Числовые последовательности



Скачать 60.54 Kb.
Дата01.12.2012
Размер60.54 Kb.
ТипДокументы
Числовые последовательности
Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое число , то говорят, что определена числовая последовательность (или просто последовательность) . Кратко ее обозначают символом называется общим членом последовательности. Т.к. члены последовательности действительные числа, то можно внести понятие ограниченности и неограниченности для последовательности.

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что

Например: .

Так как что последовательность – ограничена сверху.

Последовательность не ограничена сверху, если: для что .
Определение. Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что

Например: .

Так как что последовательность ограничена снизу.

Последовательность gif" name="object23" align=absmiddle width=32 height=27> не ограничена снизу, если: для что .
Определение. Последовательность называется ограниченной последовательностью, если она ограничена и сверху и снизу, т.е.

и , что или

, что

Определение. Последовательность называется неограниченной последовательностью, если

.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Рассмотрим последовательность .

Определение. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.п.), если:

для , что для .

Последовательность бесконечно малая, если существует такой номер , что для (т.е. начиная с некоторого номера ), все члены будут находится в интервале или вне интервала могут оказаться только конечные числа .

Например: – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: возьмем любое положительное число . Последовательность – бесконечно малая, если а ,

. Пусть , тогда . Если , то .

Последовательности , , бесконечно малые последовательности.

Определение. Последовательность – не является бесконечно малой, если: что .

Например: – не является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство: возьмем .

– не является бесконечно малой последовательностью.
Свойства Бесконечно малых последовательностей
1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство: пусть и – бесконечно малые последовательности, т.е

для что для и

что для .

Покажем, что последовательность также бесконечно малая последовательность, т.е. для нужно подобрать такое число что для .

Пусть для что для (1)

что для (2). Из свойства модуля действительного числа .

Если , где , то (1) и (2) будут выполняться одновременно. Следовательно, что последовательность – бесконечно малая последовательность.
Следствие. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.
2.Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство: пусть – бесконечно малая а – ограниченная последовательности.

Покажем, что последовательность – бесконечно малая последовательность, т.е. что для что для

Если – ограниченная последовательность, то , что

Так как – бесконечно малая последовательность, то для данного будет существовать что для Для данного оценим ;

, для .

Замечание. Условие ограниченности последовательности существенно.

Например:

1) и , тогда не является бесконечно малой последовательностью;

2) и , тогда является бесконечно малой последовательностью;

3) и , тогда не является бесконечно малой последовательностью.

Таким образом, если последовательность – бесконечно малая последовательность а – произвольная последовательность, тогда последовательность не будет определена.
3. Любая бесконечно малая последовательность ограниченная последовательность.

Доказательство: пусть – бесконечно малая последовательность. Докажем, что она ограничена, т.е. покажем, что

, что

Так как – бесконечно малая последовательность, то

для , что для .

Пусть . Тогда будет существовать, что для (3)

( т.е.).

Пусть . Покажем, что ограничена числом . Возьмем ;

а) ;

б) что выполняется неравенство (3) .

Так как любая бесконечно малая последовательность ограничена, то из свойства 2 следует, что произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.
Определение. Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если:

для , что для .

Например: последовательности , , бесконечно большие последовательности.

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной.

Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.
Например: последовательность неограниченная, но не является бесконечно большой последовательностью (доказательство привести самостоятельно).
Определение. Последовательность – не является бесконечно большой, если:

что .

Теорема (связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями). Если – бесконечно малая последовательность и, начиная с некоторого номера, , последовательность будет бесконечно большой последовательностью. И наоборот, если – бесконечно большая последовательность, то обязательно, начиная с некоторого номера и – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: пусть – бесконечно малая последовательность и начиная с некоторого номера, следует что для что для .

Докажем, что – бесконечно большая последовательность.

Возьмем , и обозначим . Так как – бесконечно малая последовательность, то для данного числа будет существовать , что для

Доказательство обратной теоремы: пусть – бесконечно большая последовательность. Покажем, что существует , что . Т.к. – бесконечно большая последовательность, то если , то . Следовательно, имеет смысл рассмотреть последовательность . Докажем, что – бесконечно малая последовательность. Для этого возьмем , и пусть .

Так как – бесконечно большая последовательность, то для данного числа будет существовать , что для

Похожие:

Числовые последовательности iconЧисловые ряды Последовательность
В теории пределов было рассмотрено понятие последовательности и понятие предела последовательности. Введем следующее определение
Числовые последовательности icon1. Числовые последовательности. Примеры ограниченных и неограниченных последовательностей
Числовые последовательности. Примеры ограниченных и неограниченных последовательностей
Числовые последовательности iconЛекция 22. Числовые ряды. 22 Основные определения. Определение
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом
Числовые последовательности iconЧисловые ряды. Функциональные последовательности и ряды
Понятие числового ряда. Критерий Коши. Необходимое и достаточное услорие сходимости рядов с неотрицательными членами
Числовые последовательности iconТеория функций комплексного переменного
Числовые последовательности и пределы. Бесконечно удаленная точка, расширенная комплексная плоскость. Множества на плоскости и на...
Числовые последовательности iconСамостоятельная работа 1 Предел числовой последовательности
Укажите номер того члена последовательности, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки
Числовые последовательности icon3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды
Перестановка пределов двойной числовой последовательности. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных...
Числовые последовательности iconВопросы к экзамену по дисциплине «Математический анализ» для до направление «Экономика»
Числовые множества. Основные операции над множествами. Множество действительных чисел. Числовые промежутки. Окрестность точки
Числовые последовательности iconМодуль к теме: «Предел последовательности» Цель
Цель: работая с данным модулем, вы познакомитесь понятием последовательность и предел последовательности, научитесь вычислять пределы...
Числовые последовательности iconВопросы к коллоквиуму «Предел числовой последовательности. Предел функции»
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org