет следующий вид:



или в матричной записи , где - основная матрица системы, - столбец неизвестных, - столбец свободных членов.
Матрицу - называют расширенной матрицей системы.

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется прямоугольной, если , и квадратной, если .

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если , т.е., если столбец свободных членов состоит из одних нулей.

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется

28

неоднородной, если .

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Совместность системы может быть определена с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

Теорема. Для того , чтобы система была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы.

Определение. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е. , то ранг матрицы системы называют рангом системы.

Замечание. Если ранг системы равен числу неизвестных, то система определённая.

Теорема (Крамера).
Если матрица квадратной системы невырожденная, то система определенная.

В этом случае решение системы может быть найдено по формулам Крамера.

Теорема. Если ранг однородной системы меньше числа неизвестных,то такая система имеет фундаментальную совокупность решений, состоящую из решений, где число неизвестных, ранг системы.

Определение. Совокупность решений однородной системы называется фундаментальной, если выполняются два условия: 1) эта совокупность линейно независимая; 2) любое решение однородной системы может быть линейно выражено через эту совокупность.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

К ним относятся

- перестановка любых двух уравнений;

- умножение обеих частей одного уравнения на любое число отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему в эквивалентную.

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений состоит в том,

29

что с помощью элементарных преобразований последовательно исключаются неизвестные, и данная система превращается в ступенчатую. Приводить к ступенчатому виду удобнее не саму систему, а её расширенную матрицу, выполняя все преобразования над её строками.

Формулы Крамера. Решение неоднородной системы уравнений с неизвестными, имеющей невырожденную основную матрицу системы, находится по формулам

,

где - определитель системы; - определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой её -го столбца столбцом свободных членов.

Примеры


  1. Решить систему уравнений



Решение. Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

.

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:



Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

30



Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два - за свободные, через которые будут выражены главные. В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный

минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать .

Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

.

Теперь из второго уравнения выразим через . Затем подставим его в первое уравнение и найдём через . В итоге получим



Переменные принимают произвольные значения. Положив , общее решение системы можно записать в виде

.

  1. Решить с помощью формул Крамера систему уравнений



31

Решение. Убедимся прежде всего в том, что определитель системы отличен от нуля:

.

Вычислим теперь остальные, входящие в формулы Крамера, определители:

,

,

.

Подставив полученные значения определителей в формулы Крамера, имеем



Правильность представленного решения можно проверить подстановкой значений в исходную систему уравнений.

  1. Исследовать на совместность и, если совместна, найти общее и одно

частное решение системы уравнений



Решение. Прежде всего, используя теорему Кронекера-Капелли, определим, является ли данная система уравнений совместной. Для этого

выпишем расширенную матрицу системы

32

.

Вычислим вначале ранг основной матрицы. Видно, что минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:

.

Посмотрим теперь, чему равен минор третьего порядка (определитель) основной матрицы:



Таким образом, ранг основной матрицы равен двум - .

Для определения ранга расширенной матрицы необходимо вычислить ещё один, оставшийся, минор третьего порядка



Следовательно, ранг расширенной матрицы также равен двум - . Значит в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли рассматриваемая система уравнений совместна. Принимая за независимые первые два уравнения, содержащие базисный минор, исходную систему можно переписать в виде



Здесь главными являются относящиеся к базисному минору неизвестные . Выражая их через получим

.

Это общее решение, которое можно записать также в виде вектор-

33

столбца

.

Частное решение получается из общего, если для выбрать конкретное числовое значение. Пусть, например, , тогда в качестве частного решения имеем

.

  1. Найти фундаментальную совокупность и общее решение системы уравнений



Решение. Выпишем матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований, вычитая первую строку, умноженную на 1,2 и 1 соответственно из второй, третьей и четвёртой строк:

.

Теперь вторую строку прибавим к третьей и её же, умноженную на 2, вычтем из четвёртой строки, получим


34

.

Ранг этой матрицы равен трём. Следовательно, три неизвестные являются главными, а две - свободными. Выберем в качестве главных . Это можно сделать, т.к. минор 3-го порядка, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Соответствующая преобразованной матрице система имеет вид



Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение



Чтобы записать фундаментальную совокупность решений (ФСР), необходимо из

вектор-столбца составить любым способом два линейно независимых вектора. Обычно это делается путем задания искомого вектор-столбца в виде столбцов единичной матрицы размером, равным высоте столбца из свободных неизвестных. В данном случае – это матрица второго порядка

.

Придавая значения из первого и второго столбцов этой матрицы, получим ФСР:

.

35

Поскольку общее решение системы есть сумма линейно независимых решений из ФСР, умноженных на произвольные коэффициенты, то его можно записать ещё в следующем виде: .

Задачи


Системы линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5.2.6.

2.7. 2.8.

36
2.9. 2.10.

Системы линейных алгебраических уравнений решить по

правилу Крамера

2.11.2.12.

2.13.2.14.

2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20.

37

Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы линейных алгебраических уравнений
2.21. 2.22

2.23.2.24.

2.25.2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

Найти общее решение и фундаментальную совокупность решений

2.31. 2.32.

38

2.33. 2.34.

2.35. 2.36.

2.37. 2.38.

2.39. 2.40.

Решить матричные уравнения
2.41. 2.42.
2.43. 2.44.
2.45.2.46.

2.47.

39



2.49.




2.50.

2.51.

40


Похожие:

2. системы линейных алгебраических уравнений iconРешение системы линейных алгебраических уравнений
Цель: Освоить технологию решения систем линейных алгебраических уравнений в интегрированной среде MathCad
2. системы линейных алгебраических уравнений iconОтчет о выполнении задания по теме "Системы линейных алгебраических уравнений"
Написать программу на языке matlab, реализующую заданный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. В качестве входных...
2. системы линейных алгебраических уравнений iconРешение систем линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами. Пример решения линейной системы с трехдиагональной матрицей
Метод Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Устойчивость метода Гаусса. Использование метода Гаусса для вычисление...
2. системы линейных алгебраических уравнений iconРешение систем линейных алгебраических уравнений. Схема единственного деления
Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости
2. системы линейных алгебраических уравнений iconРешение систем линейных алгебраических уравнений прямые методы. Дана система линейных алгебраических уравнений. Требуется найти решение системы
В дальнейших рассмотрениях вектор-столбец правых частей удобнее рассматривать как й столбец расширенной матрицы: При ссылках на строки...
2. системы линейных алгебраических уравнений iconРешение систем линейных алгебраических уравнений и неравенств. Выпуклые многогранники и многогранные области
...
2. системы линейных алгебраических уравнений iconЛекция Исследование и решение систем алгебраических уравнений. Основные вопросы
При раскрытии понятий определителя и матрицы, при решении сис-тем линейных уравнений мы рассматривали в основном систему из n линей-ных...
2. системы линейных алгебраических уравнений iconРешение систем линейных уравнений. Система линейных алгебраических уравнений (слау) имеет вид: 1) или в матричной форме Ax = B
Слау обычно основаны на приведении матрицы в системе 2 к треугольному виду, т к системы с треугольными матрицами легко решаются путем...
2. системы линейных алгебраических уравнений iconПрямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Лабораторная работа для студентов дневного отделения. Специальность:...
2. системы линейных алгебраических уравнений iconТехнология решения систем линейных алгебраических уравнений в распределенной вычислительной среде
Рассматривается технология решения больших систем линейных алгебраических уравнений вида
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org