2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона



Скачать 137.41 Kb.
Дата28.11.2012
Размер137.41 Kb.
ТипДокументы
2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ - СЖАТИЕ
2.1. Закон Гука. Закон Пуассона
Если из всех внутренних сил, только продольные силы N не равны нулю, а остальные внутренние силы отсутствуют, то стержень испытывает центральное растяжение (сжатие). Экспериментально показано, что с учетом принципа Сен-Венана напряжения в сечении стержня при центральном растяжении (сжатии) распределяются равномерно

. ( 2.1 )

Здесь А – площадь поперечного сечения стержня. Экспериментально показано, что удлинение стержня ( рис. 2.1,а ) прямо пропорционально его длине и действующей нагрузке и обратно пропорционально площади поперечного сечения и зависит от материала. . Для определения силы N используют

а б метод сечений ( рис. 2.1,б )

Рис. 2.1 SFZ = 0, N - F = 0, N = F

Тогда . ( 2.2 )

Эта формула называется законом Гука для абсолютных удлинений. E – постоянная величина, характеризующая данный материал. Она называется модулем Юнга или модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода, измеряется в Па ( МПа = 106 Па ) . Для сталей Е = (1,8 ÷ 2,1) * 105 МПа. Е * А – жесткость тела при растяжении (сжатии), чем она больше, тем меньше перемещение. Относительное удлинение деформированного стержня или продольная деформация

. Разделим обе части ( 2.2 ) на , получим .

Откуда выражение закона Гука для материала запишется

или ( 2.3 )

Поперечное сечение стержня при растяжении сужается и его размеры уменьшаются. Величина Dа = а1 – а0 называется абсолютным сужением.

- поперечная деформация или относительное сужение.

Пуассон установил, что для изотропных материалов отношение поперечной деформации к продольной для каждого материала, есть величина постоянная, называемая коэффициентом Пуассона μ. Закон Пуассона записывается в виде

или (2.
4)

Минус в формуле стоит потому, что поперечная и продольная деформации разных знаков, а .
2.2. Экспериментальные методы
В сопротивлении материалов некоторые величины можно найти только экспериментальным путем. Неразрушающие методы испытаний чаще всего применяют для конструкций, а разрушающие - для материалов.

Рассмотрим испытание на растяжение. Специально изготовленный образец из исследуемого материала крепится к захватам испытательной машины и растягивается. При испытаниях на растяжение происходит автоматическая запись диаграммы растяжения, связывающая удлинение образца и растягивающую силу. Это диаграмма растяжения конкретного образца. Для получения диаграммы растяжения материала, из которого сделан образец, все абсциссы делим на первоначальную длину , а все ординаты N делим на первоначальную площадь сечения образца А. Получаем диаграмму ( рис. 2.2 ) в координатах

и .

Вид кривой не меняется, меняется только масштаб. Опишем характерные участки и точки диаграммы. Участок ОВ – прямая линия, деформации и напряжения прямо пропорциональны, то

есть на участке ОВ выполняется закон Гука . Точке В диаграммы соответствует последнее (предельное) напряжение, при котором сохраняется прямая пропорциональность между напряжением и деформацией.

Напряжение, соответствующее этой точке, называется пределом пропорциональности .От точки В до точки С пропорциональность не выполняется, но материал остается упругим, то есть после снятия нагрузки диаграмма вернется в точку О.

В точке С упругость кончается и напряжение, соответствующее точке С, называется пределом упругости . Участок DF – горизонтальная прямая. Она называется площадкой текучести. От D до F материал “течет”, то есть деформируется без увеличения нагрузки. Если образец полированный, то на его поверхности можно увидеть линии Чернова – Людерса, расположенные под углом 450. Напряжение, соответствующее этой площадке, называется пределом текучести . Далее FK – участок упрочнения. До точки К образец растягивался по длине и сужался по площади равномерно. Около точки К на образце появляется местное сужение, называемое шейкой, и в точке L образец разрушается. Напряжение, соответствующее точке К, называется временным сопротивлением ( или пределом прочности , что точно для материалов, разрушающихся без образования шейки ).

Если образец нагрузить до точки Z, а потом снять нагрузку, то диаграмма разгрузки представляет собой прямую линию параллельную ОВ. Полная деформация в точке Z равна ОО2=ε. Она состоит из упругой деформации О1О2 = и остаточной (пластической) деформации ОО1 = . Если разгруженный образец нагрузить снова, то его диаграмма растяжения опишется линией O1 Z K L. При этом увеличивается упругая зона, это явление называется наклепом и применяется в промышленности для тех изделий, у которых по характеру работы желательно, чтобы пластическая деформация была минимальна.

Величины – называют механическими характеристиками материала. При механических испытаниях материалов, получаются их механические характеристики. Технологическими пробами – называются испытания, дающие не объективные, а сравнительные характеристики материалов при строго регламентированных условиях.

При переходе от диаграммы с координатами , к диаграмме в координатах , делим на первоначальную длину образца, а N делим на первоначальную площадь. Но в каждой момент времени при растяжении длина образца увеличивается, а площадь уменьшается. Если делить на текущую длину образца, а N на текущую площадь, то получится истинная диаграмма растяжения, изображенная на рисунке штриховой линией. При сжатии диаграмма имеет точно такую же форму и характеристики, только пластичный материал будет сплющиваться, и постепенно его площадь увеличится так, что испытательные машины не смогут сжимать его дальше.

Если в диаграмме растяжения или сжатия присутствуют площадки текучести, явно или не совсем явно выраженные, то такой материал называется пластичным. Материал, у которого площадки текучести нет, называется хрупким.

При испытаниях конструкций и материалов используют тензометры – приборы, которые позволяет измерять изменение некоторого расстояния l0, называемого базой тензометра. Тензометры бывают: механические, оптические, электрические и другие.



Рис.2.3

Механические тензометры.

Схематически, механический тензометр рычажного типа (рис. 2.3 ) состоит из основы 2, на которой расположены неподвижная 3 и подвижная 4 опоры, а также шкала 5, соединенная с основой, стрелка 6, прикрепленная к подвижной опоре 4. Пока образец не нагружен, расстояние между неподвижной и подвижной опорами равняется l0. Если образец растягивать, то точка, в которой упирается подвижная пора, переместится вправо и подвижная опора повернется, повернется стрелка и на шкале увидим величину, соответствующую абсолютному удлинению образца на длину Δl0. Находим продольную деформацию ε = Δl0/l0 и напряжение σ =Е*ε. К такому типу относятся, например тензометр Гугенбергера и тензометр МИЛ, которые имеют многоступенчатую систему рычагов и позволяют получить достаточно большое увеличение.

В механических тензометрах Бояршинова и Морозова, схематически представленных на рис. 2.4, используются два индикатора часового типа для того, чтобы компенсировать возможный перекос частей станины.

Достоинства механических тензометров в том, что они достаточно простые, не требует дополнительных источников энергии, а недостатки их в том, что они имеет сравнительно большие размеры, не везде их можно

закрепить, надо находиться около них, чтобы снимать показания.

Оптический тензометр. Схематически устроен так же, как и механический тензометр рычажного типа, но вместо стрелки к подвижной опоре крепится зеркало, на которое направляется луч от источника света или лазера. При повороте опоры перемещается отраженный от зеркала луч. Шкала может располагаться далеко от зеркала, что повышает точность, но необходимы затемненные помещения и источник света.

Электрический тензометр сопротивления – тензорезистор.

Это наиболее распространенный тензометр ( рис. 2.5 ). Состоит из следующих элементов:

  1. Подложки из полиэтилена или тонкой бумаги ;

  2. Тонкой проволоки из материала с высоким удельным сопротивлением , слабо зависящим от температуры;

  3. Полосок из фольги;

  4. Устройств для крепления проводов.

Электрический тензометр сопротивления наклеивают так, чтобы длинные витки проволоки были параллельны деформации. При растяжении, например, l растет, а A – уменьшается и меняется сопротивление проволоки Обычно изменение сопротивления проволоки измеряется с помощью мостиковой схемы, в которой используют компенсационный тензорезистор, то есть точно такой же тензорезистор, который приклеивается на такой же материал и находится рядом с рабочим тензорезистором для компенсации влияния температуры на удлинение материала.

Преимущества: малые размеры, средства измерения могут быть расположены вдали от датчика, высокая точность измерения.

Рассмотрим еще несколько неразрушающих методов испытаний.

Поляризационно-оптический метод исследования напряжений.

Если во всех предыдущих способах измерялась деформация, то при этом методе ( рис. 2.6 ) измеряются напряжения. Изготавливается модель детали из прозрачного оптически активного материала. Оптически активный материал меняет плоскость поляризации проходящего через него света при изменении напряжения в материале. Луч света содержит волны с различными плоскостями поляризации. После поляризатора остаются волны только с одной, например вертикальной, плоскостью поляризации. Если модель детали не нагружена, то проходя через нее, направление плоскости волны не меняется, а так как анализатор пропускает только волны с перпендикулярной анализатору, например, горизонтальной плоскостью поляризации, то экран будет темным, так как таких волн нет. Если модель детали нагрузить, то в каждой точке, в зависимости от напряжения, плоскость световой волны повернется, возникнут горизонтальные составляющие, которые пройдут через анализатор и экран в каждой точке будет освещен с разной интенсивностью. Полученная картина обрабатывается на компьютере, и находятся напряжения в каждой точке модели.

Метод хрупких лаковых покрытий Деталь покрывают лаком, который застывает. Застывший лак должен быть хрупким. Затем деталь нагружают, и лак растрескивается в тех местах, где возникают наибольшие деформции. Количественной оценки метод не дает, но показывает, в какие места и в каком направлении нужно клеить тензорезисторы. Если деталь работает на сжатие, то вначале деталь сжимают, потом покрывают хрупким лаком и после застывания лака деталь разгружают.

Метод муаровых полос. Если взять две достаточно частые сетки и наложить их друг на друга, то при взаимном их смещении возникнет картина, называемая муар. Одну сетку наносят на деталь, а другую оставляют в качестве основной. При деформировании, первая сетка смещается относительно второй, полученную картину муара фотографируют и обрабатывают на компьютере. Метод позволяет получить перемещения всех точек конструкции, на которые нанесена сетка.

Рентгеновский метод определения напряжений. В любом материале с помощью физических расчетов, можно абсолютно точно рассчитать расстояние между атомами для определенных плоскостей кристаллической решетки в данном конкретном кристалле. При действии нагрузки, расстояние между атомами меняется. Рентгеновский способ позволяет найти изменения расстояния. Поверхность детали облучают рентгеновскими лучами. Глубина облучения составляет 0,002 – 0.02 мм.

Анализ напряжений или деформаций основан на использовании дифракционного уравнения Брэгга n = 2d sin, где n – целое число – порядок дифракции,  - длина волны падающего рентгеновского луча, d – расстояние между плоскостями атомной решетки для данного материала,  - угол Брэгга – угол падения и дифракции. Изменение расстояния d между атомными плоскостями ведет к изменеиию угла Брэгга на , так что деформацию решетки можно определить по формуле  = d/d = - (ctg) . Затем деформация решетки пересчитывается в напряжения.

Это неразрушающий метод, который позволяет найти абсолютные напряжения в материале, так как при применении остальных экспериментальных методов считают, что в начальный момент измерения напряжения в материале нет. На самом деле, возможно возникновение напряжения при изготовлении детали, при ее транспортировке и так далее.

Рентгеновский метод очень дорогой, требует рентгеновской установки, другого оборудования и весьма сложной обработки результатов. Для исследования более глубоких слоев материала приходится удалять поверхностные слои, например, шлифованием, от которого, в свою очередь, также возникают напряжения.

К неразрушающим методам можно еще отнести магнитный метод, который позволяет исследовать искажение магнитного поля в окрестности точки материала и по замеренной магнитной анизотропии определить напряжения в этой точке, а также ультразвуковые методы. Для анализа напряжений ультразвуковые волны поляризуются и процесс аналогичен поляризационно – оптическому методу. Также для обнаружения трещин в материале используются ультразвуковые дефектоскопы.
2.3. Предельные состояния. Коэффициент запаса
При работе конструкции из пластичных материалов чаще всего необходимо, чтобы максимальные напряжения в конструкции были меньше предела текучести , а у хрупких материалов максимальные напряжения должны быть меньше временного сопротивления . Поэтому предельным состоянием для хрупких материалов считается разрушение, а для пластичных – текучесть и, соответственно, предельные напряжения для хрупких материалов , а для пластичных . Максимальные напряжения в конструкции должны быть меньше, чем предельные. Величина, показывающая во сколько раз максимальные напряжения в конструкции меньше предельных, называется коэффициентом запаса прочности

( 2.5 )

Для каждой конструкции из опыта эксплуатации задается некоторый нормативный коэффициент запаса прочности, который обозначается [n]. Его величина зависит от тех последствий, которые произойдут при потере работоспособности конструкции. В курсе “Сопротивление материалов” используется [n] = 1,5 – учебный коэффициент запаса. Действительный коэффициент запаса прочности конструкции должен быть равен нормативному, или быть больше его.

, или . Величина называется допускаемым напряжением, тогда условие прочности по допускаемым напряжениям запишется

( 2.6 )

В частности, при растяжении, при расчете по допускаемым напряжениям имеем , откуда . Иногда для некоторых видов расчетов условие прочности по допускаемым напряжениям неприменимо ( продольно-поперечный изгиб ). Для них проводится расчет по допускаемым нагрузкам . Для некоторых конструкций, например, для точных приборов, кроме расчета на прочность проводится расчет еще и на жесткость, по допускаемым перемещениям .

Здесь и - предельные нагрузка и перемещение.
2.4.Физические основы упругости и пластичности
На атомы материала действуют силы притяжения и отталкивания. Атомы располагаются на таких расстояниях друг от друга, на которых силы притяжения и отталкивания уравновешиваются. Такое расположение атомов образует кристаллическую решетку. Наиболее распространенными типами кристаллических решеток металлов являются кубические

( объемно - и гране - центрирированные ) и гексагональная плотноупакованная.

При действии сил происходит смещение одной части кристаллической решетки относительно другой ( рис. 2.7 ), называемое скольжением. Плоскость атомов (I,II) будет смещаться относительно плоскости атомов (III,IV). Если смещение I-I1 <, то при снятии сил атом I1 будет сильнее притягиваться к III атому, чем к IV и вернется на свое место I ( упругость). Если I-I1 > , то он будет притягиваться к IV атому сильнее, чем к III, и без увеличения нагрузки сместится в положение II (пластичность, текучесть). Если теоретически рассчитать предельное напряжение для случая правильной кристаллической решетки, то они будут порядка модулей упругости. , практически же

Рис.2.7 . Эта разница в сотни раз возникает из-за наличия дислокаций – погрешностей кристаллической решетки. Пусть, например, расстояние между Ш и IV атомами из-за дислокации уменьшилось, и слой с атомом I = II при меньшей нагрузке начнет скольжение. Так как кристаллы хаотично расположены в материале, то, сдвигаясь, линии скольжения упираются в границы кристаллитов и друг в друга , образуя неподвижные пороги. С нарастанием этого явления заканчивается текучесть и начинается участок упрочнения ( рис. 2.2).
2.5. Концентрация напряжений
Отверстия, канавки, надрезы (рис. 2.8 ) и другие резкие изменения формы детали называют концентраторами напряжений. Они приводят к неравномерному распределению напряжений. Обычно максимальные значения напряжений возникают около концентраторов. Нарушение равномерного распределения напряжений имеет место в ограниченной зоне, поэтому напряжения в этой зоне называется местными.



Рис. 2.8 Рис. 2.9

Теоретический коэффициент концентрации показывает, во сколько раз максимальное напряжение около концентратора больше номинального напряжения, вычисленного без учета нарушения равномерности распределения напряжений. Для растянутого стержня (рис. 2.8 ) . Здесь Аmin – площадь поперечного сечения с учетом концентратора. к – зависит от геометрии детали. Так, например, на рис. 2.9 показана зависимость к от радиуса закругления при переходе от диаметра d стержня к диаметру D = 3d. Зависимость к от R и D/d приведена в приложении 6. Для уменьшения величины К скругляют углы и кромки, засверливают трещины, полируют изделия, особенно из высокопрочных закаленных сталей.

Для учета и геометрии детали, и свойств материала вводят KS – эффективный коэффициент концентрации напряжений при статическом действии нагрузки.

где F – разрушающая нагрузка образца без концентратора напряжений, Fk - разрушающая нагрузка образца с концентратором напряжений.

Концентрация напряжений более опасна для хрупких материалов, чем для пластичных. Для пластичных опасны только острые надрезы и трещины. Для деталей из хрупкого материла надо снижать , или, что то же самое, увеличить коэффициента запаса в KS – раз. Для чугуна резкое изменение очертаний не очень опасно, так как, вследствие грубозернистой структуры материала, промежутки между зернами играют роль надрезов.
2.6. Контактные напряжения
Деформации и напряжения, возникающие при взаимном нажатии двух соприкасающихся тел, называют контактными. Возможны различные случаи контакта, изображенные на рис. 2.10 . Поверхность контакта ограничена эллипсом: , где А и В зависят от главных радиусов кривизны соприкасающихся тел ( это Rmax и Rmin в перпендикулярных плоскостях ), С – величина сближения тел от упругой деформации. Напряжения на площадке контакта распределяются по закону эллипса ( рис. 2.11 ) :

, . Здесь F – сила, сжимающая, контактируемые тела. Полуоси эллипса зависят от отношения A/B. Выражая их через A/B, получим напряжение в центре эллипса . Здесь  зависит от A/B.


A/B

1

0,5

0,1

0,007



0,388

0,490

0,970

3,202



















Рис. 2.10
Условие прочности , где - допускаемое контактное напряжение. Например, для шарикоподшипниковой стали:

, для стали 3. , а .

Столь высокие напряжения, выдерживаемые материалами, имеют место потому, что материал работает в условиях, приближающихся к всестороннему сжатию. Опасная точка лежит на некоторой глубине контактирующих тел. По энергетическому критерию напряжения в ней:
, где
Приведем величины зон контакта и максимальных напряжений для некоторых случаев контакта.

Рис. 2.11




Похожие:

2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона iconФизика Механические явления
Ньютона, закон сохранения импульса, закон Гука, закон Паскаля, закон Архимеда; при этом различать словесную формулировку закона и...
2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона iconЗакон Гука при изгибе
Закон Гука при изгибе:, откуда (формула Навье):, Jx — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной...
2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона iconЗакон всемирного тяготения закон Гука сила трения сила и импульс закон сохранения импульса

2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона iconЗакон Ньютона. Масса, Сила, Сила упругости, Модуль Юнга, Закон Гука, Сила трения, Закон всемирного тяготения, Вес
Механика, Механическое движение, Системы отсчета, Перемещение, Скорость, Ускорение
2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона iconТемы для изучения Модуль Юнга, модуль упругости, напряжение, деформация, коэффициент Пуассона, Закон Гука. Принцип
Плоский стержень имеет 2 точки опоры. Он прогибается под действием силы, приложенной в центре. Модуль упругости определяется из прогиба...
2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона iconБилет 16. 1 Виды деформаций, их характеристики. Простейшие и сложные деформации. Механическое напряжение, единицы измерения. Экспериментальный закон Гука, графическая интерпретация. Коэффициент жесткости образца
Простейшие и сложные деформации. Механическое напряжение, единицы измерения. Экспериментальный закон Гука, графическая интерпретация....
2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона iconЗакон единства слова и дела. Закон чести и совести. Закон дружбы и товарищества. Закон заботы и милосердия

2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона iconПрикладная математика Лекция 3
Преобразования графиков: параллельный перенос, растяжение и сжатие вдоль осей координат, построение графика модуля функции
2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона iconКонтрольные вопросы к зачёту Логика – Виснап Н. Е
...
2. центральное растяжение сжатие закон Гука. Закон Пуассона icon«Сила упругости. Закон Гука»
Цель урока: сформировать понятие силы упругости, деформации тела; выяснить природу
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org