Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования



Скачать 261.7 Kb.
Дата29.11.2012
Размер261.7 Kb.
ТипЛекция

Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования. Обработка результатов машинного эксперимента при синтезе систем. Особенности машинного синтеза. Оценка результатов моделирования системы

7.2. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования


Возможность фиксации при моделировании системы S на ЭВМ значений переменных (параметров) и их статистическая обработка для получения интересующих экспериментатора характеристик позволяют провести объективный анализ связей между этими величинами. Для решения этой задачи существуют различные методы, зависящие от целей исследования и вида получаемых при моделировании характеристик. Рассмотрим особенности использования методов корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа для результатов моделирования систем.

Корреляционный анализ результатов моделирования


С помощью корреляционного анализа можно установить, насколько тесна связь между двумя (или более) случайными величинами, наблюдаемыми и фиксируемыми при моделировании конкретной системы S. Корреляционный анализ результатов моделирования сводится к оценке разброса значений относительно среднего значения , т.е. к оценке силы корреляционной связи. Существование этих связей и их тесноту можно для схемы корреляционного анализа y=M[/=x] выразить при наличии линейной связи между исследуемыми величинами и нормальности их совместного распределения с помощью коэффициента корреляции

,

т.е. второй смешанный центральный момент делится на произведение средних квадратичных отклонений, чтобы иметь безразмерную величину, инвариантную относительно единиц измерения рассматриваемых случайных переменных.

Пример 7.1. Пусть результаты моделирования получены при N реализациях коэффициента корреляции

.

Данное соотношение требует минимальных затрат машинной памяти на обработку результатов моделирования. Получаемый при этом коэффициент корреляции |r|1. При сделанных предположениях r= 0 свидетельствует о взаимной независимости случайных переменных и , исследуемых при моделировании (рис. 7.1, а). При r= 1 имеет место функциональная (т.е. нестохастическая) линейная зависимость вида у b0 + b1x, причем если r>0, то говорят о положительной корреляции, т.е. большие значения одной случайной величины соответствуют большим значениям другой (рис. 7.1, б).
Случай 0<r<1 соответствует наличию линейной корреляции с рассеянием (рис. 7.1, в) либо наличию нелинейной корреляции результатов моделирования (рис. 7.1, г).

а б в г

rξη=0 rξη =1 0<rξη<1 0<rξη<1

у у у у

0 х 0 х 0 х 0 х



Рис. 7.1. Различные случаи корреляции переменных

Для того чтобы оценить точность полученной при обработке результатов моделирования системы S оценки r, целесообразно ввести в рассмотрение коэффициент , причем w приближенно подчиняется гауссовскому распределению со средним значением и дисперсией

.

При анализе результатов моделирования системы S важно отметить то обстоятельство, что если даже удалось установить тесную зависимость между двумя переменными, то отсюда еще непосредственно не следует их причинно-следственная взаимообусловленность. Возможна ситуация, когда случайные и стохастически зависимы, хотя причинно они являются для системы S независимыми. При статистическом моделировании наличие такой зависимости может иметь место, например, из-за коррелированности последовательностей псевдослучайных чисел, используемых для имитации событий, положенных в основу вычисления значений х и у.

Таким образом, корреляционный анализ устанавливает связь между исследуемыми случайными переменными машинной модели и оценивает тесноту этой связи. Однако в дополнение к этому желательно располагать моделью зависимости, полученной после обработки результатов моделирования.

Регрессионный анализ результатов моделирования


Регрессионный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую набору данных, полученных в ходе машинного эксперимента с системой S. Под наилучшим соответствием понимается минимизированная функция ошибки, являющаяся разностью между прогнозируемой моделью и данными эксперимента. Такой функцией ошибки при регрессионном анализе служит сумма квадратов ошибок.

Пример 7.2. Рассмотрим особенности регрессионного анализа результатов моделирования при построении линейной регрессионной модели. На рис. 7.2, а показаны точки хi, yi, , полученные в машинном эксперименте с моделью Мм системы S. Делаем предположение, что модель результатов машинного эксперимента графически может быть представлена в виде прямой линии

=(x)=b0+b1x,

где – величина, предсказываемая регрессионной моделью.

а б



Рис. 7.2. Построение линейной регрессионной модели

Требуется получить такие значения коэффициентов b0 и b1, при которых сумма квадратов ошибок модели является минимальной. На рисунке ошибка ei, , для каждой экспериментальной точки определяется как расстояние по вертикали от этой точки до линии регрессии = (х).

Обозначим i = b0+b1xi, . Тогда выражение для ошибок будет иметь вид:

ei = i yi = b0+b1xi yi, а функция ошибки F0 = .

Для получения b0 и b1, при которых функция F0 является минимальной, применяются обычные методы математического анализа. Условием минимума является F0/b0 = 0, F0/b1 = 0.

Дифференцируя F0, получаем



Решая систему этих двух линейных алгебраических уравнений, можно получить значения b0 и b1. В матричном представлении эти уравнения имеют вид:

.

Решая это уравнение, получаем

,

,

где N – число реализаций при моделировании системы.

Соотношения для вычисления b0 и b1 требуют минимального объема памяти ЭВМ для обработки результатов моделирования. Обычно мерой ошибки регрессионной модели служит среднее квадратичное отклонение

.

Для нормально распределенных процессов приблизительно 67 % точек находится в пределах одного отклонения e от линии регрессии и 95 % – в пределах 2е (трубки А и B соответственно на рис. 7.2, б). Для проверки точности оценок b0 и b1 в регрессионной модели могут быть использованы, например, критерии Фишера (F-распределение) и Стьюдента (t-распределение). Аналогично могут быть оценены коэффициенты уравнения регрессии и для случая нелинейной аппроксимации.

Дисперсионный анализ результатов моделирования


При обработке и анализе результатов моделирования часто возникает задача сравнения средних выборок. Если в результате такой проверки окажется, что математическое ожидание совокупностей случайных переменных {y(1)}, {y(2)}, …, {y(n)} отличается незначительно, то статистический материал, полученный в результате моделирования, можно считать однородным (в случае равенства двух первых моментов). Это дает возможность объединить все совокупности в одну и позволяет существенно увеличить информацию о свойствах исследуемой модели Мм, а следовательно, и системы S. Попарное использование для этих целей критериев Смирнова и Стьюдента для проверки нулевой гипотезы затруднено в связи с наличием большого числа выборок при моделировании системы. Поэтому для этой цели используется дисперсионный анализ.

Пример 7.3. Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработке результатов моделирования системы в следующей постановке. Пусть генеральные совокупности случайной величины {у(1)}, {y(2)}, ..., {y(n)} имеют нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Необходимо по выборочным средним значениям при некотором уровне значимости проверять нулевую гипотезу H0 о равенстве математических ожиданий. Выявим влияние на результаты моделирования только одного фактора, т.е. рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ.

Допустим, изучаемый фактор x привел к выборке значений неслучайной величины Y следующего вида: y1, y2, ..., yk, где k – количество уровней х. Влияние фактора будем оценивать неслучайной величиной Dx, называемой факторной дисперсией:

,

где – среднее арифметическое значение величины Y.

Если генеральная дисперсия D[y] известна, то для оценки случайности разброса наблюдений необходимо сравнить D[y] с выборочной дисперсией , используя критерий Фишера (F-распределение). Если эмпирическое значение Fэ попадает в критическую область, то влияние фактора х считается значимым, а разброс значений х – неслучайным. Если генеральная дисперсия D[y] до проведения машинного эксперимента с моделью Мм неизвестна, то необходимо при моделировании найти ее оценку.

Пусть серия наблюдений на уровне yi имеет вид: уi1, уi2, …, yin, где n – число повторных наблюдений на i-м уровне. Тогда на i-м уровне среднее значение наблюдений

,

а среднее значение наблюдений по всем уровням

.

Общая выборочная дисперсия всех наблюдений

.

При этом разброс значений у определяется суммарным влиянием случайных причин и фактора х. Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсию D[у] на составляющие, зависящие от случайных и неслучайных факторов.

Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами,

,

а оценка факторной дисперсии

.

Учитывая, что факторная дисперсия наиболее заметна при анализе средних значений на i-м уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений в n раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем точную оценку выборочной дисперсии:

.

Умножив обе части этого выражения на n, получим в правой части выборочную дисперсию , имеющую (k – 1)-ю степень свободы. Влияние фактора х будет значимым, если при заданном выполняется неравенство />F1-. В противном случае влиянием фактора х на результаты моделирования можно пренебречь и считать нулевую гипотезу Н0 о равенстве средних значений на различных уровнях справедливой.

Таким образом, дисперсионный анализ позволяет вместо проверки нулевой гипотезы о равенстве средних значений выборок проводить при обработке результатов моделирования проверку нулевой гипотезы о тождественности выборочной и генеральной дисперсии.

7.3. Обработка результатов машинного эксперимента при синтезе систем


При синтезе системы S на базе машинной модели Мм задача поиска оптимального варианта системы при выбранном критерии оценки эффективности и заданных ограничениях решается путем анализа характеристик процесса функционирования различных вариантов системы, их сравнительной оценки и выбора наилучшего варианта. Независимо от того, как организуется выбор наилучшего варианта системы – простым перебором всех проанализированных при машинных экспериментах результатов или с помощью специальных процедур поиска оптимального варианта, например, методом математического программирования, – элементарной операцией является сравнение статистически усредненных критериев оценки эффективности вариантов систем.

Особенности машинного синтеза


Учитывая то обстоятельство, что конкурирующие варианты системы S отличаются друг от друга структурой, алгоритмами поведения, параметрами, число таких вариантов достаточно велико. Поэтому при синтезе оптимального варианта системы Sопт особенно важно минимизировать затраты ресурсов на получение в результате моделирования характеристик каждого варианта системы. Исходя из этих особенностей, при синтезе системы S обработку и анализ результатов моделирования каждого варианта системы S следует рассматривать не автономно, а в их тесной взаимосвязи. Очевидно, что задача синтеза оптимального варианта моделируемой системы Sопт должна быть уже поставлена при планировании машинного эксперимента с моделью Мм.

В предыдущей главе было показано, что искусственная организация статистической зависимости между выходными характеристиками сравниваемых вариантов S1 и S2 системы дает выигрыш в точности оценки средних значений, вероятностей и дисперсии при положительно коррелированных критериях q1 и q2. Корреляция между критериями q1 и q2 возникает в силу того, что случайные векторы

,

,

описывающие воздействие внешней среды Е на варианты S1 и S2 системы, имеют общие составляющие , в то время как составляющие и статистически независимы.

Если через обозначить фиксированные значения составляющих, то условные средние значения q1 и q2 будут такими:

,

,

т.е. являются функциями переменных .

Рассмотрим особенности обработки результатов моделирования, когда сравниваемые в ходе проведения имитационных экспериментов полные средние значения критериев q1 и q2 примут вид:

;

,

где ; совместная плотность вероятностей составляющих v1, ..., vk.

Ковариация


.

Достаточным условием неотрицательности ковариации, дающим выигрыш в оценке разности средних, является одинаковая упорядоченность условных средних ,  относительно векторного аргумента , т.е. выполнение неравенства

(7.1)

для любых значений векторных аргументов , .

Действительно, учитывая, что , находим



Так как f()>0 для всех v, то при выполнении (7.1) имеем В120, что и требовалось доказать.

Когда в качестве результатов моделирования выступают вероятности событий A1, А2 для вариантов S1 и S2 системы, то условные значения

,

,

где условная вероятность, i=1, 2.

Тогда достаточное условие неотрицательности ковариации запишется в виде

0, (7.2)

что соответствует одинаковой упорядоченности условных вероятностей и относительно векторного аргумента .

Одинаково упорядоченными являются монотонно возрастающие или монотонно убывающие функции 1(v) и 2(v) скалярного аргумента v, а также одинаковые функции 1(v)= 2(v) независимо от их монотонности. Пример одинаково упорядоченных возрастающих (а) и убывающих (б) функций (v) показан на рис. 7.3.

а б


1 2

1

2

Рис.7.3. Пример одинаково упорядоченных функций

Если положительные функции j(), , одинаково упорядочены, то произведение любой комбинации этих функций k()s()…m() одинаково упорядочено с произведением любой комбинации l()q()…p(). Это же можно сказать и об условных вероятностях P(Aj/), .

Пример 7.4. Пусть методом статистического моделирования на ЭВМ необходимо сравнить результаты моделирования двух вариантов S1 и S2 системы, составленных из одинаковых блоков B1B4 (структура системы показана на рис. 7.4) и сравниваемых по критерию надежности с учетом случайных изменений внешней температуры. События A1 и A2 соответствуют безотказной работе вариантов S1 и S2 системы в течение заданного времени Т. Вероятность безотказной работы Bi при заданной температуре v можно определять как

,

где i(v) – интенсивности отказов, являющиеся возрастающими функциями температуры.

S1 S2



Рис. 7.4. Структуры сравниваемых вариантов систем S1 и S2

Таким образом, функции P(Bi/v) являются одинаково упорядоченными убывающими функциями. Можно показать, что функции



также одинаково упорядочены и убывают с ростом температуры v. Поэтому, используя при машинном эксперименте с вариантами S1 и S2 системы одни и те же реализации v случайной температуры v, получим в результате моделирования большую точность сравнения вероятностей Р(А1) и Р(А2), чем при раздельном моделировании S1 и S2 системы с использованием независимых реализаций v.

Рассмотренный пример можно обобщить и на случай векторного аргумента, например, для набора таких переменных, как температура, давление, ускорение и т.п.

Когда независимые компоненты в воздействиях внешней среды Е отсутствуют, т.е. 1=2=, условные средние 1=M[q1/], 2=M[q2/] преобразуются в детерминированные зависимости критериев от случайных воздействий q1=f1(), q2=f2().

При этом условия одинаковой упорядоченности становятся еще более жесткими.

Так, например, условия (7.2) выполняются лишь тогда, когда для всех значений исключено одно из состояний: A12 или 1А2. Другими словами, положительная корреляция B12 и связанные с ней преимущества гарантируются лишь тогда, когда вариант системы S1 равномерно лучше (хуже) варианта S2. В принятых в п. 6.3 обозначениях это соответствует pC = 0 или pD = 0.

Состояния C = A12 или D =1А2 вариантов систем S1 и S2 возможны лишь при наличии двух неисправных блоков Вi, , состояние A = A1A2 возможно при отсутствии неисправностей или при одной неисправности, а состояние
В =12 при трех или четырех неисправностях. Обозначив через ij ситуацию с неисправностями блоков Bi и Bj, находим соответствие между состояниями и убеждаемся в отсутствии состояния D.

Следует помнить, что условия одинаковой упорядоченности (7.1) и (7.2) являются достаточными, но не необходимыми и достаточными условиями неотрицательности корреляции. Поэтому, обнаружив в конкретной схеме проведения имитационного эксперимента нарушение этих условий при некоторых реализациях входных воздействий , следует более детально рассмотреть процедуру сравнения средних значений или вероятностей. Например, при сравнении вероятностей, задаваясь значениями p = p1 p2, pA и pD, необходимо рассчитать значения р2 = рAD, р1 = p2+p, рC = pD+р и вычислить коэффициенты корреляции и «выигрыша» соответственно:

;

,

где Nн, и Nз объемы выборки, необходимые для получения заданной точности оценки р при использовании независимых и зависимых реализаций.

Таким образом, использование зависимых испытаний дает возможность значительно сократить затраты машинного времени на моделирование. Рассмотренная методика сравнения характеристик вариантов при синтезе системы с учетом их корреляции является формальной. Однако основа для получения с помощью этой методики практических преимуществ неформальная операция выбора такой схемы имитации, при которой искусственно создавалась бы требуемая корреляция.

Оценка результатов моделирования системы


Рассмотрим возможность оценки при обработке результатов моделирования абсолютных значений характеристик процесса функционирования системы S. Пусть исследование одного из вариантов системы, например S2, выполнено аналитическим методом и определено среднее значение 2 критерия q2. Тогда оценка = 2 d среднего значения 1 имеет дисперсию

D[] = D[] = (D[]+D[])/ = (1+)D[]/,

где коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности средних значений 2  1 за счет зависимости испытаний;  = D[]/D[]. Оценка точнее, если (1+)/<1.

Однако затраты машинного времени для получения оценки , которые обозначим как t12, превышают при заданном N затраты машинного времени t1, необходимого для автономной оценки . Поэтому при заданной точности оценки среднего оценка дает выигрыш по затратам машинного времени на имитацию только в том случае, если (1+)t12/(t1)<1.

Для нормально распределенных критериев q1 и q2 оценка дисперсии =D2+. Выигрыш в затратах машинного времени на имитационное моделирование по сравнению с автономной оценкой будет лишь при условии (1+)t12/(Dt1)<1, где D коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности дисперсии за счет зависимых испытаний.

Рассмотренные методы сравнения вариантов S1 и S2 моделируемой системы можно использовать в алгоритмах оптимизации на этапе проектирования системы S, т.е. при ее синтезе, по результатам имитационного эксперимента с ее машинной моделью Мм.

При синтезе системы S на основе проведения машинных экспериментов с моделью Мм возникает задача анализа чувствительности модели к вариациям ее параметров. Под анализом чувствительности машинной модели Мм понимают проверку устойчивости результатов моделирования, т.е. характеристик процесса функционирования системы S, полученных при проведении имитационного эксперимента, по отношению к возможным отклонениям параметров машинной модели от истинных их значений .

Анализ чувствительности позволяет сравнивать методические погрешности, полученные при построении машинной модели Мм, с неточностями задания исходных данных, что особенно важно при практической реализации для целей синтеза системы S.

Малым отклонениям будут соответствовать изменения характеристик , которые в практических расчетах можно оценить величиной

,

где ; r0 остаточный член второго порядка малости относительно вариации, который используется для проверки точности решения.

Частная производная определяется в точках, соответствующих номинальным значениям параметров . Если , где оптимальные параметры системы по показателю , то =0 и необходимо проводить оценку с использованием второй производной . Таким образом, частные производные , количественно характеризуют чувствительность машинной модели Мм к изменениям ее параметров.

Большие отклонения характеристик при малых вариациях свидетельствуют о неустойчивости модели Мм по отношению к этим вариациям. Для получения оценок показателя удобно рассматривать зависимые реализации внешних воздействий при различных и проводить соответствующую обработку результатов машинного эксперимента с моделью Мм.

Таким образом, результаты машинного эксперимента с моделью Мм обрабатываются с учетом целей моделирования системы S, которые находятся в тесной связи с вопросами, решаемыми при планировании экспериментов. При синтезе системы S на базе машинной модели Мм необходимо принять меры по организации зависимых испытаний анализируемых вариантов системы и оценке чувствительности модели к вариации ее параметров, что позволит упростить работу с моделью на каждом шаге оптимизации.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК


  1. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов,
    С.А. Яковлев. 3-е изд., перераб. и доп. М. : Высш. шк., 2001. 343 с.

  2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: учеб. для вузов / В.П. Тарасик. М.: Наука, 1997. 600 с.

  3. Введение в математическое моделирование: учеб. пособие для вузов / под ред. П.В.Тарасова. М.: Интермет Инжиниринг, 2000. 200 с.

  4. Советов Б.Я. Моделирование систем : учеб. для вузов / Б.Я. Советов,
    С.А. Яковлев. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1998. 319 с.

  5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука /
    Р. Шеннон. М.: Мир, 1978. 308 с.

  6. Максимей И.В. Имитация моделирования на ЭВМ / И.В. Максимей.
    М.: Радио и связь, 1988. 232 с.

  7. Литвинов В.В. Методы построения имитационных систем / В.В. Литвинов Т.П.Марьянович. Киев Наукова Думка 1991. 120 с.

  8. Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS / Т.Дж. Шрайбер.
    М.: Машиностроение, 1980. 592 с.

  9. Технология системного моделирования / Е.Ф. Аврамчук [и др.]. М. Машиностроение 1988. 520 с.

  10. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах.
    Л. Машиностроение 1988. 233 с.

  11. Балакирев В.С. Оптимальное управление процессами химической технологии / В.С. Балакирев В.М. Володин А.М. Цирлин. М. Химия 1978. 384 с.

  12. Пакеты прикладных программ: Математическое моделирование / под ред. А.А. Самарского. М.: Наука, 1989. 128 с.

  13. Системное обеспечение пакетов прикладных программ / под ред.
    А.А. Самарского. М.: Наука, 1990. 208 с.







Похожие:

Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconЛекция 30. Статистические методы обработки. Задачи обработки результатов моделирования. Критерий согласия Колмогорова. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Смирнова. Критерий согласия Стьюдента. Критерий согласия Фишера
Поэтому необходимо так организовать в процессе вычислений фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки для искомых...
Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconВопросы к зачету по дисциплине «Корреляционный анализ спортивных результатов спортсменов западно-сибирского региона»
«Корреляционный анализ спортивных результатов спортсменов западно–сибирского региона»
Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconГносеологическое определение сущности модели и процесса моделирования
Другими словами, гносеологический анализ всевозможных видов моделирования должен начаться с выяснения точного значения или значений...
Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconЛекция 29. Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем (продолжение). Проблема выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями системы. Обработка и анализ результатов моделирования систем
Другой способ – задание доверительных интервалов для выходных переменных и остановка прогона машинной модели Мм при достижении заданного...
Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconФормирование модели
Анализ любой проблемы начинается с построения модели исследуемого объекта или процесса. Не вдаваясь в подробности теория моделирования,...
Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconАнализ результатов егэ 2008 год
Вместе с тем результаты экзамена указывают и на то, что по-прежнему сохраняется определенное число элементов содержания, по которым...
Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconРазработка средств визуализации и анализа результатов численного моделирования методом частиц

Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconИсследование точности результатов моделирования напряженно-деформированного состояния упругих тел мкэ

Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconОтдел образования Свислочского райисполкома Районный учебно-методический кабинет Содержательный анализ результатов учебной деятельности при безотметочном обучении
Содержательный анализ результатов учебной деятельности при безотметочном обучении
Лекция 31. Анализ и интерпретация результатов машинного моделирования. Корреляционный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ результатов моделирования. Дисперсионный анализ результатов моделирования iconУчет фондов, резервов и займов; учет и анализ финансовых результатов и использования прибыли
Подробно эти вопросы рассматриваются в темах, посвященных учету финансовых результатов
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org