Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой



Скачать 58.12 Kb.
Дата09.10.2012
Размер58.12 Kb.
ТипЛекция
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой.

П.1 ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ.

ОПР. Площадью фигуры Ф называют число , которое не больше, чем площадь объемлющей элементарной фигуры , например, составленных из многоугольников, и не меньше, чем площадь любой объемлемой элементарной фигуры .

Поскольку , следует считать, что площадь имеет та фигура, для которой

.

ОПР. Криволинейной трапецией называют фигуру на плоскости, ограниченную осью ОХ,

прямыми с уравнениями и и кривой графика функции , определенной на отрезке .

Пусть разбиение отрезка . В качестве объемлющей фигуры для криволинейной трапеции выбираем также криволинейную трапецию, построенной для

кусочно-постоянной функции . Аналогично, объемлемой фигурой для криволинейной трапеции будем считать криволинейную трапецию, построенную для кусочно-постоянной функции . Тогда и .

Выражения для и gif" name="object24" align=absmiddle width=31 height=23> являются интегральными суммами ( верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу) . Если разбиение , то сумма убывает,

а - возрастает. Если функция интегрируема, то =.

Если на отрезке , то площадь криволинейной трапеции равна -.

Если функция меняет знак на отрезке , то на отрезках , где интеграл берется со знаком +, а на отрезках , где , интеграл берется со знаком - .

ОПР. Элементарной областью на плоскости называют фигуру, ограниченную

прямыми с уравнениями и , графиками непрерывных функций

и ,

ОПР. Элементарной областью на плоскости называют фигуру, ограниченную

прямыми с уравнениями и , графиками непрерывных функций

и , .

ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ фигур и .

и .

ДОК. Если и - криволинейные трапеции , соответствующие функциям и

на отрезке и , то . Тогда .
Если , но на некоторых промежутках, то существует число , для которого для функций и выполняется условие

. Площади элементарных фигур, построенных для функций и на отрезке равны, т.е.

.

Формула для площади фигуры доказывается аналогично. Площадь имеют фигуры, являющиеся конечным объединением элементарных областей типа и .

ПРИМЕР 1. Площадь сектора окружности радиуса r с углом  .

РЕШЕНИЕ.

.

Если граница криволинейной трапеции задается параметрически , ,

- возрастающая функция, , , . Тогда .

Действительно, по доказанному .

П 2. Вычисление площади в полярной системе координат.

ОПР. Элементарной областью на плоскости называют фигуру, ограниченную лучами и , кривой .

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ в полярной системе координат.

Если функция непрерывна на отрезке , то площадь области вычисляется по формуле : .

ДОК. Пусть - разбиение отрезка . Пусть и

. Тогда объемлющей фигурой для является элементарная область, ограниченная кусочно-постоянной функцией и лучами

и , имеющая площадь . Объемлемой фигурой для является элементарная область ограниченная кусочно-постоянной функцией и лучами и , имеющая площадь . Числа и являются интегральными суммами функции на отрезке (верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу, см. Пример 1). Если

разбиение , то сумма убывает, возрастает.

Если функция интегрируема на отрезке , то

.

ПРИМЕР 2. Найти площадь одного лепестка кривой ( m – лепестковая роза).

РЕШЕНИЕ. . .

П.2 ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ.

ОПР. Дуга кривой разбивается точками , на n сегментов, концы которых

соединены отрезками .,образующими ломанную линию . Ее длина зависит от дуги кривой и разбиения кривой точками , . Длиной кривой называют число, равное , если оно существует.

Рассмотрим дугу графика функции на отрезке . Каждому разбиению отрезка соответствует ломаная, состоящая из объединения отрезков с началом в точках и концом в точке, .

Длина ломанной равна , где и Если функция имеет непрерывную производную на отрезке , то по теореме Лагранжа существует набор точек , для которых . Тогда длина ломанной является интегральной суммой непрерывной функции и поэтому

=.

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛИНЫ ДУГИ, заданной параметрически.

Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями , , в которых функции имеют непрерывные производные, то

.

Для ее доказательства заметим, что разбиение порождает разбиение дуги кривой точками и длину ломанной , где и .По теореме о среднем для производной существует набор и точек на отрезках , для которых и . Тогда длина ломаной равна

.

Полученное выражение по форме отличается от интегральной суммы функции , поскольку наборы и ,вообще говоря , различные.

Если интегральная сумма функции на отрезке соответствующая разбиению ,то . Для любого

. Вторая часть оценки использует « неравенство треугольника»



.

В предположении непрерывности производных и колебания и - бесконечно малые функции в точке , поэтому существует такое , что для любых . Тогда для разбиений

.

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛИНЫ ДУГИ, заданной в полярной системе.

Если , - уравнение кривой в полярной системе координат, то

. Тогда и .

Вычислим и получим искомую формулу

.

ПРИМЕР 3. (длина цепной линии)

Вычислить длину дуги, заданной уравнением .

РЕШЕНИЕ. .

УПРАЖНЕНИЕ. Область ограничена графиком непрерывно дифференцируемой функции

и прямой , проходящей через точки и

(сегмент криволинейной трапеции ). Доказать, что ее площадь .

РЕШЕНИЕ. , где . Тогда

, где - функция колебания для производной на отрезке . Из предположения о непрерывности следует, что .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Доказательство формулы для вычисления площади криволинейной трапеции.

2. Доказательство формулы для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой,

заданной параметрически. Вычисление площади фигуры, граница которой задана

уравнением в полярной системе координат.

3. Длина дуги кривой заданной графиком функции, параметрическими уравнениями,

уравнением кривой в полярной системе.

Похожие:

Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой iconЛекция 10 Приложения определенного интеграла План
Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции. В этом состоит...
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой iconОсновные свойства определенного интеграла. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами
При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой iconЛекция 18. Вычисление определенного интеграла
Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой iconЛекция 18. Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих...
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой iconПеречень утвержден на заседании кафедры математики и информатики сф башГУ
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Основные свойства
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой iconКонтрольная работа №2 I. Интегралы. Приложения определенного интеграла
Найти площадь
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой iconСвойства определенного интеграла
Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие свойства определенного интеграла
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой icon13. Приложения определенного интеграла
В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические к вычислению площадей и объёмов....
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой iconМетоды вычислений. 3-ий курс • Вычисление определенного интеграла
Вычисление определенного интеграла. Основные понятия. По­становка задачи. Понятия: квадратурной формулы, весовой функции, методической...
Лекция 19 Приложение определенного интеграла. Площадь, длина кривой iconМетодические указания по подготовке к контрольной работе Задание 1
Площадь фигуры, ограниченной графиками функции, находится с помощью определенного интеграла
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org