Криволинейные интегралы



Скачать 42.37 Kb.
Дата09.10.2012
Размер42.37 Kb.
ТипЛекция
Лекция 4
Криволинейные интегралы.



Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода.

Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода.

Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением y=y(x).

Как было доказано во втором семестре:

y
|L|=∫dl

так как y = y(x), то

L
x

Кривая y=y(x) имеет конечную длину, если

Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины:

,где




Кривая является синусоидой, заключенной между двумя прямыми и .

Для функции условие непрерывности в точке х=0

нарушается. Кривая, заданная уравнением: не имеет конечной длины (доказать самостоятельно)

Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскости называется:

,где L – кривая, заданная уравнениями . Докажем корректность определения:

Сделаем замену: ,где и

,где и ,

тогда gif" name="object18" align=absmiddle width=126 height=46> ,аналогично и

,

Как видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра.
Опр. Кривая , заданная параметрическими уравнениями и называется гладкой, если функции и имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль.
Опр. Кусочнонепрерывной (кусочногладкой) кривой называется кривая, которая является непрерывной и состоит из нескольких гладких кривых.


Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства):



(свойство аддитивности)
Аналогично кривая задается системой:

это уравнение кусочнонеперывной кривой


Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. начало

L кривой в точке А и конец в точке В.

А В

Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в каком направлении мы интегрируем по прямой от ,или от .

Опр. Интегралназывается криволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве .


Криволинейные интегралы второго типа.

Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл второго рода будем рассматривать на плоскости (в).
Криволинейным интегралом второго рода называется,

где и , .

Точки А и В имеют координаты

А(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно.

L+ означает, что выбрано положительное

направление движения по кривой, т.е. то направление, при котором интеграл от А до В имеет положительное значение.

Обозначим - радиус вектор и



Работа по перемещению тела из точки А в точку В
в поле выражается интегралом:



в этом и есть физический смысл интеграла.

Докажем корректность определения:

Делаем замену t=t(u) и ,

и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значит интеграл можно представить в виде:



т.е. интеграл не зависит от выбора параметризации.

Свойства:

10 Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е. и

А

20 L+ L- L+=AB
L-=BA

В

Физический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении: работа сил в поле в одном направлении, равна работе сил со знаком минус в другом направлении


Связь между криволинейными
интегралами 1 и 2 рода.


В

Зададим касательный вектор движения по прямой





,

А

,а этот интеграл является интегралом первого типа.
Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в .
Рассмотрим векторное поле , для которого является радиус вектором, тогда

, и



Кривая L задается системой .

По определению:

,

а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора параметра доказывается также, как и в .
Пример

Рассмотрим пример, в котором точка с массой М находится в начале координат и неподвижна, а точка m, с массой m, движется по АВ.
Вычислить работу по перемещению точки m, приняв гравитационную постоянную равной .

, т.е.









точки А и В имеют координаты и соответственно.



рассмотрим , тогда , как производная сложной функции от нескольких переменных, будет равна

,для вычисления , представим ив виде

, и ,соответственно,

тогда подставив эти выражения в уравнение для , получаем: , а так как работа выражается через определенный интеграл, то подставив это выражение, получаем



Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а зависит только от начальной А и конечной В точек этого пути.

Похожие:

Криволинейные интегралы iconМетодические указания «Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы»
Методические указания по изучению темы «Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы» содержат теоре-тические...
Криволинейные интегралы icon1. Кратные интегралы двойной интеграл
Кратные, поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Стокса и Остроградского
Криволинейные интегралы iconКриволинейные интегралы
На каждой дуге Ak Ak+1 задана промежуточная точка Mk=(k, k, k ), ={ Mk }, обозначим длину дуги Ak Ak+1 через lk. Характеристикой...
Криволинейные интегралы iconНазвание Печатный или на правах рукописи
Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. Методические указания к выполнению контрольной работы №9 для студентов –...
Криволинейные интегралы iconМинистерство общего и профессионального образования российской федерации
Криволинейные поверхностнйе интегралы и их приложения: Методические указания к практическим занятиям по математическому анализу для...
Криволинейные интегралы iconЗадания для защиты контрольной работы по темам: «Ряды», «Криволинейные и поверхностные интегралы», «Элементы теории векторных полей»
Проверить, является ли векторное поле потенциальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал
Криволинейные интегралы iconБез доказательства
Опд. Ф. 06 Функции комплексного переменного, аналитические функции и аналитическое продолжение; ряды Тейлора и Лорана; криволинейные...
Криволинейные интегралы iconКонтрольная работа №5 Для студентов 2 курса зфо (кроме экономистов) кратные и криволинейные интегралы. Векторный анализ
Вычислить криволинейный интеграл вдоль границы L треугольника авс, обходя ее против хода часовой стрелки, если А(1; 0), В(1; 1),...
Криволинейные интегралы iconЛекция 24 Криволинейные интегралы первого и второго рода
Определение. Кривая () называется непрерывной кусочно-гладкой, если функции ,  и  непрерывны на отрезке [a,b] и отрезок [a,b]...
Криволинейные интегралы iconКонтрольная работа №3); кратные и криволинейные интегралы (контрольная работа №4)
Номер варианта совпадает с последней цифрой зачетной книжки студента. По второй части курса высшей математики студент сдает экзамен,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org