К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла



Скачать 35.74 Kb.
Дата29.11.2012
Размер35.74 Kb.
ТипИсследование
К дню Великой Победы – 9 Мая

Инвариантность уравнений Максвелла

Корнева М.В., Кулигин В.А., Кулигина Г.А.

(Исследовательская группа АНАЛИЗ, http://kuligin.mylivepage.ru)

Аннотация. Показано, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразования Галилея, но не преобразования Лоренца.

Введение


Напомним различие между полным дифференциалом и частным дифференциалом. Пусть имеется система



Запишем полные дифференциалы для x и y



Теперь запишем частные дифференциалы и .



Чтобы придать выражениям определенность, мы поставили индексы при частных дифференциалах. Обычно такие индексы не ставятся.

Величина отыскивается при условии, что .

Но, как следует из полного дифференциала для выражение выполняется при условии, что

или

Учитывая это обстоятельство, мы получим окончательное выражение



Напомним, что в данном случае частный дифференциал и полный дифференциал здесь совпадают . Аналогично можно получить выражение и для .

Исследование


1. Рассмотрим следующий пример. Пусть имеется некий неподвижный источник, который создает вокруг себя в свободном пространстве (x’; y’; z’; ct’) поле, описываемое уравнением

gif" name="object17" align=absmiddle width=215 height=43> (1)

Покажем, что это уравнение инвариантно относительно преобразования Лоренца

(2)

Преобразование (2) переводит процесс из системы отсчета (x’; y’; z’; ct’) в новую систему отсчета (x; y; z; ct), которая движется со скоростью v относительно исходной вдоль оси х.

Запишем уравнение (1) в новой системе отсчета. Для этой цели вычислим сначала первую производную, учитывая, что мы имеем дело с полным дифференциалом.



В новой системе отсчета частная производная превращается в полную производную , поскольку дифференцирование идет только по координате х при постоянных значениях (y; z; ct), которые не зависят от х. Аналогичное явление имеет место и для ct. Следовательно, мы можем записать



Проводя таким способом вычисления всех остальных производных второго порядка, мы получим

(3)

Таким образом, уравнение в полных производных (1) оказывается инвариантным относительно преобразования Лоренца (2).

*

2. Рассмотрим теперь проблему инвариантности волнового уравнения (= уравнений Максвелла) в свободном пространстве относительно преобразования Галилея. Не ограничивая общности, будем считать, что источник потенциала U покоится в этой системе отсчета. Запишем волновое уравнение для скалярного потенциала в свободном пространстве.

(4)

Пусть относительная скорость v инерциальных систем отсчета ориентирована вдоль оси х.

(5)

Время в этом преобразовании сохраняется единым для всех инерциальных систем отсчета, поэтому преобразование времени мы рассматривать не будем. Так же поступим и с поперечными координатами (y’; z’). Запишем для них

(6)

Частная производная вычисляется при условии, что остальные координаты (y’; z’; ct’) постоянны. Запишем полный дифференциал для х’, используя (5)



В силу того, что время t для всех инерциальных систем отсчета едино и фиксировано, частный дифференциал находится достаточно легко: .

Учитывая это обстоятельство и соотношение (4) можно без труда записать

(6)

Таким образом, уравнения Максвелла в калибровке Лоренца инвариантны относительно преобразования Галилея.

**

3. Рассмотрим теперь, что произойдет с волновым уравнением, если к нему применить преобразование Лоренца (4).

Запишем, как и прежде, полные дифференциалы dx’ и dct

(7)

(8)

Частный дифференциал вычисляется при условии, что (y’; z’; ct’) постоянны. Это будет соблюдаться (как следует из (8)), если dct = (dx)v/c. Таким образом, имеем следующее выражение для частного дифференциала

(9)

Совершенно аналогично можно получить выражение для частного дифференциала

(10)

Учитывая соотношения (9) и (10), можно переписать волновое уравнение в новой системе отсчета в следующем виде

(11)

Как мы видим, волновое уравнение не инвариантно относительно преобразования Лоренца. Этот вывод относится и к уравнениям Максвелла.

Заключение


Итак, можно сделать следующий вывод.

Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразования Галилея, но не инвариантны относительно преобразования Лоренца.

Поскольку следствия имеют большое и принципиальное значение для физики, анализ следствий, вытекающих из работы, целесообразно изложить только после проверки и обсуждения полученных результатов.

Похожие:

К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла iconМатематический вечер к Дню победы Оформление
Оформлена выставка детских рисунков, посвященная Дню Победы. Зал украшен портретами выдающихся математиков с плакатами, на которых...
К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла icon9 мая День Победы в Великой Отечественной войне (1945 год) 9 мая отмечается День Победы — праздник победы СССР над нацистской Германией в Великой Отечественной войне в 1945 году
История России богата знаменательными событиями. Во все века героизм, мужество воинов России, мощь и слава русского оружия были неотъемлемой...
К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла icon9 мая день победы
День Победы — праздник победы СССР над нацистской Германией в Великой Отечественной войне в 1945 году, отмечается 9 мая. Нерабочий...
К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла iconУравнения максвелла
Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла...
К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла iconГазета «Призыв» №82, 2005 г. Солдатам победы Ветеранов Великой Отечественной войны работники ОАО "Владимирэнерго" торжественно поздравили с 60-летием Победы 27 апреля
Именно в этот день энергетики завершили подготовку посвященного Дню Победы стенда, созданного на основе личного архива бывшего директора...
К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла icon9 мая 2010 года исполнится 65 лет со дня Великой Победы советского народа в Великой Отечественной войне
На разгром врага, на Победу работала вся страна и воины, и тыл: женщины, старики, дети. День Победы «приближали как могли» все, но...
К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла iconЕсть имена, и есть такие даты,- они нетленной сущности полны
...
К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла iconМитинг, посвященный Дню Победы
Митинг, посвященный 67- ой годовщине Победы в Великой отечественной войне, объявляется открытым
К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла iconБолее 10 лет по инициативе главы района Чернышова В. В. накануне дня Великой Победы экскурсионный поезд в составе 12 автобусов отправляется в путешествие по дорогам памяти
Торжества, посвященные 67 годовщине Победы советского народа в Великой Отечественной войне, в Новоусманском районе начались с традиционной...
К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла iconПрограмма экзамена по электродинамике Вывод уравнений Максвелла Система си система сгс закон сохранения энергии Закон сохранения импульса Замкнутость уравнений Максвелла
Физическая природа магнетизма. Частица во внешне поле с точки зрения квантовой механики
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org