Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной»



Скачать 113.27 Kb.
Дата28.11.2012
Размер113.27 Kb.
ТипКонтрольная работа
Контрольная работа

по теме «Производная функции одной переменной»

для студентов ФЗТА.

Данная контрольная работа должна позволить и студенту, и преподавателю оценить уровень усвоения указанной темы. Работа рассчитана на два академических часа и выполняется самостоятельно. В каждом варианте 7 заданий.

Выполнение заданий №1, №2, №4 предполагает знание основных правил дифференцирования и правила дифференцирования сложных функций с помощью таблицы производных.

Основные правила дифференцирования таковы:

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда

1)

2)

3) ,

4) , где Cconst.
Для эффективного дифференцирования сложных функций полезна таблица основных элементарных функций, аргумент которых есть тоже функция. Итак, пусть , где . Тогда


1. , C – const

2. , n – const

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.


10.

11.

12.

13. , , ,

a – const

14.

15. , , ,

a – const

16.


В задании №3 нужно найти производную третьего порядка согласно формулам:

, .

Задания №5-№7 посвящены приложениям производной. В зависимости от номера варианта нужно уметь составить уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке, вычислить приближенно некоторое арифметическое выражение с помощью формул приближенных вычислений, по закону движения точки найти её скорость и ускорение, найти предел функции в точке (предполагается знание правила Лопиталя).

Примерные варианты контрольной работы
Вариант-1.

Задание №1.

Найти производную и дифференциал:


Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где .

По формуленайдем производную данной функции.

[Производную дроби находим по правилу дифференцирования ]



.
Дифференциал функции ищем по формуле:
.


Ответ: ; .


Задание №2.

Найти производную и дифференциал:
.
Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования: 1) ;

2)

[справедливы следующие формулы:]

.
Дифференциал функции ищем по формуле:
.
.

Ответ: ;


Задание №3.

Найти -?

Решение: найдем от данной функции. Воспользуемся формулой:

.

.
Найдем
.
Теперь найдем .
.
Ответ: .


Задание №4.

Доказать, что .
Для доказательства найдем производную в левой части равенства. Воспользуемся следующим правилом дифференцирования:, т.е.



.
Получим, что левая часть равна правой.

Что и следовало доказать.

Задание №5.

Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону , . Определить скорость и ускорение движения в момент времени .
Решение:

;



Ответ: ; .


Задание №6.

Вычислить приближенно: .

Решение: для приближенного вычисления будем использовать формулу:

(*)

В нашем случае следует взять . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, x = 0,5 .

Подставим эти значения в формулу (*):


Ответ: .

Задание №7.

Найти: .
Решение: [Воспользуемся правилом Лопиталя: ]=


Ответ: .


Вариант - 2.
Задание №1.

Найти производную и дифференциал:

Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где .

По формуле найдем производную данной функции.

[производная дроби находим по правилу дифференцирования ]
=.
Дифференциал функции ищем по формуле:


Ответ: ; .

Задание №2.

Найти производную и дифференциал:

Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования: 1)

2)

[справедливы следующие формулы:

.

Дифференциал функции ищем по формуле:



Ответ:


Задание №3.

Найти:


Решение: найдем от данной функции, используя формулу и правило дифференцирования

.
Найдем .

.
Теперь найдем


Ответ: .

Задание №4.

Определить:

Решение:
1). Найдем по формуле


2). Воспользовавшись формулой , найдем производную функции .


3).
4).
Получили, что .

Что и требовалось доказать.

Задание №5.

Составить уравнение касательных к параболе в точках с ординатой равной 1.
Решение: запишем уравнение касательной .

В нашем случае .

Для нахождения , подставим значение в заданную функцию.







Получили две точки: .


Ответ: .


Задание №6.

Вычислить приближенно:
Решение: Для приближенного вычисления будем использовать формулу:

В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, .

Подставим эти значения в формулу:


Ответ:

Задание №7.

Найти:

Решение: = [Воспользуемся правилом Лопиталя: ]=
.
Ответ: .


Вариант-3.

Задание №1.

Найти производную и дифференциал:


Решение: с помощью формулы логарифмирования степени , перепишем данную функцию в следующем виде: , где .

По формуле найдем производную данной функции.

[производную дроби находим по правилу дифференцирования ]=

= .
Дифференциал функции ищем по формуле:



Ответ: ; .

Задание №2.

Найти производную и дифференциал:
.
Решение: для нахождения производной данной функции используем два правила дифференцирования:
1) ;
2)


=[справедливы следующие формулы: ; ]= =.
Дифференциал функции ищем по формуле:



Ответ: ; .

Задание №3

. Найти -?

Решение: найдем от данной функции. Воспользуемся формулой

.




Найдем



Теперь найдем .



Ответ: .

Задание №4.

Доказать, что .

Для доказательства найдем производную в левой части равенства. Воспользуемся следующим правилом дифференцирования: , т.е.





Получаем, что левая часть равна правой.

Что и требовалось доказать.

Задание №5.

Тело движется прямолинейно по закону. Найти скорость и ускорение движения в конце 1-ой секунды.
Решение:

;



Т.к. в нашем случае , то
.




Ответ: ; .

Задание №6.

Вычислить приближенно .

Решение: для приближенного вычисления будем использовать формулу:

(*).

В нашем случае следует взять ; ; . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю. Например, .

Подставим эти значения в формулу (*):


Ответ: .

Задание №7.

Найти:
Решение: =[Воспользуемся правилом Лопиталя: ]=


Ответ: .

Дополнительно можно воспользоваться следующей литературой.

  1. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. Под редакцией Б.П. Демидовича.

  2. Т.П. Джугели, В.П. Моисеенко, Л.Г. Кудинова. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания. М.:МГАВМ и Б им. К.И. Скрябина, 2006г.

  3. Т.П. Джугели, В.П. Моисеенко, Т.В. Федькина. Функции нескольких переменных. Учебно-методические указания. М.: ФГОУ ВПО МГАВМ и Б им. К.И.Скрябина, 2004г.

Похожие:

Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» iconКонтрольная работа по теме «Производная функции одной переменной»
Данная контрольная работа должна позволить и студенту, и преподавателю оценить уровень усвоения указанной темы. Работа рассчитана...
Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» iconЗанятие №1 Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции. Теоретические вопросы
Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы,...
Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» icon2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,...
Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» iconКонтрольная работа. Раздел «Предел и непрерывность функции действительной переменной»
Тематика и примеры контрольных заданий и вопросов (контрольная работа, индивидуальные типовые расчеты, коллоквиумы)
Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» iconЛабораторная работа №9. Тема. Построение графика функции одной переменной в среде Matchcad
Цель. Закрепить знания построения графика функции одной переменной. Научиться строить графики тригонометрических функций в среде...
Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» iconУрок закрепление по теме: «Производная»
Цель урока: обобщить знания по теме «Производная степенной функции, тригонометрических функций, сложной функции», развивать навыки...
Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» iconКонтрольные вопросы к зачету по предмету " Математика"
Постоянные и переменные величины. Понятие функции с одной переменной. Область определения и область изменения функции. График функции...
Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» iconПравила дифференцирования 1) производная суммы (разности): 2) производная произведения: 3) производная частного
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть
Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» iconКонтрольная работа №3 «Уравнения и неравенства с одной переменной»

Контрольная работа по теме «Производная функции одной переменной» iconДифференциальные уравнения производная и дифференциал Производная функции у = f
Производная функции у = f(х), в точке х0 определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org