Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной



страница6/26
Дата28.11.2012
Размер1.85 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   26

Первый замечательный предел


Теорема 6. Предел функции в точке существует и равен 1, т.е..

Доказательство:



  1. Пусть угол x > 0 (x ). Площади соотносятся:

(1)

; ; ,

где угол х в радианах.

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей:

,

,



Так как все части двойного неравенства положительные, выражение можно переписать так:



Так как то по теореме 5:

.

  1. Пусть x < 0 (x )

(по доказанному в первом случае). Следовательно,

.

Теорема доказана.

  1. Второй замечательный предел


Теорема 7. Предел функции при xсуществует и равен числу e, т.е.

.

Замечание. Число e является пределом последовательности, причем это число иррациональное, т.е. представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: e = 2,7182818284590… . Более того, число e трансцендентное, т.е. не является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В математическом анализе это число играет особую роль, в частности, является основанием натурального логарифма. Показательная функция с основанием e: , называется экспонентой.
Модификация второго замечательного предела



т.е.

.


  1. § 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

  1. Непрерывность функции в точке и на промежутке


Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0?D(f), если она определена в некоторой окрестности точки x0 и предел f(x) в точке x0 равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Замечание. Из определения 1 следует правило вычисления предела функции в точке её непрерывности:



т.е. предел функции в точке её непрерывности равен значению функции в этой точке.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0?D(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. .

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0?D(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует правый и левый предел f(x) в точке, причём они равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е.

а) ;

б) ;

в) .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 8. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то функции с?f(x) (c=const), f(x) ? g(x), f(x)×g(x) и (если g(x) ¹ 0) также непрерывны в точке x0.

Теорема 9. Если функция u = u(x) непрерывна в точке x0 и функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = u(x0), то сложная функция y = f(u(x)) непрерывна в точке x0.

Теорема 10. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   26

Похожие:

Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconПланы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных) 1 курс 2 семестр
Повторение: дифференцирование и интегрирование функции одной переменной. Примеры на усмотрение преподавателя
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной icon«Интегральное исчисление функций одной переменной»
Задачи для подготовки к экзамену по теме «Интегральное исчисление функций одной переменной»
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconМодуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3 Понятие неопределенного интеграла и его свойства
Модуль Интегральное исчисление функций одной переменной. Неопределенный интеграл 3
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconЛекция №6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной План Непрерывность функции Понятие производной
При рассмотрении графика такой функции мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Если независимая...
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной icon2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,...
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconЛ. С. Гордеев Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих

Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconИнтегральное исчисление функции одной переменной Задание 1
Задание Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconИнтегральное исчисление функции одной переменной
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры “Математические методы и информационные технологии” Дальневосточной академии...
Д. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной iconТема Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org