Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции



Скачать 167.26 Kb.
Дата01.12.2012
Размер167.26 Kb.
ТипДокументы
Реферат:
Разработаны программы организации дополнительного обучения по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”) для учащихся специализированных классов средних школ. На базе современных информационных технологий созданы научно-образовательных материалов (НОМ) по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”), обеспечивающие в рамках школьных программ осуществление предварительной профессиональной ориентации по авиационным специальностям. Разработанные НОМ апробированы путем проведения тестовых занятий, и семинаров с использованием современных информационных технологий.

Cтр. 116, рис. 23, литература 10 наименований
Ключевые слова: математика, приближенные числа, приближенное решение уравнений, мультимедиа, специализированные классы школ.


Оглавление
75.3.2.1 Разработка профессионально ориентированной рабочей программы профильного уровня по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”) для учащихся специализированных классов средних школ……………………………………5

75.3.2.2 Разработка мультимедиа-сопровождения урока по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”) с элементами демонстрационного эксперимента в соответствии с рабочей программой профильного уровня……………………22

75.3.2.3 Разработка НОМ для проведения профессионально ориентированного практического занятия по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”) для специализированных классов средних школ…………………………………..54

75.3.2.4 Апробирование мультимедиа-сопровождения урока по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”) путём проведения мастер-классов для учителей и учащихся специализированных классов средних школ и проведение мастер-классов профессионального ориентированного занятия по математике ……………………………………………………………………... 89

75.3.2.5 Литература……………………………………………………………..116
75.3.2.1 Разработка профессионально ориентированной рабочей программы профильного уровня по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”) для учащихся специализированных классов средних школ
В настоящем отчете разработана и апробирована программа раздела “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”. В нее входят основы приближенных вычислений и методы решения уравнений, систем уравнений, алгебраических и трансцендентных уравнений.
С применением компьютерных методов проиллюстрированы такие распространенные методы решения уравнений, как графический метод, метод деления пополам, метод хорд и касательных и другие.

Описанный круг методов представляется крайне важным с концептуальной точки зрения по следующей причине. Чрезвычайно бедный круг уравнений, решаемый в школе, приводит учащихся к убеждению, что решить можно лишь квадратные уравнения или сводящиеся к ним. Многие считают даже, что решаются лишь квадратные уравнения, имеющие в качестве дискриминанта точный квадрат натурального числа! А то, что в задачах ЕГЭ (уровень В) ответами могут быть лишь рациональные числа, лишь укрепляет их в этом заблуждении. Между тем, в реальной профессиональной деятельности уравнения таковы, как они есть, а выпускники школ не имеют даже представления (!) о том, как их решать, не говоря уж о навыках решения.

Естественно, что большинство задач решаются численными методами. Здесь скрывается другой порок школьного образования. Школьники не имеют ни малейшего представления о том, как связана точность данных реальной профессиональной задачи с точностью полученного ответа, о накоплении погрешности в промежуточных выкладках. В качестве ответа они предъявляют 8 –или 12 разрядное число из окна калькулятора, при том, что из разрядов может быть один верный (или вовсе не быть верных). Это заблуждение, которое они получают надолго (обычно до второго курса) или навсегда (если они не продолжают обучение после школы).

В школе рассмотрены алгебраические и геометрические причины, которые заставляют вводить новые, иррациональные числа. Одна из основных алгебраических причин заключается в том, что уже квадратные уравнения (и уравнения более высоких степеней) с рациональными (и даже целыми) коэффициентами не всегда удается решить, оставаясь во множе­стве рациональных чисел. В учебниках алгебры имеется доказательство того факта, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Однако вопрос о том, каково решение уравнения имеет, с точки зрения хорошего школьника, простой ответ: . Только очень хороший школьник «знает», что - это число, квадрат которого равен двум; то есть, решение уравнения ! Иными словами, решение уравнения – это решение уравнения! Логический круг непонимания замкнулся: фактически школьники не понимают, что такое решение.

Между тем, одна из основных геометрических причин введения иррациональных чисел заключается в том, что рациональных чисел не хватает для измерения отрезков (процедура измерения описана в школьной программе). При этом в качестве результата измерения отрезка (длина отрезка) появляется десятичная дробь. Например, если измеряемый отрезок равен четверти единицы измерения, то его длина выражается конечной десятичной дробью 0,25, а если равен третьей части единицы измерения, то его длина выражается бесконечной периодической десятичной дробью 0,3333... Легко показать (в школе это делают), что существуют такие отрезки, длина которых не выражается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью. Например, таким отрезком будет гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, катетом которого является единица измерения.

В школе известно, что всякое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби и, обратно, каждая такая дробь изображает некоторое рациональное число. Поэтому число будет иррациональным в том и только в том случае, если оно записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Сказанное выше является причиной возникновения хорошо известного «определения» иррационального числа. Говорят, иррациональным называется число, записывающееся в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Надо сказать, что принципиально возможно дать определение действительного числа как бесконечной десятичной дроби, но в такое определение обязательно должно входить описание действий с бесконечными дробями. Такой путь построения теории действительного числа вовсе не оказывается простым.

Полное построение теории действительных чисел на основе аксиоматического подхода или в виде десятичных дробей является сложным для большинства школьников как базовых, так и профильных уровней математики, и способно только отвратить учеников от изучения математики. При изучении числовых систем в школе достаточно наглядного интуитивного понимания действительных чисел и общепринятых «определений» рациональных и иррациональных чисел. При этом надо разъяснять, что надо добавить, чтобы получить точное определение.

В школе необходимо значительно улучшить ситуацию с практическими навыками работы с числами. Изучение математического анализа в высшем учебном заведении осложняется тем, что выпускники средних школ имеют чрезвычайно скудный запас сведений об элементарных функциях и методах решения уравнений, включающих их. Кроме того, вводимый единый государственный экзамен приводит как к сужению спектра задач, рассматриваемых во время обучения в средней школе тем, так и к уменьшению глубины их проработанности и снижению уровня мотивации в изучении именно того материала, который наиболее востребован высшей школой.

Перечислим требования к уровню подготовки по разделу “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”. После изучения этого раздела учащиеся должны


  • определять абсолютную погрешность приближенного числа по относительной и наоборот;

  • находить погрешности суммы/разности и произведения/частного приближенных чисел;

  • определять погрешность функции по погрешности аргумента;

  • связывать погрешность экспериментальных данных с точностью измерительных приборов;

  • правильно округлять результат вычислений;

  • иметь представление о запасе точности в промежуточных вычислениях и уметь этим пользоваться;

  • уметь «отделять» корни уравнений с использованием соображений непрерывности и свойств функций с привлечением аппарата математического анализа;

  • определять количество корней уравнения;

  • применять методы половинного деления, методов хорд и касательных и комбинированные методы

  • уметь оценивать погрешность полученного корня.

Опыт преподавания высшей математики на первом курсе технического вуза позволяет сделать следующие выводы:

  • значительная часть современных школьников не понимает, что такое приближенные числа и действия с ними; не знает, как решать уравнения и как понимать его решение. Для построения вузовского курса математического анализа их знаний явно недостаточно;

  • изучение графиков элементарных функций в вузе приходится начинать с нуля. Школьники не знают основных функций, изучаемых в школе по программе, и не умеют строить их графики. Не говоря уже о том, что бедна сама номенклатура изучаемых графиков и их преобразований. Это обстоятельство чрезвычайно усложняет знакомство с численными методами;

  • практически полностью отсутствует применение производных к исследованию реальных функций (заданных формулами) и т.д.

Необходимо отметить также, что в массе школьники не умеют приводить определения и формулировки теорем, не понимают разницы между определением и утверждением, не понимают, что такое доказательство и не умеют проводить доказательные рассуждения, не знают разницы между необходимым и достаточным условием, не умеют приводить примеры и контрпримеры и пр.

Для преодоления указанных трудностей в соответствии с общим планом предлагается проведение 8 занятий, объединяющих лекции и семинары. Ниже приводятся примерное содержание этих занятий и образцы рассматриваемых на них задач.

Предполагается знакомство школьников с какой-нибудь математической программой с развитым графическим интерфейсом и умение строить графики с использованием этой программы. Для нужд школы идеально подходит программа Maxima. Её преимущества:

  • это свободно распространяемая программа, с которой не возникают никакие вопросы авторского права, легальности и т.п.;

  • ее возможности далеко перекрывают потребности школы и могут быть далее использованы в вузе и профессиональной деятельности;

  • программа имеет простой и интуитивно даже школьнику понятный интерфейс.

ТЕМЫ ЗАНЯТИЙ ПО РАЗДЕЛУ

“Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”


N

Тема занятия

Часы

Вид

1

Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешность, связь между ними. Арифметические операции с приближенными числами и погрешности.

3 ч.

лекция,

практ. Занят.


























2


Обзор элементарных функций, их свойств и их графиков


3 ч.

.

лекция практ. занят. ,













3

Связь погрешности функции и ее аргумента посредством производной. Примеры для элементарных функций.

Практические правила приближенных вычислений.

3 ч.

Лекция, практ.

занятия

























4

Корни уравнения. Отделение корней при помощи критерия знаков. Метод половинного деления, его точность и скорость сходимости.

3 ч.

лекция,










практ.










занят.

5

Определение количества корней уравнения и их отделение при помощи графиков функций. Приближенное решение при помощи компьютерной графики и оценка точности таких приближенных оценок.

3 ч.

лекция,









практ.










занят.

6

Метод Ньютона (касательных) приближенного решения уравнений. Выбор начального интервала с условием знакопостоянства первой и второй производной. Выбор начальной точки. Оценка точности.

3 ч.

лекция,










практ.










занят.

7

Метод хорд приближенного решения уравнений. Оценка точности.

3 ч.

лекция,










практ.










занят.

8

Комбинированный метод хорд и касательных. Оценка точности приближений корня.

3 ч.

лекция,




сдвиги, растяжения, симметрии. Графики композиции




практ.




функций.




занят.


ПРИМЕРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ПО РАЗДЕЛУ

“Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”
ЗАНЯТИЕ 1.
Измерения как источник неточности. Цена деления измерительного устройства. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешность, связь между ними. Арифметические операции с приближенными числами и погрешности. Значащие цифры.
Образцы задач.

  1. Пусть в результате измерений определено, что=9±0.7. Чему равна абсолютная ошибка A? Относительная ошибка?

  2. Пусть в результате измерений определено, что=9±0.7, =4±0.8. Чему равна абсолютная ошибка A+B? A-B?

  3. Пусть в результате измерений определено, что=9±0.7, =4±0.8. Чему равна относительная ошибка A+B? A-B?

  4. Пусть определено, что=9±0.7, =4±0.8. Чему равна относительная ошибка AB? A/B?

  5. Пусть в результате измерений определено, что=9±0.7, =4±0.8. Чему равна относительная ошибка A? (A-B)?

  6. Число 12.125 содержит 3 верных знака. Определить его относительную погрешность.

  7. Сколько верных знаков в числе 2.3752 если его относительная погрешность равна 1%?

  8. С какой абсолютной погрешностью следует измерять сторону квадрата x метров, 2<x<3, чтобы площадь квадрата была найдена с точностью до 0.001м?

  9. При измерении длины в 10 см погрешность составила 0.5 мм; при измерении длины 500 км погрешность составила 200 м. Какое измерение было точнее?

  10. Радиус круга составляет 7.2 ± 0.1 м. Примем . Какой получится относительная погрешность площади?


ЗАНЯТИЕ 2.
Обзор элементарных функций, их свойств и их графиков
Линейная функция. Прямая как график линейной функции. Геометрический смысл коэффициентов уравнения прямой. Виды уравнений прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Степенная функция при различных показателях степени. Ее область определения и свойства. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Делители многочленов. Корни многочленов. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Дробно-линейная функция. Ее область определения и асимптоты. Показательная функция. Ее определение и свойства. Логарифмическая функция. Ее область определения и свойства. Связь степенной, показательной и логарифмической функциями. Геометрическое определение синуса и косинуса. Свойства основных тригонометрических функций. Основные формулы тригонометрии. Графики тригонометрических функций.
Образцы задач.

  1. Сколько пересечений у графиков и ?

  2. Сколько пересечений у графиков и ?

  3. Сколько пересечений у графиков и 2-?

  4. Сколько пересечений у графиков и 1-?

  5. Сколько пересечений у графиков и ?

  6. Сколько пересечений у графиков и x/2?

  7. Сколько пересечений у графиков и x/2?

  8. Сколько пересечений у графиков и x/2?

  9. Сколько пересечений у графиков и -5x?

  10. Сколько пересечений у графиков и 2-x?

  11. Сколько пересечений у графиков и y=1?

  12. Сколько пересечений у графиков и y=a в зависимости от a?

  13. Сколько пересечений у графиков lg x и ?

  14. Сколько пересечений у графиков lg x и ?

  15. Сколько пересечений у графиков и lg x?


ЗАНЯТИЕ 3.
Связь погрешностей функции и ее аргумента.

Практические правила приближенных вычислений.
Связь погрешностей функции и ее аргумента посредством производной. Примеры для элементарных функций. Практические правила приближенных вычислений. Запас значащих цифр и округление ответа
Образцы задач.

  1. Пусть x=27±1. Найти абсолютную и относительную погрешность

  2. Пусть x=π/2±0.1. Найти абсолютную и относительную погрешность

  3. Пусть x=23±1. Найти абсолютную и относительную погрешность

  4. Пусть x=2±0.2. Найти абсолютную и относительную погрешность .

  5. Слагаемые в сумме 0.13714+0.6667+0.000219 были получены округлением. Сколько верных цифр будет после сложения?

  6. Числа в выражении были получены округлением. Вычислить выражение и определить количество верных знаков в ответе.


ЗАНЯТИЕ 4.
Корни уравнения. Отделение корней. Метод половинного деления, его точность и скорость сходимости.
Корни уравнения. Отделение корней при помощи критерия знаков. Метод половинного деления, его точность и скорость сходимости.
Образцы задач.
Отделить и найти методом половинного деления корень уравнения

  1. с точностью 0.2.

  2. с точностью 0.1.

  3. с точностью 0.1.

  4. с точностью 0.1.

  5. с точностью 0.2.

  6. на интервале [0;1] за 4 шага. Какова точность ответа?

  7. на интервале [0;1] за 4 шага. Какова точность ответа?

  8. на интервале [0.5;1] за 3 шага. Какова точность ответа?

  9. за 4 шага. Какова точность ответа?

  10. с точностью 0.1.

  11. (x>0) за 3 шага. Какова точность ответа?

  12. (первый положительный корень) за 3 шага. Какова точность ответа?

  13. за 4 шага. Какова точность ответа?

  14. (первый положительный корень) за 3 шага. Какова точность ответа?

  15. (первый положительный корень) за 3 шага. Какова точность ответа?

ЗАНЯТИЕ 5.
Приближенное решение уравнений при помощи компьютерной графики

Определение количества корней уравнения и их отделение при помощи графиков функций. Приближенное решение при помощи компьютерной графики и оценка точности таких приближенных оценок.
Образцы задач.
Определить количество корней на интервале, отделить левый корень и найти его с точностью 0.1 с использованием компьютерной графики

  1. на (0;10).

  2. на .

  3. на .

  4. на .

  5. на .

  6. на [-4;1].

  7. на [-3;1].

  8. на (0;10].

  9. на .

  10. на .

  11. на [-5,6].

  12. на [-5,6].

  13. на .

  14. на (4;9).

  15. на [-5,6].

ЗАНЯТИЕ 6.
Метод Ньютона (касательных) приближенного решения уравнений.
Метод Ньютона (касательных) приближенного решения уравнений. Выбор начального интервала с условием знакопостоянства первой и второй производной. Выбор начальной начальной точки. Оценка точности.
Образцы задач.
Выбрать начальный интервал и начальную точку для решения уравнения f(x)=0 методом касательных. Найти ответ с точностью 0.01







  1. .

  2. .

  3. на интервале [0;1]

  4. на интервале [0;1]

  5. на интервале [0.5;1]



  6. .

  7. (x>0)

  8. (первый положительный корень)





  9. (первый положительный корень)

ЗАНЯТИЕ 7.
Метод хорд приближенного решения уравнений.
Метод хорд приближенного решения уравнений. Выбор начального интервала с условием знакопостоянства первой и второй производной. Выбор начальной точки для проведения касательной. Оценка точности.
Образцы задач.
Выбрать начальный интервал для решения уравнения f(x)=0 комбинированным методом хорд и касательных. Найти ответ с точностью 0.01







  1. .

  2. .

  3. на интервале [0;1]

  4. на интервале [0;1]

  5. на интервале [0.5;1]



  6. .

  7. (x>0)

  8. (первый положительный корень)





  9. (первый положительный корень)

ЗАНЯТИЕ 8.
Комбинированный метод хорд и касательных приближенного решения уравнений.
Метод хорд и касательных приближенного решения уравнений. Выбор начального интервала . Оценка точности.
Образцы задач.
Выбрать начальный интервал для решения уравнения f(x)=0 методом хорд и касательных. Найти ответ с точностью 0.01







  1. .

  2. .

  3. на интервале [0;1]

  4. на интервале [0;1]

  5. на интервале [0.5;1]



  6. .

  7. (x>0)

  8. (первый положительный корень)





  9. (первый положительный корень)


Похожие:

Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции iconУрока по математике раздел "Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции"
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции” путем проведения мастер-классов для учителей...
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции iconУрока по математике раздел "Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции"
Разработка мультимедиа-сопровождения урока по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих...
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции iconПриближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции
Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется абсолютная величина разности между и им и соответствующим точным числом
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции iconО методах решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами
В работе исследуются точные и приближённые методы решения сингулярных интегральных уравнений вида
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции iconУрок по теме: "Показательные функции, уравнения, неравенства"
Цель урока: обобщить и закрепить теоретические знания методов, умения и навыки решения показательных уравнений и неравенств на основе...
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции iconРешение уравнений с помощью неравенства Бернулли. 3-4
В настоящей работе я хочу в контексте обозначенной тематики рассмотреть применение и некоторых других известных неравенств, а так...
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции iconТринадцать примеров и тринадцать различных методов их решения Экелекян Варужан Левонович
Поэтому целесообразно через журнал, например математика (1 сентября) последовательно рассмотреть различные методы решения уравнений...
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции iconПрограмма спецкурса по математике «Функции и их графики»
Важнейшую роль функции играют и в других разделах, являясь методом решения уравнений, неравенств и их систем. В школьную практику,...
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции iconМатематика. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем Методическое пособие
Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов. В пособии приводятся основные определения и свойства показательной...
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции icon1. 10 Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений и систем. Итерационные методы, линеаризация по Ньютону, методы спуска
Корень функции – это такое значение ее аргумента, при котором функция равна нулю
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org