Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры



Скачать 188.9 Kb.
Дата28.11.2012
Размер188.9 Kb.
ТипДокументы

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3-й и 4-й семестры


(основной курс для студентов II курса, I потока)

  1. Организационно-методический отдел



1.1. Курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения» является обязательным для студентов механико-математического факультета университета. Соответствует разделу «Общие математические и естественные дисциплины», относится к вузовской тематике.
1.2. Цели и задачи курса.

Годовой обязательный курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения» предназначен для студентов II курса механико-математического факультета. Хорошее владение материалом курса предполагает понимание студентом основных положений теории, умение применить изученные методы для решения других, возможно, более сложных, чем уже рассмотренные, задач.

Для достижения этой цели выделяются задачи курса.

  • усвоение принципиальных моментов теории, к которым относятся: понятие корректности постановки задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и системы обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач, уравнений с частными производными первого порядка; устойчивость, асимптотическая устойчивость (по Ляпунову), теорема Пикара-Линделёфа о существовании и единственности решения задачи Коши и т.д.

  • изучение основных методов решения задач.


1.3. Требования к уровню курса.

  • иметь представление о возможных обобщениях основных теоретических положений, о границах применимости того или иного метода.

  • знать основные определения и теоремы курса, владеть изученными методами.

  • уметь применять полученные знания для решения не только типичных, но и новых задач.


1.4. Формы контроля.

Итоговый контроль. Для контроля усвоения курса учебным планом предусмотрен экзамен по окончании курса.

Текущий контроль. В каждом из двух семестров проводятся две контрольные работы, организован коллоквиум. В конце первого семестра принимается зачет.

2. Содержание дисциплины



2.1. Новизна курса.

В курсе рассматриваются основные положения и методы классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Один из основных объектов этой теории – задача Коши для одного нелинейного дифференциального уравнения и нелинейной системы дифференциальных уравнений. В рамках определения корректности (по Адамару) изучаются вопросы локального существования и единственности решения этой задачи, а затем и возможность продолжения решения на полупрямую. Эта схема исследования естественным образом приводит к понятию устойчивости по Ляпунову и очень важному в приложениях его обобщению – асимптотической устойчивости (по Ляпунову).

В дальнейшем этот подход используется при изучении свойств решений автономных систем: классификации особых точек, предельных циклов и т.д.


Особенное внимание в курсе уделяется теории уравнений с частными производными первого порядка, важной как с точки зрения приложений, так и в силу, того, что она является составной частью общей теории уравнений с частными производными.
2.2. Тематический план курса.
КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ

Наименование тем и разделов

Лекции

Семинары

Лабораторные работы

Самостоятельная работа

Зачет

Экзамен

Контрольные работы

Проверка контрольных работ

Всего часов

1. Предварительные сведения

2

-

-

-

-

-

-

-

2

2. Разрешимость задачи Коши для однородных линейных систем с постоянными коэффициентами

2

2

-

-

-

-

-

-

4

3. Пространство решений системы с постоянными коэффициентами и одного уравнения произвольного порядка

2

4

-

-

-

-

-

-

6

4. Фундаментальная матрица и матричная экспонента

4

2

-

-

-

-

-

-

6

5. Вычисление матричной экспоненты для некоторых классов матриц

2

4

-

-

-

-

-

-

6

6. Каноническое представление матричной экспоненты

2

2

-

-

-

-

-

-

4

7. Фундаментальная система решений для одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами

2

2

-

-

-

-

-

-

4

8. Система неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами

2

2

-

-

-

-

2

12

18

9. Линейная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

2

2

-

-

-

-

-

-

4

10. Метод ломанных Эйлера нахождения решения задачи Коши (на примере линейной системы с переменными коэффициентами)

4

-

-

-

-

-

-

-

4

11. Существование и единственность решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с достаточно гладкими правыми частями

2

4

-

-

-

-

-

-

6

12. Обсуждение утверждений локальной теоремы существования

2

2

-

-

-

-

-

-

4

13. Продолжение решений. Теорема о покидании компакта

2

2

-

-

4

-

2

12

22

14. Непрерывная и дифференцируемая зависимость решения от параметров

4

4

-

-

-

-

-

-

8

15. Автономные системы дифференциальных уравнений. Виды траекторий

4

4

-

-

-

-

-

-

8

16. Краевые задачи для линейных систем первого порядка. Матрица Грина. Собственные значения

4

4

-

-

-

-

2

12

22

17. Ограниченные решения линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами

2

2

-

-

-

-

-

-

4

18. Линейное уравнение второго порядка. Задача Штурма-Лиувилля

4

4

-

-

-

-

-

-

8

19. Самосопряженные задачи на собственные значения

2

-

-

-

-

-

-

-

2

20. Устойчивость по Ляпунову

2

4

-

-

-

-

-

-

6

21. Матричное уравнение Ляпунова

2

2

-

-

-

-

-

-

4

22. Функции Ляпунова

4

4

-

-

-

-

-

-

8

23. Критерии устойчивости и неустойчивости

2

2

-

-

-

-

2

12

18

24. Первые интегралы системы однородных дифференциальных уравнений и представление общего решения линейного однородного уравнения с частными производными

4

4

-

-

-

-

-

-

8

25. Квазилинейные уравнения с частными производными

2

2

-

-

-

-

-

-

4

26. Уравнение Гамильтона-Якоби

2

4

-

-

-

-

-

-

6

Итого по курсу

68

68

-

-

4

48

8

48

244



2.3. Содержание отдельных разделов и тем:


  1. Предварительные сведения.

Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и определение его решения. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Примеры. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Различные формы записи линейной системы с постоянными коэффициентами. Сведения из теории матриц.
2. Разрешимость задачи Коши для однородных линейных систем с постоянными коэффициентами.

Понятие корректности (по Адамару) (на примере задачи Коши для однородной линейной системы с постоянными коэффициентами). Априорные оценки. Теорема единственности. Нахождение решений в виде сходящегося ряда.
3. Пространство решений системы с постоянными коэффициентами и одного уравнения произвольного порядка. Фундаментальная система решений и определитель её матрицы.
Линейное пространство решений однородной системы с постоянными коэффициентами и одного уравнения высокого порядка. Сведение уравнения высокого порядка к системе первого порядка. Примеры. Формула Остроградского-Лиувилля.
4. Фундаментальная матрица и матричная экспонента.

Определение фундаментальной матрицы для системы и уравнения. Представление семейства фундаментальных матриц. Матричная экспонента и её свойства. Примеры.
5. Вычисление матричной экспоненты для некоторых классов матриц.

Нахождение матричной экспоненты для некоторых классов матриц: эрмитовых, нормальных, матриц, имеющих простой спектр. Вычисление матричной экспоненты для верхне-треугольных матриц, для жордановых матриц. Априорные оценки.
6. Каноническое представление матричной экспоненты.

Отсутствие непрерывной зависимости жордановой формы матрицы от исходной матрицы. Вычисление матричной экспоненты в общем случае. Запись фундаментальной системы решений с помощью столбцов матричной экспоненты.
7. Фундаментальная система решений для одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

Различные формы представления фундаментальной системы решений для одного линейного уравнения. Случай комплексных коэффициентов.
8. Система неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Теорема о непрерывной зависимости решений от параметра. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Априорные оценки. Теорема о непрерывной зависимости решений задачи Коши для линейной системы от всех данных задачи: правой части, матрицы, начальных данных, координаты начальной точки.
9. Линейная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Пространство решений. Априорные оценки. Матрицант.
10. Метод ломанных Эйлера нахождения решения задачи Коши (на примере линейной системы с переменными коэффициентами).

Теорема Пеано существования решения задачи Коши. Единственность и неединственность решений. Теорема Осгуда. Примеры.
11. Существование и единственность решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с достаточно гладкими правыми частями.

Лемма Адамара. Теорема Пикара-Линделёфа. Примеры.
12. Обсуждение утверждений локальной теоремы существования.

Достаточное условие существования решения задачи Коши в целом. Примеры постановок задачи Коши, для которых решение не продолжается на полуось. Функции Ляпунова. Достаточное условие существования решения в целом по времени. Асимптотическое поведение решения. Область притяжения. Примеры.
13. Продолжение решений. Теорема о покидании компакта.
14. Непрерывная и дифференцируемая зависимость решения от параметров.

Уравнение в вариациях Пуанкаре.
15. Автономные системы дифференциальных уравнений. Виды траекторий.
16. Краевые задачи для линейных систем первого порядка. Матрица Грина. Собственные значения.
17. Ограниченные решения линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами. Краевые условия, удовлетворяющие условию Лопатинского.

Лемма Гельфанда-Шилова. Краевые задачи на полупрямой.
18. Линейное уравнение второго порядка. Задача Штурма-Лиувилля.

Упрощение общего линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Терема Штурма. Теорема сравнения. Теорема об осцилляции.
19. Самосопряженные задачи на собственные значения. Функция Грина. Полнота системы собственных функций.
20. Устойчивость по Ляпунову.

Определение устойчивости, асимптотической устойчивости (по Ляпунову), неустойчивость. Теорема об устойчивости для линейной системы с постоянными коэффициентами.
21. Матричное уравнение Ляпунова.

Теорема о разрешимости матричного уравнения Ляпунова, условие однозначной разрешимости. Критерий асимптотической устойчивости нулевого решения линейной системы.
22. Функции Ляпунова.

Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нулевого решения. Случай почти линейной системы.
23. Критерии устойчивости и неустойчивости.
24. Первые интегралы системы однородных дифференциальных уравнений и представление общего решения линейного однородного уравнения с частными производными.
25. Квазилинейные уравнения с частными производными.
26. Уравнение Гамильтона-Якоби. Условия интегрируемости уравнений .
2.4. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.

1. Привести примеры граничных операторов , при которых краевая задача:



где



однозначно разрешима при любых . Что можно утверждать если или ?
2. Показать, что для уравнения физического маятника положения равновесия устойчивы по Ляпунову, а положения равновесия неустойчивы.
3. Убедиться, что являются первыми интегралами системы



и выяснить, будут ли указанные интегралы независимыми.
4. При каких каждое решение продолжается на бесконечный интервал для системы , ?
5. Найти общее решения линейного неоднородного уравнения, если известно, что частное решение соответствующего однородного уравнения является многочленом:

.
3. Учебно-методическое обеспечение курса.
3.1. Подготовка рефератов не предусмотрена учебным планом.
3.2. Образцы вопросов и задач для подготовки к экзамену.

1. Фундаментальная матрица и матричная экспонента.

2. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши для линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений от данных.
3. Теорема Осгуда о единственности.
4. Теорема Пикара-Линделёфа.
5. Теорема об осцилляции.

6.



Найти .
7. Корректно ли поставлена задача Коши:



Если да, то найти её решение.


  1. Пусть задана матрица



При каких вещественных значениях параметра разрешимо уравнение ? При каких решение положительно определено?
9. Решить уравнение

.
10. Свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению:

, ,

, .
3.3. Список основной и дополнительной литературы.

Основная литература



1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: МГУ, 1984.

2. Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Т.I: Краевые задачи. Учебное пособие. – Новосибирск: НГУ, 1994.

3. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. – М.: Мир, 1986.

4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970.

5. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Изд.-во иностр. Лит., 1958.

Дополнительная литература



5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1982.

6. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высш. шк., 1991.

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.
3.4. Изучение дисциплины не предусматривает использования нормативно-правовых актов.


Проф., д.ф.-м.н Д.Л. Ткачёв

- -

Похожие:

Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры iconОбыкновенные дифференциальные уравнения
Вопрос Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных для...
Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры iconОбыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем...
Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
«Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры iconФормула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры icon01. 01. 02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Формула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры icon1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры iconОбыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенное дифференциальное уравнение. Порядок уравнения. Общее и частное решения
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org