Методическое пособие «Способы нахождения значений функций»



Скачать 133.62 Kb.
Дата29.11.2012
Размер133.62 Kb.
ТипМетодическое пособие
Дополнительные материалы
Методическое пособие

«Способы нахождения значений функций».

Составитель

Бадинская Ольга Викторовна,

учитель математики МОУ Красноселькупская средняя

общеобразовательная школа «Радуга»,

высшая квалификационная категория

badinskaya@yagdex.ru
Большинство математических методов основано на применении свойств функций. Задачи экономики, оптимального управления и многие другие требуют описания и исследования функциональных зависимостей между переменными и параметрами реальных процессов. В последние годы математическое моделирование широко используется во многих областях, а это требует основательной подготовки будущих специалистов, а ныне – школьников, в области математического анализа. Не случайно в программу ЕГЭ включены задачи на нахождение множества значений функции или сводящиеся к ним задачи. Такие задачи часто вызывают немалые затруднения у обучающихся и, особенно, если требуется оформление математического задания с обоснованием всех этапов его решения.

При выполнении задач на нахождение множества значений функции можно использовать разные методы:

  • последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;

  • метод оценок;

  • использование свойств непрерывности и монотонности функции;

  • использование производной;

  • графический метод;

  • метод введения параметра;

  • метод обратной функции.

Из многолетнего опыта работы учителем математики в профильных классах, в математическом кружке, индивидуальной работе с выпускниками школы при их подготовке к поступлению в ВУЗы, в ходе творческой и исследовательской деятельности с талантливыми детьми пришла к выводу, что для формирования математической компетентности обучающихся необходимо расширить рамки школьной программы за счет включения, в обязательном порядке, изучения разнообразных методов нахождения множества значений функции. Проанализировав результаты ЕГЭ с 2006 по 2009 годы, олимпиадных заданий по математике, методическую и дидактическую литературу по данному вопросу (которая имеется в школьной библиотеке), проведя собеседование и опрос школьников и бывших выпускников школы, пришла к выводу о необходимости создания методического пособия, благодаря которому учащиеся не будут испытывать затруднения при подготовке к экзаменам по теме «Нахождение множества значений функции». Это пособие было создано совместно с обучающимися профильного класса в ходе исследовательской деятельности. Апробация проведена в 2009 и 2010 годах. Мониторинг качества обученности обучающихся выпускных классов показал значительное повышение результатов выполнения тех заданий, где основу решения составляет применение свойств функций.

Рассмотрим эти методы на конкретных примерах.


  1. Метод последовательного нахождения значений сложных аргументов функции.

Одним из наиболее распространенных методов нахожде­ния множества значений функции, представляющей собой су­перпозицию (композицию) нескольких более простых функ­ций, называемых сложными аргументами, является метод последовательного (поочередного) нахождения значений этих аргументов. При этом каждый шаг последовательности дол­жен быть обоснован с ссылками на соответствующие свойст­ва элементарных функций, через которые выражается исходная, сложная функция.

Пример 1.

Найдите область значений функции .

Решение:

Так как принимает все неотрицательные значения, и только их, то



Обозначим Тогда где Функция определена лишь при поэтому ее множество значений при совпадает с множеством значений функции на промежутке (0; 10], где функция непрерывна и возрастает. При она стремится к , а при принимает значение 1. Следовательно, множество значений на (0; 10] есть луч Тем самым, . Тогда у функции область значений .

Через сложный аргумент z исходная функция выражается формулой где . Эта функция определена при поэтому множество значений функции у при совпадает с ее множеством значений при . На промежутке (0; 2] функция непрерывна и убывает. Так как логарифмирование по основанию 0,1 меняет характер монотонности, то у – непрерывная и возрастающая функция на (0; 2]. При дробь стремится к , значит, функция у стремится к . При она равна Следовательно, множество значений функции у при есть луч . Это и есть

Ответ: .

Пример 2 .

Найдите множество значений функции  при x≤1.

Решение:

Функция определена при х 0. Луч х ≤ 1 точкой х = 0 делится на промежутки (-∞;0) и (0; 1].

При х  (-∞;0), так как  =x, функция у = 3х+ 2 не­прерывна и возрастает. При х  ∞ функция Зx стремится к нулю, оставаясь положительной, значит, выражение Зx + 2 стремится к 2, оставаясь больше 2. При х = 0 оно принимает значение 3° + 2 = 3, которое исключается из множества зна­чений функции у. Следовательно, по свойству непрерывной и возрастающей функции множество значений функции у на луче (-∞;0) есть интервал (2;3).

На промежутке (0; 1] функция у = 3-x — 2 = , так как здесь = х. При t  (0; 1] , как непре­рывная и убывающая, принимает значения от  вклю­чительно до

 = 1, исключая последнее. Следовательно, множеством значений функции у на (0; 1] будет промежуток [-2; 1-2) = [-;-1).

Искомое множество значений функции у при х ≤ 1 явля­ется объединением промежутков

(2; 3) и [-;-1).

Ответ: E(y) = [- ;-1)  (2; 3).

  1. Метод оценки.

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции. Если есть возможность путем тождественных преобразований получить функцию, которая на всей области определения или на заранее заданном множестве является непрерывной и либо только возрастающей, либо только убывающей, тогда используя свойства неравенств, оценивают множество значений вновь полученной функции.

Пример 1.

Найдите множество значений функции y=5 -

Решение:

Из определения квадратного корня следует, что 4 - x2 ≥ 0, решая квадратичное неравенство получаем, что -2 ≤ x ≤ 2. разобьем промежуток [-2; 2] на два промежутка [-2: 0] и [0: 2]. Первому промежутку соответствует неравенство -2 ≤ x ≤ 0, а второму соответствует 0 ≤ x ≤ 2. На первом промежутке переменная х принимает неотрицательные значения, а на втором - положительные. Возведем в квадрат каждое из этих двойных неравенств, в результате получим 0 ≤ x2 ≤4. Умножим все три части неравенства на - 1, - 4 ≤ - x2 ≤0. Прибавим к трем частям неравенства 4 и получим 0 ≤ 4 - x2 ≤ 4. Пусть t = 4 - x2, где 0 ≤ t ≤4. Функция y = на указанном промежутке непрерывна и возрастает, поэтому свои наименьшее и наибольшее значения принимает на концах промежутка и, следовательно, 0 ≤ ≤ 2 тогда 0 ≤  ≤ 2. Прибавим к трем частям последнего двойного неравенств 5, умножив его предварительно на - 1, получим 3 ≤ 5 -  ≤ 5.

Ответ: E(y) = [3; 5].

Пример 2.

Найдите множество значений функции.

Решение:

x2 + 5 > 0 при любом х, следовательно, D(y) = R. Рассматриваем формулу:

, как уравнение с параметром у. Это уравнение равносильно уравнению

y(x2 + 5) = x2 - 4x + 4; x2 (y - 1) + 4x + 5y + 1 = 0;

1) Если у = 1, то данное уравнение равносильно линейному уравнению 4х + 6 = 0, которое имеет один корень. 2) Если у1, то квадратное уравнение, которое мы получили в результате выше изложенных соображений, имеет корни тогда и только тогда, когда его дискриминант не отрицателен. D/4 = 4 - (y - 1)(5y + 1) ≥ 0; - 5y2 + 4y +5 ≥ 0; 5y2 - 4y - 5 ≤ 0; Вычислим четверть дискриминанта и корни квадратного трехчлена 5y2 - 4y -5: D/4 = 4 + 25 = 29 х1 = 2 - и х2 = 2 + . Таким образом, квадратное уравнение имеет корни, если параметр y  [2- ; 1) и (1; 2 + ], Учитывая пункты 1) и 2), делаем вывод, что множество значений изучаемой функции E(y) = [2 - ; 2 +].

Ответ: E(y) = [2 - ; 2 +].

Пример 3.

Найдите область значений функции

Решение:

Из неравенств

складывая второе и последнее по частям, получим

При и функция принимает значения и Эта функция, как линейная комбинация непрерывных функций и непрерывна на всей числовой оси, поэтому она принимает все значения с (– 7) до 7 включительно, причем только их, так как в силу неравенств другие значения у нее невозможны.

Ответ: E(y) =.

  1. Метод использование производной.

Элементарные методы отыскания множества значений функций применимы лишь для ограниченного круга задач. Общий метод отыскания таких значений даёт дифференциальное исчисление.

Пример 1.

Найдите область значений функции

Решение.

По формуле синуса тройного угла

Обозначим Тогда Так как принимает все значения с (– 1) до 1 включительно, и только их, то область значений функции у совпадает с множеством значений функции на отрезке .

На этом отрезке функция дифференцируема, так как ее производная существует при всех . Из уравнения находим критические точки функции которые принадлежат отрезку . В этих точках и на концах отрезка

Так как то и по свойству дифференцируемой функции наименьшее значение функции на отрезке равно , а наибольшее значение равно . На отрезке функция , как многочлен, непрерывна (это следует также из дифференцируемости функции), поэтому ее множество значений на этом отрезке есть и область значений .

Ответ: .

Пример 2.

Найти множество значений функции .

Решение:

Так как знаменатель всегда положителен , то областью определения функции является вся числовая ось и функция на ней везде непрерывна. Исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значения.

а) Найдем производную: =

= = .

б) Найдем точки возможного экстремума: ;

в) Исследуем функцию на экстремум

X

(-;-1)

-1

(-1; 1)

1



f’(x)

+

0



0

+

f(x)



max



min



; . При этом, так как степени числителя и знаменателя равны, то предел .

Ответ: E(y) .

  1. Использование непрерывности и монотонности функции.

Свойство монотонности функции было уже исполь­зовано при нахождении множества зна­чений непрерывной функции методом последовательного на­хождения значений ее сложных аргументов.

Пример 1.

Найти множество значений функции у = log0,5 (6 – 2x) + ,

Решение:

Функция определена при 6 - 2х >0 и x + 1≥0 , откуда -1 ≤ х < 3. При указанных х функция

6 - 2х непре­рывна и убывает. Так как логарифмирование по основанию 0,5 меняет характер монотонности, то log0,5 (6 - 2х) непре­рывна и возрастает при х  [-1;3). Функция так­же непрерывна и возрастает при х  [-1;3). Следовательно, функция у непрерывна и возрастает в своей области определе­ния [-1; 3) и по свойству таких функций ее область значений есть промежуток с у( -1) = log0,58 +  = -3 включитель­но до предельного значения функции при х3, оставаясь меньше 3. Это предельное значение равно +∞, так как при х 3 слева первое слагаемое log0,5 (6 - 2х) стремится к +∞, хотя второе слагаемое  стремится к 2.

Ответ: Е(у) = [-3; +∞).

Пример 2.

Найдите множество значений функции на отрезке .

Решение:

На отрезке функция а значит, и функция убывают и непрерывны. Кроме того, так как для всех х. Так как имеет другой характер монотонности, чем t, и то функция непрерывна, возрастает и положительна при . Функция непрерывна и возрастает на всей числовой оси, в частности, и на отрезке , где она, кроме того, положительна. Следовательно, функция как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций и , также непрерывна и возрастает на отрезке , поэтому искомое множество значений функции есть отрезок

Ответ: E(y) =.

  1. Метод введения параметра.

Задача нахождения области (множества) значений функ­ции f(x) тесно связана с вопросом о разрешимости уравнения f(x) = а. Действительно, число а является одним из значе­ний функции f(x) тогда и только тогда, когда найдется хотя бы одно такое значение аргумента х, что f(x) = а. Последнее означает, что уравнение f(x) = а имеет хотя бы один корень х. Следовательно, область значений E(f) функции f(x) сов­падает с множеством значений параметра а, для которых уравнение f(x) = а имеет хотя бы один корень. При этом множество значений функции f(х), каждое из которых она принимает ровно один, два или три раза, совпадает с множес­твом значений параметра а, для которых уравнение f(x) = а имеет один, два или три корня соответственно и т.д. Анало­гично, множество значений функции f(x) на множестве X совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение f(x) = а имеет хотя бы один корень, принадлежа­щий множеству X.

Пример 1.

Найдите множество значений функции

Решение:

Найдем множество значений параметра а, для которых уравнение



имеет хотя бы один корень. При уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом при неизвестной x, поэтому имеет решение.

При уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант







Так как точка принадлежит заштрихованному отрезку, то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений будет весь этот отрезок.

Ответ: E(y) =.

  1. Метод обратной функции.

Как продолжение метода введения параметра можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решать относительно х уравнение считая у параметром. Если это уравнение имеет единственное решение то область значений исходной функции совпадает с областью определения обратной функции

Пример 1.

Найдите множество значений функции

Решение.

Найдем обратную функцию из уравнения

.

Теперь найдем область определения :



Так как то

Ответ: E(y) =

Пример 2.

Найдите область значений Е(у) функции 

Решение:

Из уравнения

 

найдем . При этом условие  выполняется,

так как 2х - 1 = 2  - 1 =  для всех y  R .

Обратная функция х = х(у) определена при   Следовательно, E(у) - множество всех действи­тельных чисел, кроме у = 1,5.

Ответ: Е(у) = (-∞; 1,5) U (1,5; +∞).

  1. Графический метод

Этот способ используется для графического задания функции.

Для нахождения Е(y) графическим способом необходимо спроектировать все точки заданного графика на ось Оу. Полученный промежуток оси Оу и будет множеством значений функции.

Пример 1.

Из уравнения нашли всевозможные у через х. Найдите множество всех значений, которые может принимать у.

Решение:

Решим пример графически. В системе координат Оху построим график уравнения



Им будет окружность радиуса 2 с центром в точке (0; 1). С другой стороны, этот график представляет собой совокупность графиков всевозможных функций у, определяемых из заданного уравнения, поэтому у может принимать все те значения, которые являются координатами проекций точек графика на ось Оу. Из рисунка видно, что искомое множество есть отрезок .



Ответ: E(y) = .

Пример 2. Найдите область значений Е(у) функции у = х + 2 — 3.

Решение:

Обозначим = t. Тогда 4 — х = t2 (t ≥ 0), откуда x = 4-t2 и у = 4-t2 + 2t - 3 == 1 + 2t-t2

=2-(t-l)2.

Так как  принимает все не­отрицательные значения, и только их, то Е(у) совпадает с множеством зна­чений функции у = 2 - (t - 1)2

при t ≥ 0, график которой представляет собой часть параболы с вершиной в точке (1; 2) и ветвями, направленными вниз. Из рисунка, на котором изобра­жен этот график, находим Е(у).

Ответ: Е(у] = (-∞; 2].
Литература

  1. Сильверстов В. В., «Как найти множество значений функции», Чебоксары, 2004.

  2. Лавренов С. Л, журнал «Квант» №4, 2007.

  3. Мамонтова Г.Г., «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Москва, 2008.

  4. Титаренко А. М. и др., справочник «Математика ЕГЭ 2009», Москва, 2009.

  5. Рязановский А.Р. и др., «Математика. Решение задач повышенной сложности», Москва, 2007.

  6. Никольский С. М., и др., «Алгебра и начала анализа», Москва, 2007.

  7. Коробков М.В., «Множество значений функции», Москва, 2004.

  8. Сканави М. И., «Сборник задач по математике», Москва, 1999.

Похожие:

Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconПрактическая работа №2. Создание таблиц значений функций в электронных таблицах
...
Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconМетодическое пособие г. Семей 2010 Нестандартные физические задачи: методическое пособие
Предлагаемое методическое пособие содержит подборку нестандартных физических задач по двум разделам
Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconЛабораторная работа №1 «Вычисление значений функций» студент 304 гр д/о Иванов Иван Иванович
Исследовать методы приближённого вычисления значений функций при помощи электронных вычислительных машин
Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconМатематика. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем Методическое пособие
Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов. В пособии приводятся основные определения и свойства показательной...
Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconТаблица значений тригонометрических функций
Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что...
Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconМетодическое пособие с. Первомайское 2006 содержание: Графики элементарных функций школьного курса
Построение графиков сложных с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconМетодическое пособие финно-угорские народы оренбургской области автор-
Данное методическое пособие как раз и рассчитано на специалистов данного профиля
Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconУчебно-методическое пособие по Новой истории стран Азии и Африки Брянск, 2008 Сагимбаев Алексей Викторович. Учебно-методическое пособие по курсу «Новая история стран Азии и Африки»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения Исторического факультета, обучающихся по специальности...
Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconОтчет по курсовой работе по дисциплине «информатика» Интерполяция полиномами Лагранжа
Интерполяция[1]­­­ – метод нахождения промежуточных значений некоторой величины по известному дискретному набору значений
Методическое пособие «Способы нахождения значений функций» iconУправление образования и науки тамбовской области лицензирование образовательного учреждения (методическое пособие)
Лицензирование образовательной деятельности: методическое пособие, Тамбов: тоипкро, 2007. – с
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org