Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика»



Скачать 113.7 Kb.
Дата28.11.2012
Размер113.7 Kb.
ТипСамостоятельная работа
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"


Факультет Экономики
Программа дисциплины
Стохастический анализ

для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра

Автор: Демешев Б.Б., roah@yandex.ru

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры


_____________________________ ________________________________

Председатель Зав. кафедрой

_____________________________ ________________________________

«_____» __________________ 200 г. «____»_____________________ 200 г

Утверждена УС факультета

_________________________________

Ученый секретарь

_________________________________

« ____» ___________________200 г.
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

Тематический план учебной дисциплины




Название темы


Всего часов по дисциплине

Аудиторные часы


Самостоятельная работа

лекции

семинары

Тема 1

Основания теории вероятностей













Тема 1.1

Измеримые пространства

14

4

4

6

Тема 1.2

Случайные величины

8

2

2

4

Тема 1.3

Интеграл Лебега как математическое ожидание

14

4

4

6

Тема 1.
4

Декартово произведение мер и связь с интегралом Римана

8

2

2

4

Тема 1.5

Независимость случайных величин

8

2

2

4

Тема 1.6

Виды сходимостей случайных величин

14

4

4

6

Тема 2

Мартингалы в дискретном времени













Тема 2.1

Простейшие свойства случайного блуждания

10

2

2

6

Тема 2.2

Условное ожидание

14

4

4

6

Тема 2.3

Понятие мартингала

8

2

2

4

Тема 2.4

Мартингальное преобразование

8

2

2

4

Тема 2.5

Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства

14

4

4

6

Тема 3

Интеграл Ито













Тема 3.1

Броуновское движение

14

4

4

6

Тема 3.2

Определение стохастического интеграла и его свойства

14

4

4

6

Тема 3.3

Модель Блэка-Шоулза




4

4

6




Итого

162

44

44

74



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Базовые учебники

1. Wilde, Measure, Integration and Probability. http://www.mth.kcl.ac.uk/~iwilde/notes/mip/index.html

2. Wilde, Stochastic Calculus. http://www.mth.kcl.ac.uk/~iwilde/notes/sa/index.html
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Формы контроля:

Итоговая оценка по учебной дисциплине складывается из следующих элементов:
Текущая оценка за домашнюю работудз) выставляется исходя из результатов выполнения домашних заданий.

Отекущий = n5·Одз ;

n5=1.

Способ округления оценки за домашнюю работу – арифметический.
Оценка за зачет зачет) выставляется исходя из результатов написания письменной контрольной работы.

Оитоговый = k1·Озачет + k2·Отекущий;

k1 =0.8, k2 =0.2 .

Способ округления оценки за зачет – арифметический.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.


Содержание программы

Тема 1. Основания теории вероятностей


Тема 1.1. Измеримые пространства

Определение алгебры и сигма-алгебры. Борелевская сигма-алгегбра. Определение меры. Свойства вероятности. Теорема Каратеодори (план доказательтва). Мера Лебега. Монотонная сходимость вероятностей. Понятие «почти наверное».

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 1, 2

Тема 1.2. Случайные величины

Определение измеримой функции. Простейшие свойства измеримых функций: сумма, произведение, композиция измеримых функций. Сигма-алгебра, порожденная случайной величиной. Функция распределения. Существование случайной величины с заданной функцией распределения.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 2,3

Тема 1.3. Интеграл Лебега как математическое ожидание

Последовательное определение интеграла (индикатор-простая функция-неотрицательная-действительная-комплексная). Теорема о монотонной сходимости. Лемма Фату. Теорема о доминируемой сходимости. Лемма Шефе.

Неравенство Йенсена. Полнота . Интерпретация ожидания как проекции.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 4

Тема 1.4. Декартово произведение мер и связь с интегралом Римана.

Декартово произведение мер. Теорема Фубини (план доказательства). Функции плотности и совместные функции плотности. Переход от интеграла Лебега к интегралу Римана.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 4,5

Тема 1.5. Независимость случайных величин

Независимость сигма-алгебр. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю.

Леммы Бореля-Кантелли.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 7

Тема 1.6. Виды сходимостей случайных величин

Поточечная, почти наверное, по вероятности, по распределению, в . Взаимосвязь сходимостей.

Wilde, Measure, Integration and Probability, Ch. 8,9


Тема 2. Мартингалы в дискретном времени.


Тема 2.1. Простейшие свойства случайного блуждания

Метод первого шага и метод разложения в сумму. Расчет вероятности разорения, ожидаемого числа посещений точки, ожидаемого времени разорения.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 3.

Тема 2.2. Условное ожидание

Определение, простейшие свойства. Геометрическая интерпретация. Теорема Пифагора.

Теорема Радона-Никодима (план доказательства).

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 2.

Тема 2.3. Понятие мартингала

Адаптированность, предсказуемость случайного процесса. Определение мартингала, суб и супермартингалов. Простейшие свойства.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 3.

Тема 2.4. Мартингальное преобразование

Мартингальное преобразование, момент остановки, остановленный мартингал. Теорема об ожидаемом значении мартингала на момент остановки.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 3.

Тема 2.5. Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства

Теорема о сходимости мартингалов почти наверное. Равномерная интегрируемость. Сходимость мартингалов в смысле . Неравенства Дуба (для и ).

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 3.

Тема 3. Интеграл Ито.


Тема 3.1. Броуновское движение

Характеристическая функция. Восстановление закона распределения по характеристической функции. Многомерное нормальное распределение. Определение броуновского движения. Простейшие свойства.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 5.

Тема 3.2. Определение стохастического интеграла и его свойства

Пошаговое определение стохастического интеграла. Формула Ито для броуновского движения. Таблица умножения Ито. Введение в стохастические дифференциальные уравнения.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 4, 6.

Тема 3.3. Модель Блэка-Шоулза

Вывод модели Блэка-Шоулза. Сравнительная статика модели. Расчет волатильности по дискретным данным. Сравнение выводов модели с эмпирическими фактами.

Wilde, Stochastic Calculus, Ch. 6.

Основная литература

1. Wilde, Measure, Integration and Probability. http://www.mth.kcl.ac.uk/~iwilde/notes/mip/index.html

2. Wilde, Stochastic Calculus. http://www.mth.kcl.ac.uk/~iwilde/notes/sa/index.html
Дополнительная литература

1. Jeffrey S. Rosenthal. (2007), A first look at rigorous probability, World Scientific Publishing Co

2. Brzezniak, Zastawniak, (2006), Basic Stochastic Processes, Spinger

3. Fima C. Klebaner, (2006), Introduction to stochastic calculus with applications, Imperial College Press

4. Michael Steele, (2001), Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer

5. David Williams, (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Тематика заданий по различным формам текущего контроля:

Примерные вопросы для письменных работ (общим списком):

Может ли объединение сигма-алгебр не быть сигма-алгеброй?

Нахождение сигма-алгебры порожденной данной дискретной случайной величиной

Может ли функция распределения иметь более чем счетное число разрывов?

Докажите теорему о доминируемой сходимости исходя из леммы Фату

Приведите пример, где . Какое условие теоремы Фубини нарушено?

Верно ли, что из независимости случайных величин X и Y следует независимость и

Следует ли сходимость по мере из сходимости почти наверное?

Пусть две случайные величины одинаково распределены и независимы. Найдите условное ожидание первой, при условии что известна их сумма.

Объясните почему об условном ожидании можно думать как о проекции.

Приведите пример процесса, который одновременно является и субмартингалом и супермартингалом.

Верно ли, что остановленный мартингал остается мартингалом?

Сформулируйте неравенства Дуба

Верно ли, что сумма двух независимых броуновских движений является броуновским движением?

Верно ли, что интеграл Римана можно рассматривать как частный случай интеграла Ито?

Как цена опциона колл зависит от волатильности в модели Блэка-Шоулза?

Тематика письменных работ:

Домашнее задание – темы 1.1.-1.6.

Письменный зачет – темы 1.1.-3.3.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

  1. Определение алгебры и сигма-алгебры.

  2. Определение меры.

  3. Свойства вероятности.

  4. Теорема Каратеодори (план доказательтва).

  5. Мера Лебега.

  6. Монотонная сходимость вероятностей.

  7. Понятие «почти наверное».

  8. Определение измеримой функции.

  9. Существование случайной величины с заданной функцией распределения.

  10. Последовательное определение интеграла.

  11. Теорема о монотонной сходимости.

  12. Лемма Фату.

  13. Теорема о доминируемой сходимости.

  14. Лемма Шефе.

  15. Неравенство Йенсена.

  16. Полнота .

  17. Декартово произведение мер.

  18. Теорема Фубини (план доказательства).

  19. Переход от интеграла Лебега к интегралу Римана.

  20. Независимость сигма-алгебр.

  21. Леммы Бореля-Кантелли.

  22. Виды сходимостей случайных величин. Взаимосвязь между видами сходимостей.

  23. Простейшие свойства случайного блуждания

  24. Условное ожидание

  25. Теорема Радона-Никодима (план доказательства).

  26. Определение мартингала, суб и супермартингалов. Простейшие свойства.

  27. Мартингальное преобразование

  28. Момент остановки, остановленный мартингал.

  29. Теорема об ожидаемом значении мартингала на момент остановки.

  30. Сходимость мартингалов и мартингальные неравенства

  31. Броуновское движение. Определение, свойства.

  32. Определение стохастического интеграла и его свойства

  33. Модель Блэка-Шоулза

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Автор программы: _____________________________/ Демешев Б.Б./




Похожие:

Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Стохастический анализ и моделирование для направления 080100. 68 «экономика» подготовки магистра
Курс «Стохастический анализ и моделирование» рассчитан на один семестр и читается студентам первого курса магистратуры направления...
Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра Автор Демешев Б. Б
Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины: Стохастический анализ для направления 080100. 62 Экономика подготовки бакалавра Автор программы: Б. Б. Демешев
Требования к студентам: Курс «Стохастический анализ» (1-3 Модули учебного плана 2 курса) опирается на курсы «Математического анализа»...
Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Международная система экономического регулирования» для направления 080100. 68 «Экономика» подготовки магистра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 68 «Экономика»...
Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Математический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 «Экономика»...
Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Корпоративные инновации Для направления/специальности 080100. 62 «Экономика» подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 специальности...
Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины для направления подготовки бакалавра специализация «Мировая экономика»
Программа предназначена для студентов направления 080100. 62 «Экономика», обучающихся на 1 курсе бакалавриата факультета мэиМП
Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины Микроэкономика для направления 080100. 62 "Экономика" подготовки бакалавра
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и студентов направления подготовки 080100. 62 «Экономика»,...
Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Математический анализ»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 «Экономика»...
Программа дисциплины Стохастический анализ для направления 080100. 62 «Экономика» iconПрограмма дисциплины «Экономика и политика стран Арабского Востока»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 080100....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org