Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год



Скачать 51.69 Kb.
Дата28.11.2012
Размер51.69 Kb.
ТипДокументы

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ


ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

(III семестр, 2006–2007 уч. год)


  1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: определение дифференциального уравнения, его решения; задача Коши; общее, частное, особое решения. Теорема существования и единственности решения.

  2. Уравнения с разделенными переменными. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

  3. Однородные уравнения 1-го порядка и приводящиеся к ним.

  4. Линейные уравнения 1-го порядка. Метод Лагранжа и метод Бернулли. Уравнение Бернулли.

  5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

  6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: 1) уравнения первого порядка, разрешаемые относительно неоднозначно; 2) неполные уравнения, параметрический метод решения; 3) уравнения Клеро и Лагранжа.

  7. Уравнения высших порядков: определение, общее решение, задача Коши, теорема существования и единственности решения.

  8. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка: 1) вида ; 2) не содержащие искомой функции и ее производных до -го порядка включительно; 3) не содержащие независимого переменного; 4) однородные относительно неизвестной функции и ее производных.

  9. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков: 1)свойства решений, 2) определитель Вронского, теорема об определителе Вронского для линейно зависимых на функций, 3) теорема об определителе Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ -го порядка, 4) Теорема о размерности пространства решений ЛОДУ. ФСР.

  10. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Отыскание общего решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.

  11. ЛОДУ порядка 2 с произвольными коэффициентами.

  12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных, структура общего решения ЛНДУ, отыскание частного решения ЛНДУ по виду правой части уравнения, теорема о наложении решений.

  13. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка: классификация методов, метод последовательных приближений и интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

  14. Краевые задачи. Задача Штурма – Лиувилля.

  15. Системы дифференциальных уравнений: общий вид системы, решение системы. Канонические и нормальные системы.
    Задача Коши, теорема существования и единственности решения системы. Метод решения нормальной системы путем сведения к одному уравнению порядка .

  16. Линейные однородные системы: 1) свойства решений, 2) линейное пространство , определитель Вронского векторов пространства , теорема об определителе Вронского для линейно зависимых на векторов пространства , 3) теорема об определителе Вронского для линейно независимых решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений, 4) теорема о пространстве решений линейной однородной системы, ФСР.

  17. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами, метод Эйлера.

  18. Линейные неоднородные системы: метод вариации постоянных, структура общего решения линейной неоднородной системы, теорема о наложении решений.

  19. Устойчивость решения дифференциального уравнения и системы дифференциального уравнения. Устойчивость автономных систем. Типы точек покоя.

  20. Уравнения в частных производных: основные определения, первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений, симметричная форма записи системы обыкновенных дифференциальных уравнений, линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка и их интегрирование, линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка и их интегрирование.

  21. Двойной интеграл: определение, геометрический и физический смысл, необходимое условие существования двойного интеграла, достаточные условия существования двойного интеграла, свойства, вычисление в декартовых координатах, замена переменных в двойном интеграле, приложения двойных интегралов.

  22. Тройной интеграл: определение, геометрический и физический смысл, теоремы существования, свойства, вычисление в декартовых координатах, замена переменных в двойном интеграле, приложения тройных интегралов.

  23. Криволинейные интегралы I рода: определение, геометрический и физический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, приложения криволинейных интегралов I рода.

  24. Криволинейные интегралы II рода: определение, физический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, приложения криволинейных интегралов II рода.

  25. Связь между криволинейными интегралами II рода и двойными интегралами. Связь между криволинейными интегралами I и II рода.

  26. Криволинейные интегралы II рода, не зависящие от пути интегрирования: необходимое и достаточное условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования. Необходимое и достаточное условия равенства нулю криволинейного интеграла II рода по замкнутому контуру.

  27. Нахождение функции по ее полному дифференциалу.

  28. Поверхностные интегралы I рода: определение, геометрический и физический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, приложения поверхностных интегралов I рода.

  29. Поверхностные интегралы II рода: определение, теорема существования, свойства, вычисление.

  30. Связь между поверхностными интегралами I и II рода.

  31. Формула Остроградского-Гаусса, формула Стокса (в векторных и скалярных формах).

  32. Векторное поле: Определение, основные характеристики (векторные линии, поток и дивергенция, ротор и циркуляция). Типы векторных полей.


ДОКАЗАТЬ


  1. Найти интегрирующий множитель линейного дифференциального уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.

  2. Доказать теорему о среднем для двойного (тройного, криволинейного I рода, поверхностного I рода) интеграла. С помощью теоремы о среднем найти

,

где – непрерывная функция.

  1. Вывести формулу для определения статического момента или момента инерции плоской области (тела, кривой, поверхности).

  2. Доказать, что если – замкнутая кусочно-гладкая поверхность, – нормаль к поверхности , – ненулевой постоянный вектор, то

.

  1. Доказать формулу

,

где , – поверхность, ограничивающая тело , – орт внешней нормали к .

  1. Доказать, что если – замкнутая кусочно-гладкая поверхность и функция удовлетворяет уравнению Лапласа , то , где – производная по направлению нормали к поверхности .

  2. Доказать, что если – замкнутая кусочно-гладкая поверхность, функция является многочленом второй степени и – производная по направлению нормали к , то интеграл пропорционален объему тела , ограниченному поверхностью .

  3. Пусть – кусочно-гладкая замкнутая кривая, расположенная в некоторой плоскости, и , где , , – линейные функции от ,, . Доказать, что если циркуляция отлична от нуля, то она пропорциональна площади области , ограниченной .







Похожие:

Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconАнализу для подготовки к экзамену II семестр, 2006-2007 уч год
...
Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconПособия, разработанные с участием фипи: 2005-2006 год
Оксфордские тесты для подготовки к единому государственному экзамену/ Марк Харрисон, консультант В. Симкин, издательство Оксфордского...
Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconДля подготовки к экзамену по высшей геодезии для аф-iv (2005/2006 год)
Связь между пространственными геодезическими координатами и декартовыми (формула Боуринга)
Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconВопросы к экзамену по математическому анализу второй семестр, весна2003

Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconВопросы для подготовки к экзамену по архитектурной светологии IV курс (7 семестр), дневное отделение (2010-2011 уч. Год)
Световые характеристики окружающей среды, какие из них используются в проектировании естественного освещения?
Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconПеречень вопросов к экзамену по математическому анализу (1-4 семестр) для студентов математического факультета (заочное отделение) по направлению 010501. 65 «Прикладная математика и информатика»

Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconЭкзаменационные вопросы по математическому анализу для студентов III курса специальности «пми» (5 семестр)
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах (случай прямоугольной области)
Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconУчебное пособие для подготовки к экзамену Издание четвертое Харьков «Одиссей» 2006 ббк 67. 9 М45
Данное учебное пособие является основой для подготовки к экзамену по истории государства и права Украины. Получение отличной оценки...
Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconВопросы для подготовки к экзамену (фаи, 2 семестр)
Дробей (2 теоремы о разложении). Простейшие алгебраические дроби и их интегрирование
Анализу для подготовки к экзамену III семестр, 2006-2007 уч год iconПеречень вопросов к экзамену по математическому анализу (1-4 семестр) для студентов математического факультета (заочное отделение) по направлению 010501. 65 «Прикладная математика и информатика»
Интеграл как функция верхнего предела: непрерывность, дифференцируемость, формула Ньютона-Лейбница
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org