9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением



Скачать 45.33 Kb.
Дата29.11.2012
Размер45.33 Kb.
ТипДокументы
Тема 9. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами
Уравнение вида где заданные в (a,b) функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n- го порядка.

Если в то получаем уравнение

(9.1)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка.

9.1 Линейно зависимые функции. Определитель Вронского.

Пусть имеем конечную систему из n функций (9.2)

определенных на (a,b).

Функции (9.2) называют линейно зависимыми на (a,b), если существуют постоянные не все равные нулю, такие, что для всех значений справедливо тождество

Если это тождество выполняется только при то функции (9.2) называются линейно независимыми на (a,b).

Определителем Вронского (или вронскианом) называется определитель вида

(9.3)

Критерий линейной зависимости и линейной независимости функций. Если функции (9.2), определенные и имеющие в (a,b) непрерывные производные до (n-1)-го порядка включительно, являются линейно зависимыми, то в (a,b). Если , то функции (9.2) линейно независимы.

Пример 9.1. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми



Согласно определению линейной зависимости функций (см. п.9.1) и критерию линейной зависимости функций составим определитель Вронского (9.3) для данных функций. Имеем

.

Следовательно, данные функции линейно независимые.

9.2.
Фундаментальная система уравнений.


Совокупность n-линейно независимых решений (9.2) называют фундаментальной системой решений для уравнения (9.1). Фундаментальная система решений вполне определяет линейное однородное уравнение (9.1). Такое уравнение имеет вид

=0. (9.4)

Пример 9.2. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, имеющее данные частные решения.

Поскольку функции линейно независимые (нетрудно проверить согласно критерию), то согласно (9.4), имеем

9.3 Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами второго порядка

Рассмотрим несколько приемов для нахождения решения дифференциального уравнения второго порядка следующего вида (9.5)

Если известно частное решение линейного однородного уравнения n-го порядка (9.1), то порядок уравнения можно понизить, сохраняя линейность уравнения. Для этого в уравнение надо подставить и затем понизить порядок заменой

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения (9.5), у которого известно одно частное решение можно понизить порядок уравнения указанным выше способом. Однако удобнее воспользоваться формулой Остроградского - Лиувилля:

, где и - любые два решения (9.5)

Пример 9.3. Решить уравнение если известно его частное решение

Для нахождения второго частного решения воспользуемся формулой Остроградского-Лиувилля:

. (9.6)

Последнее является линейным уравнением первого порядка. Решим его.



Пусть тогда .

Подставляя найденные и в (9.6), имеем

.

Применив формулу интегрирования по частям в интеграле

получим

.

Тогда общее решение исходного уравнения есть

Общего метода для отыскания частного решения линейного уравнения второго порядка не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора ( в виде многочлена или в виде показательной функции ).

Пример 9.4. Для уравнения из примера 9.3 найти частные решения. Вначале найдем частное решение в виде алгебраического многочлена Найдем его степень. Для этого подставим его в исходное уравнение

.

Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени x, получим:

Замечание. При решении уравнения, составленного из коэффициентов при старшей степени x, выбираются только целые положительные числа. В нашем примере степень многочлена будет первой степени. Ищем его в виде Подставляя его в исходное уравнение, получим

Значит, частное решение Попробуем найти частное решение в виде показательной функции Подставим его в исходное уравнение:



Последнее тождество возможно лишь тогда, когда одновременно выполняются равенства:



Отсюда находим, что Следовательно, – частное решение.

Задание для работы на семинаре


1. Исследовать, являются ли данные функции линейно независимыми.



2)

3)





2. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, имеющее данные частные решения.





3. Найти общее решение данных уравнений

1)

2)

3)

4)

5)

Задания для самостоятельной работы


  1. Исследовать, являются ли данные функции линейно независимыми:

1)

2)

3)

4)

5)

  1. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, имеющее данные частные решения:

1)

2)

  1. Найти общее решение данных уравнений

1)

2)

3)

4)

5)

Похожие:

9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением iconДифференциальные уравнения
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется соотношение вида: (1)
9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением iconДифференциальные уравнения
...
9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением iconДифференциальные уравнения. § Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях. Определение 1
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением iconСправочник по обыкновенным ду э. Камке. Дифференциальные уравнения первого порядка
Любой процесс, в котором есть движение, описывается с помощью дифференциальных уравнений (ДУ). Уравнение, связывающее неизвестную...
9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением icon1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением iconЛинейные операторы и квадратичные формы
Определение Отображение L из линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением, или линейным оператором,...
9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением iconМоделирование выходного сигнала
В соответствии с вариантом задания дана линейная система автоматического управления дифференциальным уравнением n-го порядка
9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением iconДлина ребра : Угол между ребрами
В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается линейным уравнением Ax + By + Cz + d = 0, A2...
9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением icon2002 г №7 Труды фора
Рассматривается система дифференциальных уравнений, определяемая дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью....
9. 1 называется линейным однородным дифференциальным уравнением iconРабочая программа дисциплины «Дифференциальные уравнения»
Лекционный курс сопровождается упражнениями, при помощи которых у студентов вырабатываются навыки решения конкретных задач. Особое...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org