Дифференциальные уравнения



Скачать 197.87 Kb.
страница3/3
Дата29.11.2012
Размер197.87 Kb.
ТипРешение
1   2   3
Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:



 В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):



 Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

   Определение. Решение удовлетворяет начальным условиям , если

   Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.

  Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши).

  Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка () в этой области, существует единственное решение  уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку х0, удовлетворяющее начальным условиям .

   Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

  Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.

 

Уравнения, допускающие понижение порядка.

  Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков.
Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

  Уравнения вида y(n) = f(x).

  Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.





 

 Пример. Решить уравнение  с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;









  Подставим начальные условия:





 Получаем частное решение (решение задачи Коши): .

  Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.

 






1   2   3

Похожие:

Дифференциальные уравнения iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
«Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Дифференциальные уравнения iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Дифференциальные уравнения icon01. 01. 02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Формула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
Дифференциальные уравнения iconФормула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
Дифференциальные уравнения iconМетодика оценки уровня знаний по обязательной дисциплине «Дифференциальные и интегральные уравнения»
«Дифференциальные и интегральные уравнения», привязанной к семестрам, направление подготовки «Физика»
Дифференциальные уравнения iconОбыкновенные дифференциальные уравнения
Вопрос Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных для...
Дифференциальные уравнения icon1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
Дифференциальные уравнения iconВариант I решить задачу Коши при начальных условиях
«Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org