Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений»



Скачать 210.17 Kb.
страница1/3
Дата28.11.2012
Размер210.17 Kb.
ТипМетодические указания
  1   2   3
Министерство Образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания

к самостоятельной работе студентов

по разделу «Методы решения систем линейных

алгебраических уравнений»

для всех специальностей всех форм обучения
Одобрено

Редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета


Энгельс 2007

Основные понятия
Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

а11х1 + а12х2 + … + а1nXn = a1(n+1)

а21х1 + а22х2 + … + а2nXn = a2(n+1) (1)

. . .

аn1х1 + аn2х2 + … + аnnXn = an(n+1)
или в матричной форме

АХ=В

где

а11 а12 … а1n

А=(аij)= а21 а22 … а2n



аn1 аn2 … аnn - матрица коэффициентов системы




a 1(n+1) х1

В = a 2(n+1) , Х = х2

. . . …

a n(n+1) хn



  • соответственно столбец свободных членов и столбец неизвестных.


Если матрица А неособенная, т.е. detА≠0, то система (1) имеет единственное решение.

Методы решения таких систем делятся на две группы: точные и приближенные.
Точными называются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округления), позволяют в результате выполнения конечного числа арифметических действий получить решение системы. К точным методам относится метод Гаусса.

Критическими называются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение систе6мы лишь с заданной точностью.

Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса. К приближенным методам относится метод простой итерации.


Метод Гаусса
Пусть в системе (1) коэффициент а11≠0.

Назовем а11 ведущим элементом первой строки.

Разделив первое уравнение системы (1) на а11 получим новое уравнение:

(2)

Для исключения из каждого уравнения системы (1) начиная со второго, будем умножать уравнение (2) последовательно на а21, а31 и т.д. и вычитать из второго, третьего и т.д. уравнений системы соответственно.

Получим:





(3)




Аналогично преобразуем систему (3). Последовательно продолжая этот процесс, в предположении, что , , , …, - ведущие элементы соответствующих строк, приведем систему (1) к эквивалентной системе с треугольной матрицей:





(4)








Таким образом, коэффициенты системы (4) находятся с помощью формул:

, (5)

____ _____

где k+1≤ j ≤n+1, k+1≤ i ≤n, k=1,n (, i,j = 1,(n+1))

Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы (4) называется прямым ходом, а процесс получения ее решения по формулам

, , i=(n-1), (n-2), …1.

обратным ходом метода Гаусса.
Замечание.

  1. Если в ходе расчета оказалось, что элемент , то исключение по формулам (5) нельзя проводить. Но все элементы к-го столбца не могут быть нулями; это означало бы, что detА=0. Перестановкой строк можно переместить ненулевой элемент на главную диагональ и продолжить расчет.

  2. Если величина достаточно мала, то на соответствующем шаге элементы к-ой строки умножаются на большие числа , что приводит к значительным ошибкам округления при вычитании.

Чтобы избежать этого, каждый цикл (если это необходимо) всегда начинается с перестановки строк.

Среди элементов столбца , m≥k, находят главный, т.е. наибольший по модулю элемент в к-столбце, и перестановкой строк приводят его на главную диагональ, после чего производят вычисления.

В методу Гаусса с выбором главного элемента по строке погрешность округления обычно невелика.

Этот метод надежен, прост и наиболее выгоден для линейных систем общего вида с плотно заполненной матрицей.
Проиллюстрируем применение метода Гаусса на следующем примере.

Пример1. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:

х1+0,17х2+0,25х3+0,54х4=0,3

0,47х12+0,67х3-0,32х4=0,5 (6)

-0,11х1+0,35х23-0,74х4=0,7

0,55х1+0,43х2+0,36х34=0,9
Решение:

Результаты вычислений будем записывать в таблицу.

Порядок заполнения таблицы. Прямой ход.

  1. Записываем коэффициенты данной системы в четырех строках и пяти столбцах шага I.

  2. Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму с обратным знаком в последний столбец, т.е.

, i=1,4.

Тогда сумма всех элементов каждой из четырех начальных строк будет равна нулю.

  1. Выбираем из первого столбца главный элемент и меняем местами строку, содержащую этот элемент с первой. Пусть главным элементом будет .

Делим все числа, стоящие в первой строке, на и записываем в первую строку шага II.

  1. По формулам (5) вычисляем коэффициенты , i=2,4, J=2,6. Результаты записываем в соответствующие строки шага II. С элементами последнего столбца поступаем так же, как с элементами предыдущих столбцов.

  2. Для проверки правильности вычислений находим сумму элементов каждой строки. Величина суммы должна отличаться от нуля в пределах ошибок округления. Большое отклонение от нуля свидетельствует о наличии грубой ошибки в вычислениях.

  3. Среди элементов выбираем главный элемент и поступаем как в п.3. Пусть - главный элемент. Делим на него вторую строку шага II и результат записываем в первую строку шага III.

  4. По формулам (5) вычисляем коэффициенты , i=3,4, J=3,6. Результаты записываем во вторую и третью строки шага III.

  5. Проверяем правильность произведенных вычислений (п.5).

  6. Пусть - главный элемент. Делим на него вторую строку шага III и результат записываем в первую строку шага IV.

  7. По формулам (5) вычисляем Результаты записываем во вторую строку шага IV.

  8. Проверяем правильность вычислений (п.5).


Обратный ход


  1. В шаге V записываем единицы.

  2. Вычисляем

  3. Для вычислений используются лишь первые строки шагов II, III, IV, т.е. строки, содержащие единицы:

; ;

(7)

находят по формулам (7), заменяя на , i=3,2,1).

  1. Проверяем правильность вычислений. При отсутствии ошибок округления сумма элементов в четырех строках шага V должна быть равна нулю, т.е. .

Вычисления решения системы (6) ведутся с двумя запасными десятичными знаками ( по сравнению с числом десятичных знаков у коэффициентов заданной системы). Сумма элементов каждой строки отличается от нуля не более чем на две единицы младшего разряда, что вполне допустимо.

Шаг













I

1

0,47

-0,11

0,55

0,17

1

0,35

0,43

-0,25

0,67

1

0,36

-0,54

-0,32

-0,74

1

0,3

0,5

0,7

0,9

-1,76

-2,32

-1,2

-3,24

II

1

0,17

0,9201

0,3687

0,3365

-0,25

0,7875

0,9725

0,4975

-0,54

-0,5738

-0,6806

0,7030

0,3

0,3590

0,7330

0,7350

-1,76

-1,4928

-1,3936

-2,2720

III




1

0,8559

0,6569

0,2095

-0,6236

-0,4507

0,9128

0,3902

0,5891

0,6037

-1,6224

-0,7954

-1,7261

IV







1

-0,6861

1,0565

0,8968

0,4158

-1,2108

-1,4724

V


1



1



1


1

0,3936

1,1668

-0,3630

0,4409

-1,3937

-2,1670

-0,6368

-1,4409



Найденное решение системы (6), округленное до двух десятичных знаков после запятой, таково:

=0,44, = -0,36, =1,17, =0,39.

(Главные элементы заключены в рамки.)
  1   2   3

Похожие:

Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconПрямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Лабораторная работа для студентов дневного отделения. Специальность:...
Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconРешение систем линейных алгебраических уравнений и неравенств. Выпуклые многогранники и многогранные области
...
Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconОтчет о выполнении задания по теме "Системы линейных алгебраических уравнений"
Написать программу на языке matlab, реализующую заданный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. В качестве входных...
Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconРешение систем линейных алгебраических уравнений. Схема единственного деления
Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости
Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconРешение системы линейных алгебраических уравнений
Цель: Освоить технологию решения систем линейных алгебраических уравнений в интегрированной среде MathCad
Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconТехнология решения систем линейных алгебраических уравнений в распределенной вычислительной среде
Рассматривается технология решения больших систем линейных алгебраических уравнений вида
Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconМетодические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов с целью выработки...
Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconМетодические указания по курсу начертательной геометрии методические указания для студентов
Методическая разработка предназначена для студентов второго курса специальности «Дизайн среды». В ней даются методические указания...
Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconРешение систем линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами. Пример решения линейной системы с трехдиагональной матрицей
Метод Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Устойчивость метода Гаусса. Использование метода Гаусса для вычисление...
Методические указания и задания к самостоятельной работе студентов по разделу «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» iconМетод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В работе предлагается численный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org