Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде



Скачать 34.76 Kb.
Дата28.11.2012
Размер34.76 Kb.
ТипРешение
Вывод кинетического уравнения (уравнение типа Фоккера-Планка).
Уравнение для классической плотности распределения : (Лиувилль)

,

где ,

где ;
Перепишем (тождественно) уравнение Лиувилля в виде:

,

где , ;

или же :

;

Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде:

;

Хочется чтобы была квазиравновесной и факторизовалась. Для этого надо, чтобы наше время t далеко отстояло от , но предела может и не существовать (например периодическая функция) (теорема Пуанкаре о возвратах). Обходим эту трудность с помощью «теоремы Абеля»:

,

если предел левой части существует.

В итоге:

, (П1.1)

Функцию можно считать квазиравновесной (). Предельный переход выполняется после термодинамического предельного перехода (к системе, состоящей из бесконечного числа частиц , теорема Пуанкаре уже не применима).

Проинтегрируем (П1.1) по частям:



;

Отсюда хорошо видно, что

gif" name="object22" align=absmiddle width=205 height=32>.

Продифференцировав (П1.1) по t, получим:

, (П1.2)

Добавим граничное условие факторизации:

, где есть условная функция распределения.

Таким образом (П1.2) принимает вид :

;

Проинтегрируем его по переменным твёрдого тела :


Учтём ,что

;

;

;

;

От правой части получается 0. Итого:

; (П1.3)

Формальное решение уравнения (П1.2) имеет вид (П1.1) :





Проинтегрируем по частям

=;

Подставляем это в правую часть (П1.3) , получим:

; (П1.4)

Заметим, что:



где F - средняя сила, действующая на броуновскую частицу со стороны твёрдого тела (равновесного).

Напомним, что:

;

Неплохо бы упростить как-то правую часть полученного кинетического уравнения, используя иерархию времён задачи и другие ограничения, а именно :

-размер ямы ;

-время релаксации частицы на твёрдом теле (характерное время изменения ) ;

-время релаксации броуновской частицы в потенциальной яме ;

-время релаксации твёрдого тела.

Так как и , видим что , в основном, набирает своё значение на интервале . Следуя временному соотношению , заметим что и может быть вынесено из под знака интеграла .

Напишем явный вид для условной плотности распределения твёрдого тела :

;

Ограничимся квадратичным по взаимодействию приближением и повозимся с интересующим нас членом (столкновительным интегралом). Исходно:









Итого, собирая всё вместе, получаем искомое кинетическое уравнение :

(П1.5)



где под подразумевается . Попробуем упростить дальше и вытащить из под интеграла , а сами интегралы представить в виде констант. Например:





зададимся вопросом, в каких случаях не зависит от ? Можно записать , а если среда однородна и броуновская частица в толще , то и вовсе .

Пусть масса броуновской частицы много больше массы собственной , тогда подвижностью броуновской частицы можно пренебречь и написать :



Если же имеется какая-либо доменная структура во флуктуациях собственных частиц , то так можно записать не пользуясь предложением , а в силу , где -число частиц в домене.

В силу вышеизложенного наше кинетическое уравнение принимает вид:

(П1.6)

где ; ;

;

;

Похожие:

Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconРешение однородного уравнения: y-9y =0 k 2 -9=0; k 1 = -3, k 2 =3
Так как в правой части уравнения мы имеем функцию 51е-х и k=-1 не является корнем характеристического уравнения, то y* будем искать...
Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconРешение в виде бесконечного ряда Найти гармоническую функцию, принимающую на границе области решения заданные значения
Методика решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом Фурье (решение в виде бесконечного ряда)
Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconУравнения Уравнением называется равенство, содержащее одно или несколько неизвестных. Корень уравнения
Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую и при этом изменить знак этого слагаемого на противоположный,...
Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconРешение дифференциального уравнения. Начальные условия и задача Коши
...
Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconРешение уравнения 2 Общее решение дифференциального уравнения
Для дифференциального уравнения найти частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям y(0)=1
Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconРешение квадратных уравнений на компьютере учитель моу гжатской сош
Алгоритм решения данной задачи сначала должен быть представлен в виде словесного описания или графически в виде блок-схемы. Алгоритм...
Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconРешение. Обозначим, где. Тогда   Таким образом,, поскольку область значений арксинуса. Значит. Ответ
Решение. Из первого уравнения системы следует, что и. Числитель дроби в левой части первого уравнения равен нулю, если. Рассмотрев...
Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconРешение кубического уравнения в общем виде. От общего кубического уравнения к упрощённому
Заменой уравнение 1 приведётся к виду, таким образом уравнение (1) при велось к виду (2)
Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconРешение уравнения? Тождественное преобразование. Основные виды тождественных преобразований
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена...
Решение этого уравнения (если L не зависит от t ) представим в виде iconРешение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
В этом случае решение уравнения 1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org