Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение



страница1/15
Дата29.11.2012
Размер1.41 Mb.
ТипЛекция
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ

Часть 3

ВОЛНЫ. ОПТИКА.ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ.
Сост. А.Н.Яшина

Лекция 3.1. Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение.

Лекция 3.2. Упругие волны. Скорость и энергия упругой волны.

Лекция 3.3. Электромагнитные волны.

Лекция 3.4. Поляризация волн. Поляризация света. Способы поляризации.

Лекция 3.5. Фазовая и групповая скорости. Дисперсия.

Лекция 3.6. Интерференция. Условия максимума и минимума интерференции.

Лекция 3.7. Понятие когерентности. Временная и пространственная когерентность.

Лекция 3.8. Дифракция. Зоны дифракции. Дифракция Френеля.

Лекция 3.9. Дифракция Фраунгофера от щели. Дифракционная решетка. Голография.

Лекция 3.10. Тепловое излучение. Формула Планка.

Лекция 3.11. Тормозное рентгеновское излучение. Фотоэффект. Формула Эйнштейна.

Лекция 3.12. Ядерная модель атома. Постулаты Бора.

Лекция 3.13. Волновые свойства частиц вещества.

Лекция 3.14. Уравнение Шрёдингера. Квантование энергии и момента импульса. Атом водорода.

Лекция 3.15. Многоэлектронные атомы. Спин электрона. Распределение электронов по энергетическим уровням.

Лекция 3.16. Самопроизвольное и вынужденное излучение.

Лекция 3.17. Энергия молекул. Энергетические зоны в кристаллах.

Лекция 3.18. Атомное ядро. Энергия связи. Ядерная энергия.


ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОПТИКА.

Лекция 3.1.

Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение.

Представим себе цепочку, состоящую из равноотстоящих друг от друга материальных точек, которые связаны пружинками и могут движения, деформируя пружинки. Если сместить от положения равновесия какую-либо частицу, то она начнет совершать колебательное движение и, взаимодействуя через пружинки, вовлечет в колебания соседние частицы. Все частицы будут совершать колебания, тождественные с исходной, но не одновременно, а запаздывая по фазе. Таким образом, колебания будут распространяться в пространстве.

Если смещение от положения равновесия частицы с координатой 0 записать

µ § µ §, (3.1.1)

то для частицы с координатой х

-----------ЎЬ\/\/\/ЎЬ\/\/\/ЎЬ\/\/\/ЎЬ\/\/\/ЎЬ----------х µ §, (3.1.2)

х где µ §ЁC время, в течение которого

Рис.3.1.1 возмущение распространится от

источника до данной точки. Обозначим скорость распространения возмущения µ §. Тогда µ § и (3.1.2) перепишется µ §. (3.1.3)

Величина µ § ЁC есть та разность фаз, на которую колебания точки на расстоянии х отстают по фазе от колебаний начальной точки. Аргумент косинуса ЁC это фаза волны. Таким образом, фаза волны является функцией координат и времени.

Аналогичным образом процесс будет протекать в упругой среде, поскольку ее частицы взаимодействуют друг с другом похожим образом.
Таким образом, процесс колебаний распространяется в пространстве. При этом необходимо отметить, что переноса вещества в пространстве не происходит, частицы среды лишь колеблются около положения равновесия. Распространение в пространстве различных видов возмущений вещества и поля, проявляющееся в переносе энергии возмущения, называется волновым процессом или волной. Если речь идет о колебаниях частиц среды, то волна называется упругой.
Характеристики волны.

Если волна является строго синусоидальной с постоянными во времени частотой µ §, амплитудой и начальной фазой, то она называется монохроматической. Монохроматическое колебание в каждой точке пространства длится бесконечно долго, не имея ни начала ни конца во времени. Поэтому монохроматическая волна является идеализацией и не может быть реализована в действительности.

В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению распространения волны различают волны продольные и поперечные. В продольной волне направление колебаний параллельно направлению распространения волны. В поперечной ЁC направление колебаний перпендикулярно направлению распространения.

На рис 3.1.1 показаны колебания частиц, расположенных вдоль оси х. В действительности колеблются не только эти частицы, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника, волновой процесс охватывает все новые части пространства. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Однако среди этих поверхностей существует одна особая, называемая волновым фронтом. Волновым фронтом называется волновая поверхность, отделяющая часть пространства, уже вовлеченного в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Волновые поверхности могут быть любой формы. В зависимости от их формы различают волны плоские, сферические и т.д.

Уравнение (3.1.3) очевидно описывает волну, у которой все точки пространства с одинаковым значением координаты х колеблются в одинаковой фазе. Уравнение х = const есть уравнение плоскости. Таким образом, выражение (3.1.3) описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. В выражении (3.1.3) удобно ввести обозначение µ §. (3.1.4) Величина k называется волновым числом. Тогда (3.1.3) перепишется

µ §. (3.1.5)

Рассмотрим в распространяющейся волне две точки с координатами µ § и µ § такие, что в данный момент времени разность фаз колебаний для них составляет µ §. Это значит, что смещения этих частиц в данный момент одинаковы. Расстояние между точками, разность фаз колебаний в которых равна µ §, называется длиной волны - µ §. Из такого определения следует

µ §.

Поэтому, принимая во внимание связь между циклической частотой µ § и периодом колебаний Т µ §, запишем

µ §, (3.1.6)

откуда следует еще одно определение длины волны. Длина волны это расстояние, которое проходит волна за время, равное периоду колебаний.

Выясним смысл величины , которую мы назвали скоростью распространения возмущения в пространстве. Для этого фиксируем некоторое значение фазы, которое имеет место в момент времени t в точке с координатой х. За время dt это значение переместится на расстояние dx. Тогда

µ §; µ §.

Следовательно, µ § - скорость, с которой фиксированное значение фазы волны перемещается в пространстве. Потому она называется фазовая скорость. Заметим, что в рассмотренном случае µ § положительно, т.е. волна распространяется в направлении оси х. Очевидно, что выражение

µ § (3.1.7)

Также описывает плоскую волну, но распространяющуюся против оси х.

Запишем функцию, представляющую плоскую волну, распространяющуюся в произвольном направлении. Введем вектор µ §, называемый волновым вектором, где µ § - единичный вектор нормали к волновой поверхности. Пусть волновая поверхность отстоит от начала координат на расстояние l (рис.3.1.2). Тогда смещение точки, положение которой определено радиус-вектором µ §µ §запишется

µ §.

Рис.3.1.2. Выразим l через радиус-вектор этой точки. Из

рисунка видно, что l можно представить как скалярное произведение векторов µ § и µ § µ §. Тогда получим

µ §. (3.1.8)

Для соблюдения общности мы ввели начальную фазу µ §. Поскольку можно записать µ §, то выражение (3.1.5) является частным случаем формулы (3.1.8).

Кроме плоских могут существовать волны с другой формой волновой поверхности. В однородной изот­ропной среде волна от точечного источника пред­ставляет собой сферически расходящееся возмущение вида

µ § (3.1.9)

где µ §0 ЎЄ постоянная, µ §0/r ЎЄ амплитуда волны, r - расстояние от источника до данной точки. Ее волновые по­верхности являются сферическими. Отметим, что в выражении (3.1.8) стоит именно k (волновое число), а не волновой вектор µ §, как для плоской гармонической волны. Как видно из (3.1.8), амплитуда сферической волны уменьшается с удалением от источника.
Волновое уравнение.

Прямой подстановкой можно убедиться, что выражение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х (3.1.5) является решением уравнения µ §. (3.1.10)

Это уравнение называется волновым уравнением.

В случае, когда волна распространяется в произвольном направлении, (3.1.8) есть решение общего волнового уравнения

µ §. (3.1.11)

Лекция 3.2.

Упругие волны. Скорость и энергия упругой волны.
Скорость упругой волны.

Рассмотренные нами волны в цепочке очень хорошо представляют сущность волновых процессов во всевозможных телах (стержнях, струнах и т.д.) или в сплошных средах (твердых, жидких и газообразных). В твердых телах возможны как продольные, так и поперечные волны. В жидких и газообразных, не имеющих упругости формы (модуль сдвига равен нулю) поперечные волны невозможны, возможны только продольные. При распространение волны в такой среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц, перемещающиеся в направлении распространения волны.

Найдем скорость волны в тонком стержне. Под тонким имеется в виду стержень, толщина которого мала по сравнению с длиной волны л. При малых продольных деформациях стержня спра­ведлив закон Гука:

µ § (3.2.1)

где у=µ § ЎЄ напряжение (Н/м2), Е ЎЄ модуль Юнга (Па), е = до/дх ЁC относительная деформация. Заметим, что у, как и е, величина алгебраическая, и знаки у и е всегда одинаковы: при растяжении ЎЄ положительные, при сжатии ЎЄ отрицательные.

Рассмотрим малый элемент стержня Дx « л в момент, Рис.3.2.1.

когда при прохождении волны (длина волны µ §)

он оказался, например, в растянутом состоянии (рис.3.2.1). Применим к этому элементу 2-й закон Ньютона:

µ §

где с ЎЄ плотность материала стержня, S ЎЄ площадь его попе­речного сечения. В данный момент, как видно из рисунка, Fx(x + х) > 0, a Fx(x) < 0. Соответствующие же значения у в сечениях x и x + Дx положительные (растяжение). Поэтому правую часть уравнения можно переписать так:

µ §µ §

где учтено, что слева Fx и у имеют разные знаки (это будет и при сжатии). Тогда уравнение движения после сокращения на Дx·S примет вид µ §. Остается учесть (3.2.1), после чего получим окончательно:

µ § (3.2.2)

Мы пришли, таким образом, к волновому уравнению. Это по­зволяет утверждать, что в стержне будет распространяться про­дольная волна, скорость которой легко определить, сопоста­вив полученное выражение с (3.1.10):

µ § (3.2.3)

Заметим, что для не тонкого стержня выражение для V име­ет более сложный вид и значение V оказывается больше, чем в случае тонкого стержня.

Можно показать, что скорость упругих поперечных волн в неограниченной изотропной твердой среде

µ § (3.2.4)

где G ЎЄ модуль сдвига среды, с ЎЄ ее плотность.
Скорость звука в жидкостях и газах.

Формулу (3.2.3) можно использовать для вычисления скорости продольных волн в жид­костях и газах, в частности, звуковых волн, которые являются упругими волнами определенного частотного диапазона (20 ч 20000 Гц). Действительно, вырезав мысленно канал в на­правлении распространения плоской волны, мы можем повто­рить все рассуждения, приведшие нас к этой формуле. Остается только выяснить, какая величина в этом случае играет роль модуля Юнга Е.

При продольных волнах в среде возникают сжатия и разрежения отдельных слоев, и закон Гука (3.2.1) в данном случае ЎЄ связь избыточного давления Др с относительным изменением длины элемента Дх цилиндрического канала До/Дx ЎЄ примет вид Дp = - ЕДо/Дx, где знак минус связан с тем, что приращения давления Дp и длины До противоположны по знаку. Умножив числитель и знаменатель на площадь поперечного сечения ка­нала, получим

µ § (3.2.5)

где ДV/V ЎЄ относительное приращение объема рассматривае­мого элемента. Перейдя к пределу, получим

µ § (3.2.6)

Объем V элемента Дx и его плотность меняются при прохожде­нии волны, но их произведение, т. е. масса т= сV = const. Отсюда dс/с = -dV/V, значит

µ § (3.2.7)

После подстановки этого выражения в (3.2.6) получим Е = µ §, и скорость волны ЎЄ формула (3.2.3) ЎЄ примет вид

µ § (3.2.8)

Это выражение справедливо для волн в жидкостях и газах.

Опыт показывает, что при распространении звука в газе связь между давлением и объемом определяется уравнением

µ § (3.2.9)

где г ЎЄ так называемая постоянная адиабаты, равная отноше­нию теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, г = CP/CV ЎЄ величина, характерная для каждого газа. Запишем дифференциал натурального логарифма выражения (3.2.9):

µ §

откуда dp/dV = - гp/V, и формула (3.2.3) принимает вид

µ § (3.2.10)

Таким образом, скорость звуковой волны в газе

µ § (3.2.11)

Это выражение можно преобразовать к более удобному для рас­четов виду, если учесть уравнение состояния идеального газа pV = (m/M)RT, где, напомним, m ЎЄ масса газа, М ЎЄ его мо­лярная масса. Из уравнения состояния определим плотность как с = m/V = pM/RT, и уравнение (3.2.11) станет таким:

µ § (3.2.12)

где R ЎЄ универсальная газовая постоянная.
Энергия волны. Плотность потока энергии. Интенсивность волны.

Прежде всего, найдем вы­ражение для плотности упругой (потенциальной) энергии рас­тянутого (или сжатого) стержня. Приложим к торцу стержня, другой конец которого закреплен, растягивающую силу F(x) и будем медленно увеличивать ее от 0 до значения F0. Удлинение стержня при этом будет меняться от 0 до x. По закону Гука F(x) = кх, где к ЎЄ коэффициент упругости. Работа силы F(x) в этом процессе

µ §

Эта работа идет на увеличение упругой энергии U стержня, значит

µ § (3.2.13)

Плотность же упругой энергии wn = U/Sl, где S и l ЎЄ пло­щадь поперечного сечения и длина стержня. Преобразуем вы­ражение (3.2.13), учитывая, что k µ § = F = уS, у = Ее и е = µ §. Тогда

µ §

Отсюда видно, что плотность упругой энергии

µ § (3.2.14)

При прохождении продольной волны в стержне каждая еди­ница объема его обладает как потенциальной энергией упругой деформации wр, так и кинетической энергией wk=µ §. Плотность полной энергии

µ § . (3.2.15)

Для тонкого стержня Е = сV2, согласно (3.2.3), и выражение (3.2.15) можно переписать так:

µ § (3.2.16)

Можно показать, что оба слагаемых равны друг другу, т. е. плотности кинетической и упругой энергии оди­наковы и изменяются синфазно. Поэтому мы имеем в результате

µ § (3.2.17)

В частности, для гармонической волны µ §=µ § cпs(щt - kx)

µ § (3.2.18)

Соответствующее распределение w(x) вдоль стержня в некото­рый момент показано на рис.3.2.2.
Среднее значение плотности энергии за период (или за время значительно большее периода колебаний) равно Рис.3.2.2.

µ § (3.2.19)

поскольку среднее значение квадрата синуса равно Ѕ.

Полученные формулы справедливы и для упругих волн в жидкостях и газах.
Плотность потока энергии.

Так как энергия перемещается в среде вместе с возмущением, вводят понятие потока энергии Ф. Это количество энергии, переносимое волной через определен­ную поверхность S в единицу времени:

µ § (3.2.20)

где dW ЎЄ энергия, переносимая через данную поверхность за время dt.

Поток энергии в разных точках поверхности S может иметь различную интенсивность. Для характеристики этого обстоя­тельства вводят понятие плотности потока энергии. Это по­ток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии:

µ § (3.2.21)

где dФ = dW/dt, a dW ЎЄ это энергия, заключенная внутри косого цилиндра с основанием площадью dS и образующей длиной Vdt, где V ЎЄ ско­рость переноса энергии (или скорость волны). Размеры этого цилиндра должны быть настолько малы, чтобы во всех его точ­ках плотность энергии w была бы оди­наковой. Тогда dW = wdV, dV ЎЄ объем данного цилиндра, и мы можем записать: Рис.3.2.3.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

Похожие:

Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconЛекция №28 механические волны план
Механизм образования механических волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Волновое уравнение и его решение. Гармонические...
Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconФизика волновых процессов
Волновое уравнение. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Фазовый фронт, фазовая скорость, длина волны. Стоячие волны. Неоднородные...
Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconФизическая оптика
Волновое уравнение и его следствия. Уравнения Максвелла для электромагнитной волны в диэлектрике. Волновое уравнение. Скалярная волна....
Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconКурс лекций, II семестр, 34 часа Оптика. Физика атома
Электромагнитная природа света. Оптический и видимый диапазон электромагнитных волн. Волновое уравнение. Скорость света. Гармоническая...
Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconОсновы электромагнитной теории света
Уравнения Максвелла. Волны в вакууме. Волновое уравнение. Плоские монохроматические волны (скалярные и векторные). Свойства плоских...
Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconВолновой пакет
Запишем уравнение монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси x
Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconЦилиндрические волны
Поверхность одинаковых фаз1 является в этом случае цилиндрической. Очевидно, что для описания данного типа волн удобно использовать...
Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconПрограмма Государственного экзамена по подготовке магистра по направлению «Физика оптических явлений» (510412)
Уравнения Максвелла. Теорема Умова-Пойнтинга Волновое уравнение. Плоские и сферические волны. Поляризация электромагнитных волн;...
Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconУравнение, описывающее и электронное, и фотонное поле, а также некоторые обобщения
Емени добавлена группа so(3), параметризованная через углы Эйлера (или, другими словами, многообразие группы so(3)), и волновое уравнение...
Лекция Волновой процесс. Характеристики волны. Волновое уравнение iconУравнение, описывающее и электронное, и фотонное поле, а также некоторые обобщения
Емени добавлена группа so(3), параметризованная через углы Эйлера (или, другими словами, многообразие группы so(3)), и волновое уравнение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org