Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия



Скачать 147.05 Kb.
Дата30.11.2012
Размер147.05 Kb.
ТипИсследовательская работа
Муниципальное общеобразовательное учреждение -

Михайловская средняя общеобразовательная школа

Коваль Кристина Васильевна

Некоторые свойства натуральных чисел

Исследовательская работа

Ученицы 9 класса

Руководитель:

Муравьева Ольга Яковлевна,

учитель математики

Куйбышев

2008

Рецензия
Работа Коваль Кристины посвящена наиболее интересным вопросам из теории натуральных чисел, тех вопросов, которые не рассматриваются на уроках математики, но вполне доступны для понимания ученикам.

В ней рассматриваются проблема Гольдбаха, Большая теорема Ферма и история её доказательства, формула Ферма и её применение при нахождении суммы квадратов первых n натуральных чисел, даётся представление о рядах Рачинского, о совершенных числах и о дружественных числах.

В работе рассматриваются и доказываются некоторые приёмы быстрого счёта, рассматриваются интересные математические «пирамиды».

В своей работе она пользовалась популярной литературой по математике для школьников. А так же информацией об истории доказательства теоремы Ферма из Интернета.

Результаты её работы можно использовать во внеклассной работе.
Рецензент: Муравьева Ольга Яковлевна.


Оглавление:

Введение

1. Свойство чисел, выражающих количество делителей делителей любого числа.

2. Теорема Ферма

3.Пифагоровы числа

4. Совершенные и дружественные числа

5. Проблема расположения простых чисел

6. Приёмы быстрого счёта

7. Математические диковинки

Заключение

Математика - царица наук,

арифметика - царица математики.

Карл Гаусс
Введение

С давних времён человек изучает натуральные числа. С них началась наука математика. У натуральных чисел есть много любопытных свойств, которые обнаруживаются при выполнении над ними арифметических действий. Но заметить эти свойства всё же бывает легче, чем доказать их. Некоторые свойства чисел, смысл которых понятен школьнику, много столетий пытались доказать учёные - математики. Но не все они доказаны.

Например, утверждение, названное проблемой Гольдбаха, формулируется предельно просто. В нём говорится, что каждое чётное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел. (Значит любое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.
)



Чётные числа

Нечётные числа

10 = 7 + 3

25 = 22 + 3 = 19 + 3 + 3

14 = 11 + 3

25 = 20 + 5 = 13 + 7 + 5

20 = 13 + 7

121 = 102 + 19 = 61 + 41 + 19

100 = 11 + 89

365 = 360 + 5 = 307 + 53 +5

992 = 619 + 373

1991 = 994 + 997 = 977 + 17 +997
Например:


Гольдбах выдвинул эту гипотезу ещё в 1742 году. Но до сих пор её никто не доказал. С помощью вычислительных машин гипотезу подтвердили до 2*1017.
I

Свойство чисел, выражающих количество делителей

делителей любого числа.


Делители числа 15

1

3

5

15

Количество делителей

данного делителя

1

2

2

4
Рассмотрим следующее свойство. Возьмём наугад любое число. Например, 15. Выпишем все делители этого числа и количество делителей у каждого из них.


Оказывается, сумма кубов чисел, выражающих количество делителей у всех делителей любого числа, равна квадрату суммы этих чисел. То есть

13+23+23+43 = (1+2+2+4)2

1+8+8+64 = 92

81 = 81 Верно!

Можно проверить это для другого числа. Возьмём, например число 24.

Делители числа 24

1

2

3

4

6

8

12

24

Количество делителей

Данного делителя

1

2

2

3

4

4

6

8


Получаем 13+23+23+33+43+43+63+83 = (1+2+2+3+4+4+6+8)2

1+8+8+27+64+64+216+512 = 302

900 = 900 Верно.

Доказательство этого свойства очень сложное, над ним математики работали не один десяток лет.

II

Теорема Ферма

Знаменитую теорему Ферма, сформулированную им в 1636 году, доказали совсем недавно. История Великой теоремы увлекательна, как приключение во времени. Формулировка её достаточно проста.

Уравнение вида хn + уn = zn не имеет решений в натуральных числах при показателе степени n > 2.

За 360 лет, которые математики доказывали теорему Ферма, была открыта чуть ли не половина современной математики. В рассмотрении, разработке и доказательстве частных случаев этой теоремы и вопросов, касающихся её, принимали участие величайшие математики последних столетий. Это Эйлер и Гаусс (короли математики своих времён). Эварист Галуа - гений, успевший за свою короткую 21-летнюю жизнь основать теории групп и полей, работы которого были признаны гениальными лишь после его смерти. Анри Пуанкаре (учредитель модулярных форм), Давид Гилберт, Ютака Танияма (гипотеза которого и послужила основой для доказательства Великой теоремы). Герхард Фрей, увидевший связь между теоремой Ферма и гипотезой Ютаки Таниямы, Кеннет Рибет, доказавший эту связь. И, наконец, Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор поставили точку в истории доказательства этой теоремы.

С именем Ферма связана формула для нахождения суммы квадратов первых n натуральных чисел.

Sn = 12+22+32+…+n2 =

Например, 12+22+32 = - верное равенство.

12+22+32+42+52+62 = - верное равенство.

Эту формулу можно легко доказать используя метод индукции.

Доказательство

Для n=1 эта формула верна

Пусть она верна до n = k, т. е. 12+22+…+ k 2=

Докажем, что она верна и для n = k +1, т.е.

12+22+…+ k 2+( k +1)2=.

Рассмотрим сумму

12+22+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2=

Формула верна и для следующего числа, значит, она верна для любого натурального числа n.

III

Пифагоровы числа

Если в равенстве теоремы Ферма xn+yn = zn подставить 2 вместо n, то полученному равенству будут удовлетворять бесконечно много троек натуральных чисел.

Например: 32+42 = 52 ; 52+122 = 132 ; 202+212 = 292 и т.д.

Выделим из этих равенств первое. Оно замечательно тем, что содержит последовательные натуральные числа 3; 4; 5.

Аналогичную последовательность изобразил в своей картине «Трудная задача» русский художник Богданов - Бельский: 10; 11; 12; 13; 14.

Известно, что 102+112+122 = 132+142. На этой картине изображена задача С.А.Рачинского - учителя художника. Замечательно, что эти суммы равны 365 - количеству дней в году.

Оказывается, эти ряды натуральных чисел можно продолжить. Уравнения, позволяющие решить эту задачу, легко составляются и решаются. Например для нахождения следующего ряда чисел я составила уравнение -3)2 +(х-2)2+ (х-1)2 + х2 = (х+1)2+ (х+2)2 + (х+3)2

Решив уравнение, получила следующую последовательность: 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27. Для этих чисел выполняется равенство 212+222+232+242 = 252+262+272.

Следующие равенства будут такими:

362+372+382+392+402 = 412+422+432+442;

552+562+572+582+592+602 = 612+622+632+642+652; …

В журналах «Наука и жизнь» за 2007 год описываются эти ряды и их свойства. Авторы предлагают называть их рядами Рачинского.

IV

Совершенные и дружественные числа

Рассмотрим другие удивительные числа. Например, число 6. его делители:1; 2; 3; 6. Верно равенство 1+2+3 = 6. То есть число 6 равно сумме своих делителей (кроме себя). Таким же свойством обладает число 28. Его делители: 1; 2; 4; 7; 14; 28. И 1+2+4+7+14 = 28. Числа, обладающие этим свойством, называются совершенными. Следующее совершенное число 496.

1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496

Всё совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. Среди них не встречались нечётные числа. Правило для отыскания некоторых совершенных чисел обнаружено и доказано. Оно состоит в следующем: если 2n-1 - простое число, то 2n-1(2n-1) является совершенным.

Кроме совершенных чисел есть ещё и дружественные числа. Это те числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Дружественные числа встречаются ещё реже, чем совершенные. Самые маленькие дружественные числа 220 и 284. Действительно, сложим делители числа 220

1 +2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Сложим делители числа 284

1+2+4+71+142 = 220

С помощью вычислительных машин найдены другие дружественные числа. Но они очень велики.

V

Проблема расположения простых чисел

Многие годы учёные искали формулы для определения простых чисел. Но их усилия оказались напрасными. Однако способ, с помощью которого определяют простые и составные числа, придумал в 1934 году индийский студент Сундарам. В первом столбце записываем числа от 4 через 3, т.е. 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; … То же записываем в первой строке. В следующем столбце числа записываем через 5; в следующем - через 7; в следующем - через 9 и т.д.

4

7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

40

43

46

49



7

12

17

22

27

32

37

42

47

52

57

62















10

17

24

31

38

45

52

59

66
























13

22

31

40

49

58

67

76

85
























16

27

38

49

60

71

82

93

104
























19

32

45

58

71

84

97

110

123
























22

37

52

67

82

97































25

42

59

76

93



































28

47

66

85

104



































……………………………..

Если взять любое число из этой таблицы, удвоить его и прибавить 1, то всегда получится составное число. Если проделать это с числом, не входящим в таблицу, то получится простое число. Выполняя действия в обратном порядке с любым числом, определяем, является ли оно простым.

Например, 22 - из этой таблицы. 222+1 = 45 - составное число.

21 нет в этой таблице. 212+1 = 43 - простое число.

Возьмём число 67. (67-1):2 =33, этого числа нет в таблице, значит 67 - простое число. Проверим число 119. (119-1):2 = 59, это число есть в таблице, значит, 119 является составным числом. (119 = 717)

VI

Приёмы быстрого счёта

Рассмотрим применение свойств чисел и действий с ними при умножении различных чисел.

6.1 При возведении в квадрат числа, которое оканчивается цифрой 5, можно число, состоящее из цифр, стоящих перед 5, умножить на число на 1 большее и справа приписать к полученному произведению 25. Это и будет результат.

Например, 352 = 1225; 1452 = 21025; 2452 = 60025.

34 = 12; 1415 = 210; 2425 = 6425 = 600.

Это свойство легко доказать.

Любое число, оканчивающееся на 5, можно записать в виде 10n+5, где n - количество его десятков. Значит, a2 = (10n+5)2 = 100n2+100n+25 = 100n(n+1)+25.

В результате получилось число, у которого n(n+1) сотен и 25 единиц. Что и требовалось доказать.

6.2

Рассмотрим следующее действие: умножение трёхзначных чисел на 999.

В результате умножения трёхзначного числа на 999 получается шестизначное произведение, первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на 1; а остальные - дополнения первых до 9.

Например: 387999 = 386613; 839999 = 838161

613 161

Это свойство легко доказать, если вспомнить, что 999 = 1000-1 и применить свойства умножения на 1000 и распределительный закон умножения.

6.3

Следующий алгоритм умножения не так очевиден, но его легко применять. Это умножение чисел, близких к 1000 (аналогично и к 100).

Рассмотрим этот алгоритм на примерах. 925988.

Дополнение первого числа до1000 равно 75; второго - 12.

Отнимем от первого числа дополнение второго 925-12 = 913 (можно отнимать от второго числа дополнение первого, результат будет тот же). Это будет числом тысяч данного произведения. Число единиц произведения равно произведению дополнений 7512 = 7510+752 =900. получили 925988 = 913900.

Вычислим, пользуясь этим алгоритмом следующее произведение.

878996 = 874488

Дополнения 1224 = 488; количество тысяч равно 878-4 = 874.

Доказательство.

Обозначим остатки a и b. Значит, данные числа равны 1000-a и 1000-b. Рассмотрим их произведение (1000-a)(1000-b) = 1000000-1000a-1000b+ab =

1000(1000-a-b)+ab. Но 1000-a - первое число. Значит, число тысяч равно первому множителю минус дополнение второго до 10000, а число единиц равно произведению дополнений, что и требовалось доказать.

Основываясь на этом методе легко возводить в квадрат числа, близкие к 1000.

9882 = 976144; 9752 = 950625; 9822 = 964324.

Дополнители 12 25 18

Число тысяч 988-12 = 976; 975-25 = 950; 982-18 = 964;

Число единиц 122 = 144; 252 = 625; 182 = 324.

VII

Математические диковинки

На свойствах действий натуральных чисел основаны следующие «диковинки».

111111111111111111 = 12345678987654321

Результат становится понятным, если это умножение записать в столбик.

Рассмотрим следующую диковинку - пирамиду, составленную из чисел.

19+2 = 11

129+3=111

1239+4=1111

12349+5=11111

123459+6=111111

1234569+7=1111111

12345679+8=11111111

123456789+9=111111111

Объясняю полученный результат по последнему равенству.

123456789+9 = 12345678(10 - 1)+9 = 123456780 -12345678 + 9 = 123456789 -12345678 =111111111.

Сходным образом объясняется следующая пирамида.

18+1=9

128+2=98

1238+3=987

12348+4=9876

123458+5=98765

1234568+6=987654

12345678+7=9876543

123456788+8=98765432

1234567898+9=987654321

Прямым следствием первых двух пирамид является следующая пирамида.

99+7=88

989+6=888

9879+5=8888

98769+4=88888

987659+3=888888

9876549+2=8888888

98765439+1=88888888

987654329+0=888888888

Эти задачи я нашла в дополнительной литературе по математике. Они показались достаточно интересными. Попробуй свои силы.

Задача №1

В некотором числе цифру 2, стоящую на конце числа, поставили впереди числа. В результате число увеличилось в 2 раза. Найти это число.

Задача №2

Найти наименьшее число, которое при делении на 2 даёт остаток 1; при делении на 3 даёт остаток 2; при делении на 4 остаток - 3; на 5 - остаток 4; на 6 - остаток 5; на 7 остаток 6.

Задача №3

В примере разные цифры обозначены разными буквами А,В,С. Восстанови этот пример. АВС

ВАС

ХХХХ

ХХА

ХХХВ__

ХХХХХХ

Задача №4

Восстанови пример ХХХХХХХ __ХХ_____

ХХХ___ ХХ8ХХ

ХХ

ХХ___

ХХХ

ХХХ

1

Заключение

«Какая задача сейчас для науки наиболее важна?» - такой вопрос задали Давиду Гилберту. Он ответил так: « Это никому не надо. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, что бы это осуществить».

Подумайте, сколько задач за 360 лет смогло решить человечество, прежде, чем доказать теорему Ферма.

Мир натуральных чисел бесконечен, сколько ещё замечательных свойств он таит в себе!

Список использованной литературы:

  • Перельман Я.И., «Занимательная арифметика», М., 1994

  • Перельман Я.И., «Занимательная алгебра», М., 1978

  • Депман И.Я., «За страницами учебника математики», М., 1989

  • Игнатьев Е.И., «В царстве смекалки», М., 1979

  • Штейнгауз Г., «Сто задач», М., 1982

  • Феликс Кирсанов, «История Великой теоремы Ферма», интернет

Похожие:

Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconНаучно-исследовательская работа ученицы 9 класса Ким Ен Дя
Что такое суффикс?
Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconКалендарно-тематическое планирование уроков математики на 2008 2009 учебный год Класс: 1 «Б» Учитель
Учитель: Дудкина Ольга Геннадьевна. Система традиционная умк: «Вариативные курсы традиционной системы»
Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconРецензия на проектную работу «Фотография как искусство» ученицы 8 класса ноу сош «Росинка» Дзуцевой Тамары

Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconРеферат по математике Ученицы 10 «А» класса Пирской Любы. Учитель Кравченко А. Н. Пятигорск 2007 г. План
Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики
Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconКонспект урока по теме: «Показательная функция ее график и свойства». Учитель математики: Роговая Татьяна Яковлевна
Ребята, понятие степени является одним из важных звеньв в единой цепи изучения математики
Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconКраткое содержание работы
...
Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconИсследовательская работа учащаяся 7 класса Молчан Александра
Провоторова Любовь Михайловна учитель биологии
Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconИсследовательская работа ученицы 9 класса «А» Шестернёвой Лизы по теме: «Взгляды историков на причины убийства Александра ii»
На него было совершено семь покушений последнее из которых увенчалось успехом. Члены Исполнительного Комитета «Народной воли» упорно...
Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconИсследовательская работа Ямбарцева Татьяна, 13 лет, ученица 6 класса
Первое и последующее изучение числа p в школьном курсе математики
Исследовательская работа Ученицы 9 класса Муравьева Ольга Яковлевна, учитель математики Куйбышев 2008 Рецензия iconИстория числа ∏ Автор: Бабич Эдгар Геннадьевич учащийся 7 класса Кемелишской сш научный Баран Ольга Владимировна учитель математики Кемелишской сш кемелишки 2011

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org