Функции нескольких переменных



Скачать 76.26 Kb.
Дата28.11.2012
Размер76.26 Kb.
ТипДокументы
Тема: Функции нескольких переменных
Рассмотрим функцию двух переменных. Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности .

Рассмотрим частное приращение функции по переменной в точке :

, где .

Частной производной по переменной от функции называется предел отношения приращения по переменной к приращению аргумента при стремлении к нулю.

Частная производная по переменной обозначается одним из символов . Таким образом, по определению имеем:

.

Аналогично вводится определение частной производной по переменной от функции двух переменных :

.

Частная производная по переменной , т.е. когда , выражает скорость изменения функции по направлению , т.е. переменной .

Частная производная по переменной выражает скорость изменения функции по направлению оси gif" name="object25" align=absmiddle width=23 height=20>.

Из определения частных производных видно, что находится в предположении, что – постоянная величина; находится в предположении, что – постоянна. Следовательно, правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными ранее для функций одной переменной. Необходимо только каждый раз помнить по какой переменной ищется производная.

Примеры. Найти частные производные от функций

1. , 2. .

Решение.

1. . 2. .

Частные производные любого числа переменных определяются аналогично и подчиняются тем же правилам. Например, для функции:

частные производные будут .

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция определена в некоторой области и имеет в ней частные производные , каждая из этих производных, вообще говоря, также является функцией переменных и .

Если функция имеет в т. производную по , то она называется частной производной второго порядка по х от функции в т. .

Обозначение: . Так как каждую из функций

можно дифференцировать по и по , то функция двух переменных может, вообще говоря, иметь четыре частные производные 2-го порядка:

.

Частная производная высшего порядка, взятая по различным переменным, например, , называется смешанной частной производной.

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков.

Пример. Найти смешанные производные 2-го порядка от функции .

Решение. Последовательно находим производные:





Получили равные смешанные производные. Справедлива следующая теорема о смешанных производных:

Пусть функция определена вместе со своими частными производными в окрестности точки и смешанные производные непрерывны в точке . Тогда в этой точке смешанные производные равны т.е. .
Экстремум функции двух переменных

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует окрестность точки , т.е., что выполняется неравенство (соответственно ). Максимум или минимум функции называется экстремумом. Вводя обозначения , неравенства:

1) при – означает максимум в т. ;

2) при – означает минимум в т. .
Необходимые условия экстремума

Теорема. Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то в этой точке частные производные равны нулю, т.е.

(5)

Точки, в которых выполняется условие (5), называются стационарными точками. Таким образом, если т. – точка экстремума, то она либо стационарная, либо в этой точке функция не дифференцируема (критическая точка).

Достаточные условия экстремума

Пусть т. – стационарная точка функции , причем, эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности этой точки и все ее вторые частные производные непрерывны в точке . Введем обозначения:

, .

Тогда:

1) если , то функция имеет в точке экстремум, а именно – максимум при и минимум при ;

2) если , то экстремум в точке отсутствует;

3) если , то требуется дополнительное исследование.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Найдем частные производные и составим систему уравнений вида (5):

.

Находим стационарные точки и . Выясним характер этих точек согласно достаточным условиям экстремума. Для этого находим частные производные второго порядка:

.

В каждой стационарной точке найдем значение .

Для точки

.

Следовательно, экстремума в т. нет. Для точки . Следовательно, в т. функция имеет минимум, равный .

Условный экстремум

Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функции не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию. Например, найти экстремум функции , аргументы которой удовлетворяют условию

. (6)

Условие (6) называется уравнением связи.

Определение. Точка называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки , что для любых , удовлетворяющих уравнению связи (6) выполняются, соответственно, неравенства:

или с учетом обозначения , они принимают вид:

.

Для отыскания условного экстремума вводится вспомогательная функция – функция Лагранжа: , где – множитель Лагранжа и отыскивается ее экстремум.

Необходимые условия экстремума определяются системой уравнений:



из которых находятся стационарные точки и множители Лагранжа.

Достаточные условия экстремума связаны с изучением знака дифференциала 2-го порядка исследуемой функции, в частности в стационарной точке .

Нетрудно убедиться, согласно формуле Тейлора (1), что знак дифференциала 2-го порядка в стационарной точке определяет знак приращения функции в этой точке (дифференциал первого порядка равен нулю).

Или иначе, на основании неравенств



делается вывод об условном экстремуме функции в точке , а именно,

при - условный максимум,

- условный минимум.

Пример. Найти условный экстремум функции при .

Решение. Составим функцию Лагранжа:

.

Найдем стационарные точки и множители Лагранжа:



Исследуем знак дифференциала для найденных параметров. Так как то при и поэтому функция имеет условный минимум в т. . При , следовательно, в точке функция имеет условный максимум, причем

.

Другой способ:



следовательно, ,

т.е. функция имеет условный минимум в точке . Аналогично, для точки т.е. т. – точка условного максимума.

Условный экстремум функции трех и более переменных при наличии уравнений связи определяется аналогично.

Пусть, например, требуется найти экстремум функции при условиях, что и .

Составляется функция Лагранжа



и рассматривают систему уравнений:

, из которой определяют значения , где – координаты точки возможного экстремума; – множители Лагранжа. Данная система уравнений дает необходимый признак условного экстремума функции .

Пример. Найти условный экстремум функции , при условии, что .

Решение. Составим функцию Лагранжа

и найдем стационарные точки, множитель Лагранжа из необходимого признака условного экстремума. Получим следующую систему уравнений:

.

Стационарные точки исследуем с помощью достаточного признака экстремума. Найдем частные производные 2-го порядка и определим знак дифференциала 2-го порядка в данных точках.

И так,

  1. При т.е. в т. имеем условный максимум, .

  2. При т.е. в т. имеем условный

минимум, .

Похожие:

Функции нескольких переменных iconПамятка для студентов групп 5пгс-61, 5тгв-61, 5иит-61, 5Э-61, 5тм-61, 5пиэ-61 по изучению дисциплины Математика (семестр 3)
Дифференцирование функций нескольких переменных. Замена переменных и якобианы. Разложение функции нескольких переменных в ряд Тейлора....
Функции нескольких переменных iconСписок вопросов к теоретической части экзамена по математике гр. 1/30, 31, 32, 33 семестр 2 учебный год 2011/2012 Модуль Функции нескольких переменных /6 часов
Определение функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Частное и полное приращение функции....
Функции нескольких переменных iconФункции нескольких переменных § Функции нескольких переменных. Основные понятия
Определение. Пусть ℝ. Функция, заданная на множестве и имеющая областью значений множество ℝ, называется функцией переменных
Функции нескольких переменных iconФункции нескольких переменных
Реальные явления и процессы, как правило, зависят от нескольких переменных. Поэтому необходимо расширить известное понятие функциональной...
Функции нескольких переменных iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине Понятие множества. Операции над множествами и их свойства
Фурье. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных....
Функции нескольких переменных iconЛекция 19. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т к все полученные результаты...
Функции нескольких переменных iconВопросы для текущего контроля и подготовки к зачету и экзамену
Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций нескольких переменных, непрерывных в точке
Функции нескольких переменных iconГосударственный образовательный
Несобственные интегралы. Точечные множества в n – мерном пространстве. Функции нескольких переменных, их непрерывность. Производные...
Функции нескольких переменных iconФункции нескольких переменных
Если для каждой точки, существует единствен­ное число, то на (область определения) задана функция переменных, причем множество –...
Функции нескольких переменных iconМетодические указания «Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы»
Методические указания по изучению темы «Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы» содержат теоре-тические...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org