Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной



страница5/26
Дата28.11.2012
Размер1.85 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   26

Основные теоремы о конечных пределах


Теорема 1. Функция f(x) имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке .

Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в точке.

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует конечный предел суммы этих функций в точке , равный сумме пределов этих функций.

Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1 f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке x0. Пусть , тогда по теореме 1g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке x0. Рассмотрим сумму этих функций:

f(x) + g(x) = A + a(x) + B + β(x) = (A+B) + a(x) + β(x).

Обозначим γ(x) = a(x) + β(x) – бесконечно малая функция в точке x0 (по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f(x) + g(x)=A + B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует предел произведения этих функций в точке, равный произведению пределов этих функций.

Доказательство: Пусть, тогда по теореме 1: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке . Пусть , тогда по теореме 1: g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке . Рассмотрим произведение этих функций:

f(x) × g(x) = (А +a(x))(B + β(x)) = A×B + B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x).


Обозначим: B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x) = γ(x), где γ(x) – бесконечно малая функция в точке (по свойствам бесконечно малых функций). Получим: f(xg(x) = A×B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 4. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), причём , то существует предел частного этих функций в точке , равный частному пределов этих функций, т. е.: если существует и существует , B ≠ 0, то существует

(доказать самостоятельно).

Теорема 5 (о пределе трёх функций). Если существуют равные конечные пределы функций f(x) и g(x) в точке:



и при стремлении x к x0 выполняется неравенство:

φ(x)

то существует φ(x), равный А.

Доказательство: Возьмем любое ? > 0. Вычитая из всех частей двойного неравенства, данного в условии, число A, получим

φ(x) (?)

Так как

,

то найдётся такое ?1, что для всех x ? x0, удовлетворяющих условию

,

будет верно неравенство

,

или, что то же,

(?)

Аналогично для функции g(x) найдётся такое ?2, что для всех x ? x0, удовлетворяющих условию

,

будет верно неравенство

. (?)

Из неравенств, отмеченных (?), следует, что

φ(x),

или, что то же самое

|φ(x)

для всех x ? x0, удовлетворяющих условию , где ? – меньшее из ?1 и ?2. Это означает, что

φ(x).

Теорема доказана.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   26

Похожие:

Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconПланы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных) 1 курс 2 семестр
Повторение: дифференцирование и интегрирование функции одной переменной. Примеры на усмотрение преподавателя
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной icon«Интегральное исчисление функций одной переменной»
Задачи для подготовки к экзамену по теме «Интегральное исчисление функций одной переменной»
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconМодуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3 Понятие неопределенного интеграла и его свойства
Модуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconЛекция №6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной План Непрерывность функции Понятие производной
При рассмотрении графика такой функции мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Если независимая...
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной icon2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,...
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconЛ. С. Гордеев Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих

Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconИнтегральное исчисление функции одной переменной Задание 1
Задание Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconИнтегральное исчисление функции одной переменной
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры “Математические методы и информационные технологии” Дальневосточной академии...
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org