Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама



Скачать 28.03 Kb.
Дата28.11.2012
Размер28.03 Kb.
ТипДокументы

УДК 51(06) Проблемы современной математики

Е.Д. БУМАРИН

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКИХ

ПОРЯДКОВ В МОДЕЛИ ФЕРМИ – ПАСТА – УЛАМА
Для описания модели Ферми-Паста-Улама получены нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Ищутся точные аналитические решения данных уравнений при помощи недавно предложенного нового метода – метода простейших уравнений. Обсуждаются полученные решения.
Модель Ферми-Паста-Улама [1] представляет собой одномерную систему точечных масс, в которой соседние массы соединены пружинами. Возвращающая сила пружины аппроксимируется многочленом второй или высшей степени по l – растяжению пружины (в отличие от закона Гука, где возвращающая сила является линейной функцией). В данной работе возвращающая сила аппроксимируется многочленом второй и третьей степени.

В работе рассматривается приближенная модель c непрерывным распределением масс в цепочке (предложено М. Крускалом и Н. Забуски [2]). Переход к непрерывному приближению осуществляется в предположении неограниченного увеличения числа масс и уменьшения расстояния между ними. При этом отклонение j-той частицы от положения равновесия uj(t) аппроксимируется функцией u(x, t). В результате uj1(t) перейдет в u(xh, t), где h – малый параметр, имеющий смысл расстояния между частицами. Разложив u(xh, t) в ряд Тейлора по h и подставив разложение в уравнение движения j-той частицы, получим уравнение в частных производных (УЧП) относительно u(xt) [3]. Сохранив в разложении члены до второго порядка по h, имеем линейное волновое уравнение; с точностью до членов четвертого порядка по h имеем известное уравнение Буссинеска для описания волн на воде. В данной работе рассматривается приближение с точностью до членов пятого и шестого порядка. При этом получены нелинейные УЧП четвертого и пятого порядка.

Цель работы – найти точные решения полученных уравнений. Решения ищутся в виде бегущих волн. В переменных бегущей волны найденные УЧП переходят в ОДУ. При этом для ОДУ, которые получаются из УЧП четвертого порядка, строится общее решение в квадратурах.

ОДУ, полученные из УЧП пятого порядка, не обладают свойством Пенлеве и для них невозможно построить точное общее решение. Поэтому интересно отыскать точные частные решения данных уравнений. Для поиска точных решений используется метод простейших уравнений, недавно предложенный Н. А.
 Кудряшовым [4] как обобщение известных методов поиска точных решений (tan-метод [5], sn-метод, методы тригонометрических функций [6]). Основная идея подхода заключается в попытке выразить решение нелинейного ОДУ высокого порядка через известное решение другого нелинейного ОДУ более низкого порядка, принимая во внимание особые точки решений обоих уравнений.

В результате применения метода простейших уравнений получены точные решения, выраженные через эллиптические функции Якоби, а также через экспоненциальную функцию. Наибольший физический интерес представляют финитные решения на действительной оси. Такими решениями являются кноидальные волны (периодические волны, профиль которых описывается эллиптическими функциями sn или cn), а также волны переключения. Множество найденных решений, неограниченных на действительной оси, также представляет интерес при анализе задач для уравнений на конечном отрезке, не включающем особые точки решения.

Результаты данной работы могут представлять интерес при качественном анализе волновых процессов, проходящих в длинных полимерных молекулах.
Список литературы

  1. Fermi E., Pasta J. and Ulam S.M. Studies in nonlinear problems. Tech. Rep., LA – 1940, Los-Alamos Sci. Lab.

  2. Zabuski N.J., Kruskal M.D. Interaction of “solitons” in a collisionless plasma and the recurrence of initial states. Phys. Rev. Lett. 1965, v. 15, p. 240-243.

  3. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 360с.

  4. Kudryashov N. A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations. arXiv:nlin.SI/0406007, v. 1, 4 June 2004.

  5. Malfliet W., Herman W., The tanh method: I. Exact solutions of nonlinear evolution and wave equations. Physica Scripta, 12/1996, v 54, p. 563.

  6. Yan C., A simple transformation for nonlinear waves. Phys. Lett. A. 1996, v. 224, p. 77-84.




ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 7

Похожие:

Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconДисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к дисциплинам базовой части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы по направлению 011800 «Радиофизика», преподается во 2 семестре
Содержание дисциплины «Дифференциальные уравнения» направлено на ознакомление студентов с методами решения простейших дифференциальных...
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconМатематические модели. Математические модели оу и тп. Математическая модель (ММ)
...
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconТочные решения обобщенных уравнений типа рассматривается класс уравнений типа
Рассматривается класс уравнений типа. Используя переменную бегущей волны и метод простейших уравнений, построены точные решения для...
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconИсследование алгоритмов решения некоторых типов дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного
Рассмотрены алгоритмы решения некоторых типов неоднородных линейных дифференциальных уравнений в коммутативных гиперкомплексных числовых...
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconСпециальность: математика
Обоснование численных методов решения дифференциальных, интегро-дифференциальных, функционально-дифференциальных и дифференциально-операторных...
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconМетод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В работе предлагается численный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconГраф научных интересов
Развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, интегральных, интегро-дифференциальных,...
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconГраф научных интересов
Развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, интегральных, интегро-дифференциальных,...
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconПрименимость компактно поддерживаемых нейронных сетей для решения дифференциальных уравнений в частных
В работе рассматриваются численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (дучп). Предложено использование...
Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков в модели ферми паста улама iconТема № методы решения систем нелинейных уравнений план
В частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов которыми можно решать линейные...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org