Обыкновенные дифференциальные уравнения



Скачать 42.59 Kb.
Дата29.11.2012
Размер42.59 Kb.
ТипДокументы

1.09

Вопрос 1.9. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных для решения неоднородных уравнений.
Ответ:
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

,

где x = x(t) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t, штрих означает дифференцирование по t. Число n называется порядком дифференциального уравнения. Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений используется Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения).

Линейные дифференциальные уравнения


  1. ЛДУ ::= y(n)+p1(x)y(n-1)+p2(x)y(n-2)+…+pn(x)y=f(x) (3), где pi(x) — произвольные функции.

  2. Линейные дифференциальный оператор ::= L[x]= y(n)+p1(x)y(n-1)+p2(x)y(n-2)+…+pn(x)y.

  3. Однородное ЛДУ — f(x) ≡ 0, (иначе неоднородное).

Свойства ЛДУ: если имеем систему решений, то любая их ЛК — тоже решение (обычная линейность); y≡0 всегда решение.

  1. Уравнение с постоянными коэффициентами ::= ЛДУ, такое что все pi(x)=const.

  2. Функции 1, … n ЛНЗ на ::= ∑cii=0 => все ci=0.

  1. Общее решение неоднородного ЛДУ — сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения.

Методы решения однородного ЛДУ


  1. система векторов ЛНЗ, если нет их тождественно нулевой линейной комбинации

Запись (3) эквивалентна системе уравнений:



Либо, что эквивалентно, y’=A(x)y+f(x), где A(x) — матрица, x, y, f(x)— вектора.



  1. Определитель Вронского для 1, … n (n-1 раз дифференцируемы) ::= W(x)=|wij|, wij=j(i-1).

  1. y1, ..., yn — ЛНЗ на (a, b) <=> W(x)<>0 на (a, b) для любого x.

  2. Если y1, ..., yn — ЛНЗ на (a, b) и являются решение однородного ЛДУ => фундаментальная система решений, Соответственно, их линейная комбинация – Общее решение.

Уравнение с постоянными коэффициентами


  1. Метод Эйлера ::= будем искать решение в виде y=Γeλx (ΓRn, λC), тогда имеем Γλeλx=AΓeλx, таким образом (A-λE)Γ=0 (E — единичная матрица). Нетривиальные решения существуют при det(A-λE)=0, таким образом имеем полиномиальное уравнение для λ. Вид фундаментальной системы решений зависит от корней полинома.

  1. Все корни различны: λ1, …, λn => Γ1, …, Γn и Γieλix — решения системы.

  2. Если λ корень кратности k: решения: Γ1eλt, Γ2teλt, …, Γ2tk-1eλt.


Метод вариации постоянных коэффициентов для решения неоднородных уравнений.


Для неоднородных уравнений часто используется следующая техника – решаем однородное уравнение, а коэффициенты в линейной комбинации представим функциями – дальше подставим в уравнение. Нулевое решение сокращается – для остатка решаем элементарное уравнение. Работает, не всегда (понимать надо!).
Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

  При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

   (2)

  Решения системы (2) обладают следующими свойствами:

1) Если y, z, uрешения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = constтоже являются решениями этой системы.

2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 тоже являются решениями системы.

  Решения системы ищутся в виде:

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем:



Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:



 В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):







 Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):







[an error occurred while processing this directive]

 Пример. Найти общее решение системы уравнений:



Составим характеристическое уравнение:





Решим систему уравнений:



Для k1

Полагая (принимается любое значение), получаем:

 

Для k2

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Общее решение системы:

Этот пример может быть решен другим способом:

 

Продифференцируем первое уравнение:

Подставим в это выражение производную у =2x + 2y  из второго уравнения.

 



 Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

 





 





 





 Обозначив , получаем решение системы:





Похожие:

Обыкновенные дифференциальные уравнения iconОбыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем...
Обыкновенные дифференциальные уравнения iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенные дифференциальные уравнения iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенные дифференциальные уравнения iconОбыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры
Курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения» является обязательным для студентов механико-математического факультета университета....
Обыкновенные дифференциальные уравнения iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Обыкновенные дифференциальные уравнения iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
«Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Обыкновенные дифференциальные уравнения iconФормула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
Обыкновенные дифференциальные уравнения icon01. 01. 02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Формула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
Обыкновенные дифференциальные уравнения icon1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
Обыкновенные дифференциальные уравнения iconОбыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенное дифференциальное уравнение. Порядок уравнения. Общее и частное решения
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org