1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная



Скачать 311.02 Kb.
страница1/5
Дата28.11.2012
Размер311.02 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5

  1. Введение

1.1 Некоторые задачи физики 3

2. Производная

2.1 Скорость изменения функции 6

2.2 Производная функция 7

2.3 Производная степенной функции 8

2.4 Геометрический смысл производной 10

2.5 Дифференцирование функций

2.5.1 Дифференцирование результатов арифметических действий 12

2.5.2 Дифференцирование сложной и обратной функций 13

2.6 Производные параметрически заданных функций 15

3. Дифференциал

3.1 Дифференциал и его геометрический смысл 18

3.2 Свойства дифференциала 21

4. Заключение

4.1 Приложение 1. 26

4.2 Приложение 2. 29

5. Список использованной литературы 32


1.Введение

1.1Некоторые задачи физики. Рассмотрим простые физические явления: прямолинейное движение и линейное распределение массы. Для изучения их вводят соответственно скорость движения и плотность.

Разберем такое явление, как скорость движения и связанные с ним понятия.

Пусть тело совершает прямолинейное движение и нам известно расстояние , проходимое телом за каждое данное время , т. е. нам известно расстояние как функция времени :



Уравнение называется уравнением движения, а определяемая им линия в системе осей - графиком движения.

Рассмотрим движение тела в течение интервала времени от некоторого момента до момента . За время тело прошло путь а за время — путь . Значит, за единиц времени оно прошло путь

gif" name="object16" align=absmiddle width=144 height=27>.

Если движение равномерное, то есть линейная функция :



В этом случае , и отношение показывает, сколько единиц пути приходится на единицу времени ; при этом оно остается постоянным, независящим ни от того, какой момент времени берется, ни от того, какое взято приращение времени . Это постоянное отношение называют скоростью равномерного движения.

Но если движение неравномерное, то отношение зависит

от , и от . Оно называется средней скоростью движения в интервале времени от до и обозначается через :



В течение этого интервала времени при одном и том же пройденном расстоянии движение может происходить самым различным образом; графически это иллюстрируется тем, что между двумя точками на плоскости (точки на рис. 1) можно провести самые различные линии - графики движений в данном интервале времени, причем всем этим разнообразным движениям соответствует одна и та же средняя скорость .

В частности, между точками проходит прямолинейный отрезок , являющийся графиком равномерного в интервале движения. Значит, средняя скорость показывает, с какой скоростью нужно двигаться равномерно для того, чтобы пройти за этот же интервал времени то же расстояние .
















Рис. 1.

Оставляя прежним , уменьшим . Средняя скорость, подсчитанная для измененного интервала , лежащего внутри данного интервала, может быть, разумеется, иной, чем во; всем интервале . Из этого следует, что среднюю скорость нельзя рассматривать как удовлетворительную характеристику движения: она (средняя скорость) зависит от интервала, для которого производится расчет. Исходя из того, что среднюю скорость в интервале следует считать тем лучше характеризующей движение, чем меньше , заставим стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости , то его и принимают в качестве скорости движения в данный момент .

Определение. Скоростью прямолинейного движения в данный момент времени называется предел средней скорости , соответствующей интервалу , при стремлении к нулю:

.

Пример. Запишем закон свободного падения:

.

Для средней скорости падения в интервале времени имеем

,

а для скорости в момент

.

Отсюда видно, что скорость свободного падения пропорциональна времени движения (падения).

2.Производная

Скорость изменения функции. Производная функция. Производная степенной функции.

2.1 Скорость изменения функции. Каждое из четырех специальных понятий: скорость движения, плотность, теплоемкость,

скорость химической реакции, несмотря на существенное различие их физического смысла, является с математической точки зрения, как легко заметить, одной и той же характеристикой соответствующей функции. Все они представляют собой частные виды так называемой скорости изменения функции, определяемой, так же как и перечисленные специальные понятия, с помощью понятия предела.

Разберем поэтому в общем виде вопрос о скорости изменения функции , отвлекаясь от физического смысла переменных .

Пусть сначала - линейная функция:

.

Если независимая переменная получает приращение , то функция получает здесь приращение . Отношение остается постоянным, не зависящим ни от того, при каком функция рассматривается, ни от того, какое взято .

Это отношение называется скоростью изменения линейной функции. Но если функция не линейная, то отношение



зависит и от , и от . Это отношение только «в среднем» характеризует функцию при изменении независимой переменкой от данного до ; оно равно скорости такой линейной функции, которая при взятом имеет то же приращение .

Определение. Отношение называется средней скоростью изменения функции в интервале .

Ясно что чем меньше рассматриваемый интервал, тем лучше средняя скорость характеризует изменение функции, поэтому мы заставляем стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости, то он принимается в качестве меры, скорость изменения функции при данном , и называется скоростью изменения функции.

Определение. Скоростью изменения функции в данной точке называется предел средней скорости изменения функции в интервале при стремлении к нулю:

.

2.2 Производная функция. Скорость изменения функции

определяется посредством такой последовательности действий:

1) по приращению , придаваемому данному значению , находится соответствующее приращение функции

;

2) составляется отношение ;

3) находится предел этого отношения (если он существует)

при произвольном стремлении к нулю.

Как уже отмечалось, если данная функция не линейная,

то отношение зависит и от , и от . Предел этого отношения зависит только от выбранного значения и является, следовательно, функцией от . Если же функция линейная, то рассматриваемый предел не зависит и от , т. е. будет величиной постоянной.

Указанный предел называется производной функцией от функции или просто производной от функции и обозначается так: .Читается: «эф штрих от » или «эф прим от ».

Определение. Производной данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении, этого приращения к нулю:

.

Значение производной функции в какой-либо данной точке обозначается обычно .

Пользуясь введенным определением производной, можно сказать, что:

1) Скорость прямолинейного движения есть производная от

функции по (производная от пути по времени).
  1   2   3   4   5

Похожие:

1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconПравила дифференцирования 1) производная суммы (разности): 2) производная произведения: 3) производная частного
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть
1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconЧастная производная в точке M(x,y)
Частная производная находится как производная функции по аргументу в предложение, что
1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconПроизводная Оглавление Таблица и правила нахождения производно
Производная произведения равна производной первого множителя, умноженного на второй множитель, плюс производная второго множителя,...
1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconДифференциальные уравнения производная и дифференциал Производная функции у = f
Производная функции у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении...
1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconВыпуклость, вогнутость и точки перегиба функции
Вторая производная. Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x0 ), то её производная называется второй...
1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconЗадача для однородного уравнения колебания струны с однородными граничными условиями на отрезке. Решение данной задачи методом разделения переменных
Задачи мат физики. Понятие математической модели. Корректность задачи по Адамару
1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconЕ. А. Рыбакина начально-краевые задачи математической физики
Начально краевые задачи математической физики: учебное пособие / Е. А. Рыбакина; Балт гос техн ун-т. Спб., 2005. 49 с
1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconПроизводная и дифференциал высших порядков
Если же существует производная от функции, то данную производную, называют производной второго порядка. Производную функции в точке...
1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconВопросы к экзамену по курсу «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
Дифференцирование отображений нормированных пространств. Производная по направлению, по Гато, по Фреше, строгая производная
1. 1 Некоторые задачи физики 3 Производная iconСтатья из сборника "Некоторые вопросы физики космоса"
В статье приводятся выводы из рассмотрения наблюдательного материала по спектрам галактик и анализируются некоторые недоплеровские...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org